第二版 数理化自学丛书 平面解机育 吴家钦奚定华编 上海科学技术出版社 ==========第1页========== 敘理化自学丛书 第二版 平面解析几何 吴家钦奚定华编 上海科学技术出版社 ==========第2页========== 数理化自学丛书第二版平面解析几何吴家软奚定华编上海科学技术出版社出版(上海瑞金二路450号)长季专产上海发行所发行上海商务印刷广印刷并本787×10921/32印球14.625字教386,0001965年9月第1版1982年10月第2版1982年10月第8次印刷印数645,001-840,500 统书号：13119.669定价：（科三）1.00元 ==========第3页========== 内容提要 本书主要包括直线和圆锥曲线的各种方程与性质、坐标变换、极坐标和参数方程等内容， 本书讲解详细，系统性强，有大量例题和习题，注解与提示也较多.可供具有平面几何、代数方程和平面三角的初步知识的读者阅读。书中加有“”号的段落、章节和习题，都是比较难的，初学时如有困难，可暂时略去， 本书主要读者对象是青年工人、知识青年、在职干部，也可供中学教师参考。 ==========第4页========== Jy14524 第二版出版说明 数理化自学丛书》第二版是在第一版的基础上编写而成的.考虑到我社已出版大学数、理、化自学丛书，中学数学中的微积分内容没有另编分册.·第二版仍包括《代数》四册、《平面儿何》两册、《平面三角》、《立体儿何》、《平面解析几何》、物理》四册和《化学》四册，共十七册. 由黄丹貜、杨荣祥、余元希、杨逢羁、桂君协等同志主编的第一版，自1963年陆续出版后，受到广大读者的欢迎，特别是1977年重排、重印以来，受到社会各方面极为广泛的关注，在广大读者中有了相当的影响。许多在职职工、农村青年和在校学生，自学了这套书以后，数理化知识水平有了一定的提高 第二版由杨荣样、余元希、束世杰、季文德等同志主绵，数理化自学丛书编委会审定.它保留了第一版在编写上详尽在先、概括在后、通俗到底”和“便于自学、无师自通”的特色，仍是一套与现行中学课本并行的自学读物.第二版仍从读者的实际情况出发，按传统的教学体系编写.但这次参照新的试行教学大纲的要求，与第一版相比，数学各分册的编写内容作了适当的增删和调整，基础知识和运算技能的训练有了进一步加强；物理各分册在内容的取舍、习题的更新、插图的选配、实验的描述等方面均有较大的改进；化学各分册还增加了反映现代科学技术水平的基础理论知识，在理论和实践相结合的原则下，内容和体系均有新的特色.此外，各册的例题和习题选配得力求恰当、合理，知 ●·i ==========第5页========== 论述力求通俗、严密；并按章增加了测验题.在各册编者的话中，还有供读者自学时参考的指导性意见 自学要有成就，必须刻苦勤奋、踏实认真、持之以恒、知难而进。刻苦自学、学有成就者不乏其人，愿广大读者努力学好 《数理化自学丛书》出版以来，全国各地的读者给以热情的鼓励和有力的支持，特在此表示衷心感谢. 上海科学技术出版社 ==========第6页========== 编者的话 本书第-一版自1965年出版以来，陆续收到不少读者的来信，从这些热情洋溢的信中，编者受到极大的鼓舞，并从中得到很多教益。根据读者的反映，原书为减少自学的因难所采取的一些措施是有效的，编排的体系也是合理的，这些在第二版中都加以保留.为了适应教学改革的发展和读者要求的变化，本书各章作了如下的修订： 重新编写了第一、二、三章，精简了重复的内容，突出了解析几何的基本思想，加强解析法论证图形性质的内容 第四章的基本内容没有变动，对部分例题作了更新和补充 第五章作了适当的精简和补充 第六章充实了求轨迹的参数方程和参数方程应用的内容. 第七章对极坐标方程作了较深入的讨论，增加了等速螺线的内容 从自学的实际情况出发，删去了附录“经验公式”.对各章的例题和习题作了较多的更新和补充，·修订月的习题分为以下几类： 1.在一个阶段或一节之后附有练习，帮助读者初步理解基本概念和熟悉公式、法则 2.在适当的阶段之后附有习题，供读者巩固基础知识和加强基本技能训练用。 ==========第7页========== 3.每章之后附有复习题，、帮助读者提高综合运用知 识的能力以及分析间题和解决问题的能力、复习题分A B两组，其中B组综合性较强，供要求不同的读者选用， 4,每章都附有测验题，供读若自我检查学习效果时参考 平面解析几何是学习高等数学和其他科学技术的基础，在工农业生产上也有实际应用..编者热切希望自学本书的读者能深刻领会解析几何的思想方法，打下坚实的基础.因此，在自学时，希望能注意做到以下几点： 1.学习解析儿何与学习其他学科一样，要精读教材，深刻理解概念；要掌握公式的推导方法，并熟记重要的公式；学习要循序渐进，学好一节再往下学. 2,解析儿何是用代数的方法研究某些几何图形性质的学科.在整个学习过程中要反复领会解析儿何的这个基本思想。通过练习逐步掌握求曲线方程的各种方法，学会根据方程研究曲线的儿何性质，这是学好解析儿何的重要基础.·在解题时，如能注意选择适当的坐标系，则解题的过程和求得的方程都会比较简单. 3.平面解析儿何研究的方法是代数的方法，因此计算是解题的重要手段。在学习过程中应注意培养正确的、迅速的计算能力.审题要认真，计算要仔细，不要粗枝大叶，遇到比较复杂的问题，也要耐心对待.解完每道题都要检查结果是否正确，养成验算的习惯，不要急于对答案， 4.平面解析儿何研究的对象是平面图形，因此还要培养正确的绘图技能，在解题时，要根据条件画出准确的图形.在很多情祝下，正确的图形往往有助于进行观察和思维，使问题得到迅速解决，而错误的图形则常常会引起错觉，导致解题失误 5.平面解析儿何是在掌握了代数、平面几何和三角的 ==========第8页========== 基础知识的基础上进行学习的。在学习时要经常用到有关的知识，如果有遗忘，要及时复习.“同时还要注意这些知识在解析儿何中的应用，以提高综合运用知识解题的能力.、 6.为了使自学时做到目的明确，心中有数，我们在每章的开头都提出了学习要求，结尾都有提要，读者可以在学习一章之后，加以对照，以了解自己的学习情况，掌握学习的主动权. 我们相信，坚持自学的读者通过认真刻苦的学习，一定能取得良好的学习效果 本书的第一版由宋凤豪、吴家钦编写，第二版由吴家钦、奚定华编写、由于编者水平有限，难免有谬误之处，恳望广大读者予以批评、指正。 编者 一九八O年十月 ==========第9页========== 《数理化自学丛书》（第二版）编辑委员会 (以姓氏笔划为序) 主编： 数学 杨荣祥余元希 物理束世杰 化学季文德 委员： 杨荣祥（上海师范学院）束世杰（上海师范学院）吴孟明（上海市七一中学）余元希（华东师范大学）汪思谦（上海教育学院）张国模（上海教育学院）张冠涛（上海市育才中学）季文德（上海市教有局）赵宪初（上海市南洋模范中学）桂君协（上海师范学院）凌康源（上海教育学院） ==========第10页========== 目录 第二版出版说明编者的话… …i近 1.平面直角坐标系 ●…l §1.1有问线段…112平面直角坐标系…6613两点间的距离… …11 §14直线的倾斜角和斜率 …13 §15线段的定比分点… …20 §16三角形面积… …33 本章提要 …40 复习题一A …42 复习题一B …43 第一章测验题 …44 2.曲线和方程 …46 821曲线和方程的关系… …46 822从曲线求出它的方程…50823从方程画出它的曲线…5582,4方程的讨论……56、825两曲线的交点 …67 本章提要 …72 复习题二A… …73 复习题二B 74 第二章测验题 .75 evii● ==========第11页========== 3。直线 …77 83.1直线方程的几种形式… …77 §3…2直线和二元一次方程的关系…87 3.3直线方程的法线式…92834化直线方程的一般式为法线式…98§35点到直线的距离……102§36直线和直线之间的关系… …111 §3.7直线系121§3.8过两条直线交点的直线系……127本章提要… …133 复习题三A… …135 复习题三B… …137 第三章测验题… …139 4.圆锥曲线 …141 1.四 …141 §41圆的方程… …141 §42决定一个圆的条件 ……147 S43圆的切线… …154 §44圆系…… …159 】.椭圆… 4…165 §45椭圆的定义… …165 §46椭圆的标准方程… …166 §47椭圆的性质… …170 §48用几何方法画出椭圆上的点…182亚江.双曲线 …185 849双曲线的定义… …186 §410双曲线的标准方程 …187 §411双曲线的性质…19084·12用几何方法画出双曲线上的点…206 ·iⅱ· ==========第12页========== 1V.抛物线… §413抛物线的定义………208§414抛物线的标准方程 …209 8415抛物线的性质…212§4.16抛物线方程的其他一些形式…214 84.17用几何方法画出抛物线上的点…219 84.18圆锥曲线… …222 V,圆锥曲线的切线和法线… …224 &4·19曲线的切线…2258420切线的斜率……226&4·21切线的方程…229§4.22已知斜率的切线方程 …239 8423圆锥曲线的切线和法线的性质 …244 本章提要…251 复习题四A… ….253 复习题四B… …255 第四章测验题… …257 5.坐标变换和二元二次方程的讨论……258 §5.1坐标轴的平行移动…258§5·2方程Ax2+Cy+Dx+Ey十F=0的讨论…265§53坐标轴的旋转…270§54一般二元二次方程的讨论…27555化简关于数字系数的一般二元二次方程的实用 方法 …284 §56圆锥曲线的统一定义… …294 85,7圆锥曲线系… …303 本章提要……… …309 复习题五A… .…310 复习题五B… …311 第五章测验题… …3别2 ==========第13页========== 6。参数方程 …314 §61参数方程… …314 §6·2将参数方程化为普通方程… …317 §63描绘参数方程的图象… …320 §64将普通方程化为参数方程… …321 §65直线和圆维曲线的参数方程…326§66参数方程的应用… …340 §67圆锥曲线的直径… …348 本章提要…… …353 复习题六A……355 复习题六B… …357 第六章测验题… …360 7。极坐标 ……362 §7…1极坐标的意义…362§72极坐标和直角坐标的互化…369§73描绘极坐标方程的曲线…374§74求曲线的极坐标方程… …383 §75.直线和圆锥曲线的极坐标方程… …388 §7…6等速螺线… …394 本章提要…400 专 复习题七A… …401 复习题七B… …404 第七章测验题… ……406 总复习题A… …408 总复习题B …414 总测验题 …422 习题答案 …423 ==========第14页========== 平面直角坐标系 本章主要叙述解析儿何的一些基础知识， 解析几何是一门用代数的方法研究某些儿何图形的学科.它的基本思想是把几何问题转化为代数问题进行研究.因此，通过坐标轴或坐标系的引入，建立点与实数、或与有序实数对、有序实数组的对应关系，是学习解析几何的关键。学习时，务求做到深刻理解，达到以下要求： (1)理解有向线段的概念，学会用坐标方法表示有向线段的数量. (②)掌握坐标平面上任意一点与一对有序实数之间的对应关系.就是说，能从坐标平面上任意一点求出它的坐标，以及由已知的一对实数能在坐标平面上定出它的对应点 (3)了解并掌握四个基本公式的推导方法及其应用。 (4)初步学会应用解析法证明几何问题。 §11有向线段 1.有向直线和有向线段 在平面几何里，对于一条直线，我们只考虑它的位置前 不考虑它的方向.如图1·1是一条经过B、A两点的直线， 我们称它为直线BA或直线AB是 没有什么区别的.但如果把这条直 B 线看作是由一个点移动而成的，那 图11 就有一个由B到A或由A到B的方向问题了.在物理学 ●1 ==========第15页========== 里（尤其是在力学中），在实际生活和生产中，考虑直线的方向是有它的实际意义的 任意一条直线都具有两个相反的方向，我们可以规定它的一个方向为正向，那么和它相反的方向就是负向了.象这样规定了方向的直线叫做有向直线.有向直线的正方向 习惯上用箭头表示.如图1·2中的直线，称为有向直线BA 或有向直线1. B B 图12 图13 图1.4 线段是直线上两点间所截得的部分，因此线段也有两 个相反的方向.如果以线段的一个端点B为起点，另一端 点A为终点，那么由起点B到终点A是线段的一个方问向 (图1·3)；反之，如果以A为起点，B为终点，那么由A到 B的方向恰好与由B到A的方向相反.：规定了方向的钱 段叫做有向线段.有向线段的方向就是由起点到终点的方向. 有向线段BA,用记号BA(表示起点的字母写在前，表 示终点的字母写在后.当不发生混淆时也可以用BA表 示).有向线段的方向，通常由它所在的有向直线的方向来确定，就是说，如果有向线段的方向与它所在的有向直线的方向相同，就说它是正向的；如果相反，就说它是负向的.如 图1·4的有向直线？上，BA表示正向，AB表示负向 2.有向线段的数量 选定一条线段作为长度单位，可以用它来度量有向线段的长度.一条有向线段的长度，连同表示它的方向的正 负号，叫做这条有向线段的数量（或值），：如图14的B五， ==========第16页========== 它的长度为6，方向为正向，用记号 BA-6: 表示.AB的长度为6，方向为负向，用记号 AB=-6 表示.如果只表示有向线段的长度，而不考虑它的方向时，只要给有向线段的数量加上绝对值的记号.如 BA|=|6이=6，|A|=|-6이=6。 注意，三个记号的区别：“BA”表示有向线段，“BA”表 示有向线段的数量，“1BA|”表示有向线段的长度、对有向 线段的长度来说， |BA}=|AB|. 对有向线段的数量来说， BA--AB, 就是 BA十AB=0, 3.:用点的坐标表示有向线段的数量 在代数里，我们曾经在一条有向直线上选取一点O作 为原点，任取一定长的线段作为长度单位，建立了坐标轴(也称数轴，图1·5).并且知道，任意一个实数都可以用数轴上一个（唯一的）点来表示；反之，数轴上的任意一点，都可以表示一个（唯一的）实数.这就是数轴上的点与实数集 有着一一对应的关系.对应于数轴上一点P的实数心叫 做这点P的坐标，记作P(c).如某一点P的坐标是5，就 是以原点O为起点，P为终点的 长度单位 有向线段的数量是5，即0P=5. 反过来，如以原点O为起点，Q 01 为终点的有向线段的数量OQ= 图1.5 一4，就是点Q的坐标为-4（图1·5）. 设数轴上有两点A、B,它们的坐标分别是和. 3 ==========第17页========== 现在我们来研究，如何用坐标和表示有向线段AB的 数量.在图1·6(a)中，OA-1,OB=心2，线段AB的起点 为A,终点为B。从图形上，我们可以直观地看到 AB-OB-0A. 即 AB=2-c1. (1) 0AB广”0B人成 B0广&BA0—龙 A1) B() A0B→公B0点+. (a) (6) 图16 就是说，有向线段AB的数量是终点的坐标减去起点 的坐标 这个结论，不管A、B在x轴上的位置如何，总是成立 的(O、A、B三点在数轴上的位置关系，共有6种，见图 1·6(亿).我们不妨任选其中的一种情况加以证明（其余各种情况由 B(o A( 读者自已论证)： 图1.7 设A()在原点的右边，B(c)在原点的左边.由图17可得： BO+0A-BA. 而 BA=-AB,BO=-0B, 代入上式，得 -0B+04=-AB, AB-OB-0A, 就是 AB=3-1. 如果要计算数轴上A、B两点间的距离，只要在求出 ==========第18页========== AB的数量后加上绝对值就可以了，就是 |AB|=g-1. 这两个公式以后经常用到，要切实理解并记住，例1 已知数轴上有P(-5)、Q(6)、R(9)三点，求PQ,QP, QR和PR的数量. [解] 因为P、Q、R三点的坐标分别为一5,6和9，所以 PQ=6-(-5)=11;QP=-5-6=-11; QR=9-6=3;PR=9-(-5)=14. 例2 在数轴上，已知AB|=7,A点的坐标是一4，求B点 的坐标. [解] 设B点的坐标为⑦，则 |AB|={-(-4), 就是 +4=7,然十4=±7， x=3或心=-11. 所以B点的坐标是3或 -11(图1·8). B2(-11) 4(-曲0岳商。 例3 已知A、B、C是直线 图1.8 上的三个点，不管它们的位置顺序如何排列，等式AB+BC 一AC总是成立的，试加证明 [证] 以A、B、C所在的直线为数轴，并设A、B、C三点的 坐标分别是m、b、c.于是有 AB=b-a,BC=c-b, .AB+BO=(6-a)+(c-6)=c-a, 甲 而 AC=C-a,∴.AB+BC=AO. 乙 〔注意) (1).·AC=-OA,故上式亦可写成AB+BC+CA =0.这个关系式通常叫做有向线段的加法定理（或称沙尔公式). (②)这个定理可推广到直线上n个点的情祝，即直线 5● ==========第19页========== 上有%个点：A1,A2,A8,…,An1,Aw,不管它们的位置顺序如何排列，总有 A1A2十A2A8+A3A4+…+An-1A%=A1An 或 A1A2+A2A3十A3A4+…+An-1A%十AnA1=0. 例4 设A,B,O,D是同一轴上的四个点，试证 AB.OD+BC,AD=AC·BD, [证] 以A,B,C,D四点所在的直线为数轴，并设它们的 坐标分别为a,b,c,d. '.AB.CD+BC·AD =(6-a)(a-c)+(c-6)(a-a)=-bc-ad-cd+ab =c(d-b)-a(d-b)=(c-a)(d-b). 义 AC.BD=(c-a)(d-6), 所以 AB.CD+BC·AD=AC·BD, 1.已知数轴上有A(一3)，B(4),C(7)三点，求： 练习 (①)AB,BA,BC,CA的数量： (2)BC+CA+AB的值. 2.求M点的坐标，并在数轴上表示出来，已知： (1)(-3),2NM=-2,(2)N(2),}MN=5. 3.已知A,B,C是直线上的三点，P是这条直线上的任意一点，证 明 PA.BC+PB.CA+PC.AB=0. §1·2平面直角坐标系 为了确定平面上点的位置，象在代数里讲过的一样，在平面上取两条互相垂直的数轴，它们具有公共的原点和相同的长度单位.其中一条数轴叫做（或横）轴，另一条叫做y(或纵)轴.心轴，y轴统称为坐标轴，公共原点称为坐标原点.这样，就在平面上建立了直角坐标系。 ==========第20页========== 设P是平面上的任一点，由P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别是M和N,若M点在轴上的坐标是x(OM=x),N点在y轴上的坐标是y(ON=y),那末，实数对（心，y)叫做P点在 P(y) 这个直角坐标系中的坐标.x称为横坐标，y称为纵坐标.和{y分别表示P点到y轴和c轴的距离，心和y的符号则表明P点所在的象限.我 图19 们知道，在平面内建立直角坐标系后，这个平面内的点和所有的实数对(，y)之间便建立了一一对应的关系 由于坐标系的建立，平面内的点和一对实数就联系起来了，这就有可能把平面内关于点的儿何问题转化成关于这些点的坐标数的代数问题，从而通过代数问题的研究达到解决儿何问题的目的.平面解析儿何就是从这一基本观念出发，用代数方法来研究几何问题的例1 在直角坐标系中作出下列各点，并指出各点所在的象限： (1)A(0,3);(2)B(-6,0);“(3)C(6,g6): ④(，4)（）(-9，-8 [解] (1)因为A点的 V珠 横坐标是0，纵坐标是 A(0,3)3 3,所以A点在y轴的 B(-6,0) 1 C(6,Ig6) 一◆ 0 正向上.点A不属于 二6-4士321123456 (-” -2 任何象限 -3 (2)因为B点的 -4D(,4sin 横坐标是-6，纵坐标 图110 是O,所以B点在心轴的负向上.点B不属于任何象限 (3)因为1g6≈0.7782≈0.8，所以0点的坐标是 0.7 ==========第21页========== (6,0.8),在第I象限内. )因为52,4n-4如-4x2 ≈-3.5，所以D点的坐标是(5.2，-3.5)，在第IV象 限内. (5)因为E点的坐标(-0 所以E点 在第III象限内（图1·10）. 9 例2 (1)画出一个边长 R(-a,_-Wg四Pa,） 为a的正方形，已知它有 一个顶点在原点，两边合 M(-a,0, M ( 于坐标轴. (2)平面上有个 Q(a -a) 三角形ABC,应用直角 8(-a,-a 坐标法，标出这个三角形 图111 的三个顶点（要求三顶点的坐标用字母个数最少）.[解] (1)根据要求，正方形可在各个象限内画出.如图 111中的OMPN,ONRM',OM'SN',ON'QM. 在第I象限内的正方形的顶点是O(0,0),M(a,O), P(,a),N(0,a). 如图，其他象限的正方形的顶点也容易写出来 (②)对于一个三角形的三个顶点，它们的坐标最多要用到六个字母来表达，如A(,b),B(c,),C(e,)(图1·12(1).但假使我们把坐标轴取得适宜，有三个字母就足够表达了.方法如下： 取三角形的一个顶点（设是©）作为原点，三角形的一边（如AC边）所在的直线为x轴，就可定出C点的坐标是(0,O).并设A点的坐标是(a,0),B点的坐标是(b,c), 这样选择直角坐标系，就可以使三角形的三个顶点A(, 0),B(b,c),C(0,0)只用到三个字母了（图1·12(2）). ==========第22页========== Cte,D B(b,c) B(c,d) A(a,B) 28 0C(0,0) A(a,0) (2 (1) B(g,r) B(0,) C(-2,0)0 A(g02 C(c,0)0A(a,0) (3) (4) 图1.12 如取三角形的一边CA所在直线为：轴，这边的中点 为原点，设|0A=22,则C,A两点的坐标分别是(-P,0) 和(2，O).~再设B点的坐标为(q,r).三角形的三个顶点的坐标也只用到三个字母（图1·12(3）). 还可以取三角形的一边所在的直线为：轴，这边上的高为y轴，这样，三角形的三个顶点的坐标也只用到三个字母（图112(4）). 习题 1.在直角坐标系中作出下列各点，已知它们的坐标各为：(3，一5)， 11w (-2√5,0)，(0，r),(1,3 arc sin1),(c,d). 12 2,求下列各点关于x轴，y轴及原点的对称点： (1)(-5,3) (2)(4,-b). 3,ABCDEF是边长为a的正六边形，依照下面建立的坐标系，求各个顶点的坐标： ==========第23页========== B 0 (b) (第3题) 4.求下图中A,B,C,D各点的坐标，其中a1=30°，a2=120,ag=225°，a4=315°；10A|=5, 10B|=6,10C1=4,10D1=5. B 5.平行四边形ABCD中，AB=8, AD=5,∠A=60°.以A为原点， AB边所在的直线为x轴，求各个 a37 顶点的坐标 [提示：有四种情况.] 6.一个菱形的边长是5，又它的一 0 条对角线的长是8，·如果以两条 (第4题) 对角线作为坐标轴，求各个顶点的坐标[提示：有两种情况.] 7.(1)在x轴上的点，它们的纵坐标都等于什么？ (2)在y轴上的点，它们的横坐标都等于什么？ (3)在两条坐标轴夹角平分线上的点，它们的横坐标和纵坐标有什么关系？ 10 ==========第24页========== [提示：分第I,III象限和 第II,IV象限的夹角平分 线两种情况.] 证b,a 8,证明点M(,b)关于两坐标 E 轴夹角在第I和第III象限 M(a,b) 内的平分线的对称点M′的 坐标是(b,a) (第8题) §13两点间的距离 设平面上有两点P1(1,1)和P(x,y2),我们用坐标来表示它们之间的距离d=P1Pg. 由P1,P2分别向心轴 和y轴作垂线P1M1,P2M P2(xgy2） 和P1N1,P3N2,则OM1 N =U1,0M2=x2,0N1=y1, ON2=ya.设P1W与PgM M 0 的延长线交于R(图113 P1(,h） (1).那末，在直角三角形 P1RPg中： 图·113(1) d={PP2=√P1Ra+RP2P PR=MM2=22-%1, RP2=NiN2=y3-1 所以 d=√(-)2+(9-). (1) P(,》 这就是两点间的距离公式 若求一点P(,y)到原点O的距离d=OP时，则公式(1)变为 图13(2) d-va+y ●11 ==========第25页========== 例1 求两点间的距离，已知： (1).P1(-2,3),P2(-4,-5); (2)A(acos0,ainθ)，B(ain0,-acosθ)(a≠0). [解] (1)|P1P2|=√(-4+2)+(-5-3) =√68=2W/17. (2）AB=√(asin0-acos0)2+(-acos0-as$inf =√2a2(sin20+cos30)=|√2a, 当a>0时，|AB=W2a;当a<0时，|AB=-W2a 例2 已知线段AB=13,端点A的坐标是(-4,8)，端点 B的纵坐标是3，求B点的横坐标. [解] 设B点的坐标是(，3).因为 |AB=13, 就是 √(w+4)+(3-8)=13. 所以 (c+4)=169-25,c+4=士12， 故 c1=8,2=-16 就是说，纵坐标等于3，并且与A(一4,8)距离等于13的点 有B1(8,3)和B(-16,3)两点（图1·14）. y A(-4,8) B,(-18,3) B(8,3 01 图1.14 例8 证明矩形的对角线相等. [证] 取矩形两邻边所在的直线为坐标轴，设它的一边长为 ◆12◆ ==========第26页========== a,另一边长为b,置矩形ABC0于第一象限，它的四个顶点是：0(0,0)，A(a,0),B(a,b),C(0,)。由两点间的距离公式，得 1OB|=√a2+b, C0,) |AC=N(0-a2+(b-0)9 B(a,b) =va2+63 .OB=A0. 故知矩形的对角线相等. (a,0) 图1.15 1.求下列各两点间的距离： 练.习 (1)(5,1)与(-3，-4)； (2)(一3,0)与(0,5)5 (3)(acos0,asin9)与(0,0)；(4)(a,b)与(-a,b)； (5)(a+b,c+a)与(c+a,b+c); 2.证明正方形的对角线相等 3.在x轴上求一点P,使P点到A(-4,3)和B(2,6)两点的距离相等。 4.证明(1,4)，(4,1)，(5,5)是一个等腰三角形的三个顶点 5.证明（一4，一2），(2,0)，(8,6)，(2,4)是一个平行四边形的四 个顶点，并求它的两条对角线的长度。[提示：证明两组对边分别相等.门 §1·4直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾角和斜率 一条直线与c轴相交时，我们规定这条直线的向上方向和轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，简称倾角.如图1·16(@)的1和.如果直线与心轴平行，我们规定，这直线的倾斜角为0（图1·16（⑦）).由.上面的规定可知，任何一条直线的倾角：的范围是0≤&<压. ●3● ==========第27页========== a=0 (b) 图1.16 因此在坐标平面内，直线的方向可由它的倾角来确定， 条直线的倾角“的正切，叫做这条直线的斜率，用k表示，就是 飞=tg& 因为0≤“<元，所以不同的倾角对应于不同的斜率飞；反过来，确定的斜率飞对应于一个确定的倾角a,当直线垂直于轴时，=90°，斜率飞不存在， 我们知道，两点确定一直线.因此一条直线的斜率，只要倾角a≠90°，总可以由直线上任意两点的坐标来表示. 设已知直线上有任意两点P1(x1,y1)和P(,y),它的倾角为a(c≠90)，斜率为k=ga,由P1,P2分别向轴和y轴作垂线M1P1,M2P3和P1N1,PN2,又P1N1(或它的延长线)交MP2于Q(如图1·17中的(a)和(b). 从图117(a)的直角△PQP2中，可以得到： k=tg a=QP3NiNalv-v1 PQMMcg- 从图上可直观地看到，>心1，y>1(如果把P,P的位置对调，则>2，y1>y),所以 y9-y1 0g-1·2-01 ●14 ==========第28页========== N. Pa 69 31 (a) (b) 图1.17 就是 k=gax=9-丛 g-· 同理，在图1·17(b)的直角△P1QP2中，因为tg(n-a)=-QP3lNiN3l1v3-y11 PQMiM2 02-x1 =a-红二--丝（因>）， 1-03 0g一化1 又 tg (w-a)=-tg a, 所以 gax=2二边 x2一 就是 k=9二班 02-01 从上面的讨论可以看到，不论a:是锐角或是钝角，总可以得到直线的斜率是 k=9虹 C2-1 这就是直线斜率的计算公式.例1 已知一直线过(2√3，-6)，(~√3,3)两点，求这直线的斜率和倾角.[解] 设这两点依次为A,B。又直线的斜率为飞，倾角为a,则 ◆150 ==========第29页========== ん= -6-3 2/3十/333=~、3 -9 3=-√8， tga=-√3，.a=元- 2 就是 33。 这直线的斜率为-√区，倾角是。 1,已知P、Q是直线上的两，点，求直线PQ的斜率和倾角： 练习 (1)P(-2,0),9(-5,3); (2)P(2,2),Q(2,-2). 2.A(1,1),B(-1,-1),C(V√3，-√3)是△ABC的三个顶 点，求三角形各边所在的直线的斜率， 3,求连结两点M(a+b,c+a)和N(c+a,b+c)的直线的斜率， 2.两直线平行的条件 设直线乙和g都不和x轴垂直，它们的倾角分别是1和o2,如果1/l2,则1=o2,这时g1=tg2,即1=kg.就是说，如果两条直线互相平行，那么这两条直线的斜率必相等（图1·18）. 在代数里，我们知道，为了要获得某种结论所必须具有的 0 条件，叫做获得这种结论的必要条件.今为了要得出L:∥Lg的结论，推得必须1=k2,因此 图118 我们说，斜率相等（即k1-=k)是两条直线平行（即L1∥L)的必要条件. 反过来，如果已知直线L1和L2的斜率相等（就是 k1=k2,亦即ga1=gag),我们来观察L1和Lg的相互位置关系 由于直线的倾角的范围有限制，就是0≤1<心，0≤ 16 ==========第30页========== <匹，且g1=gg,所以1=.因为两条直线（即L1和工)被第三条直线（即心轴）所截得的同位角相等，则这两条 直线平行，所以可以得出L1∥工2. 这就是说，如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线必平行. 我们把获得某种结论的充分的论据，叫做获得这种结论的充分条件。就是说，只须要具有这种条件，无须附加其他的条件，就有充分的依据可以得出这个结论。今我们证得只须要两条直线的斜率相等（即飞1=），这两条直线就平行（即L1∥La),因此我们把k1=叫做是两条直线L1 和L。平行的充分条件 根据上面的讨论知道，k1=k2既是直线L1和L平行的充分条件，又是这两条直线平行的必要条件，因此我们就说，飞1=飞2是直线L1∥工g的充分与必要条件，简称为充要条件。 例2 证明A(-6,-4),B(0,-2),0(8,6),D(2,4)是 一个平行四边形的四个顶点（图1·19）. [证] 证明一个四边形是平 C(8,6) D(2,4) 行四边形时，可以证明这个四边形的两组对边分别 0 相等.现在我们根据两条 B(0,-2) 直线平行的条件来证明这 A(-6,-4) 个四边形的两组对边分别平行. 图1.19 设AB,DC,BC,AD各边的斜率分别是kAB,kDa,kBC,无AD, 、a2气-骨- 6-41 ,k0=8-2=81 17◆ ==========第31页========== ,.飞AB=k0,(AB∥DC: 又 r-용2-，-(- 、kc=飞4n,故BC∥AD 在四边形ABCD中，AB∥DC,BC∥AD,所以ABOD 是一个平行四边形. 在平面几何学里，我们知道两平行线如有一个公共点时，这两直线就重合.就是说，假定平面上有P1(,y1), P(2,y2)和Ps(8,y)三点，连结P1,P2和P2,P,如果kPP,=kP,Pa,就是 W-2=y二3 C1-CgC2一3C3 则P1,P,P3三点在同一直线上. 3.两直线垂直的条件 设直线L1垂直于，它们的倾角分别是1和，斜 率是k1=tga1,kg=gag. 从图1·20可以得到 a2=方+01，亦以ga购=g(受+a4） ctg a1=-tg as 图120 就是 1或k1k2=一1. 这就是说，如果两条直线互相垂直时，它们的斜率是互为负倒数.也就是说，·，=一1是两条直线垂直的必要条件. 反过来，如果1·k2=一1时，就是g1·gg=一1，或 ●18· ==========第32页========== g购=一-au=tg(受+a）. g01 由于0≤a1<元，0≤2<π，并且ag>a①，所以2=· 十1，可见直线L1LL2. 这就是说，飞1·k=一1是两条直线垂直的充分条件由上面的讨论知道，k1·k2=-1是直线L1上L2的充要条件 例8 证明正方形的对角线互相垂直. C(0,a) B(a,a) [证] 设a是正方形ABCD的边长.取 相邻两边DA和DC所在的直线为坐 标轴，并置正方形于第I象限内.则 odAa,0) 正方形的四个顶点分别是A(a,O), 图1.21 Ba,o,00,,D(0,0.因为ku…kn8=0-8·&-0a-0.a-0 =一1，所以对角线，AC LBD. 1.证明以A(10,0),B(5,5),C(5,-5),D(-5,5)为顶点的四 练习 边形是一个梯形 2.证明以O(0,O),A(a,0),B(+b,c),C(b,c)为顶点的四边形是一个平行四边形. 3.证明以A(4,0),B(5,2),C(一4,4)为顶点的三角形是一个 直角三角形（用距离公式和两直线互相垂直的条件两种方法证明) 习题 1.直线的倾角有没有什么限制？平行于x轴的直线的倾角是什么？ 13w 平行于y轴呢？直线的斜率有没有什么限制？是不是所有的直 14 线都有倾角？是不是所有的直线都有斜率？为什么？ 2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别是(1，一1)，(3,2)和 (11,一6)，求这个三角形的周长. 3.已知A(一3,2)和B(1,y)两点间的距离等于5，求B点的纵坐标 ①如1>a2,同样可以证得两直线垂直。 ●19* ==========第33页========== 4.已知P(2,2),(5,一2)两点，在x轴上求一点M,使得 ∠PM?为直角 5.设△ABC的三个顶点的坐标分别是A(8,0),B(5,9)和 C(一3,11)，求这个三角形的外接圆的圆心. [提：接心是M(,y),则MA]=|M1=1M이，由此可建立关于c,y的方程组.] 6.证明P(7,2)和(1，一6)两点是在以C(4,一2)为圆心的圆周 上；并求这个圆的半径. 7。在心轴上求一点，使它与M(一2,3)点的距离等于5. 8,求通过下列两点的直线的斜率和倾角： (1)(4,8)和(-2，一2)； (2)（2,-2)和(4,2)； (3)(1,1)和(5，-5)； (4)(0,-3)和(1，V3-3), 9.下列哪三点在同一条直线上？ (1)(3,-2),(5,1),(10,0)； (2)(a,b+c),(b,c+a),(c,a+b) 10.求与两点P(一1,3)和(5,0)连线垂直的直线的斜率 11,证明经过A(a,b),B(c,-一d)两点的直线平行于经过C(-6, -b),D(一c,)两点的直线 12.证明以A(一2,0)，B(2,4),C(6,0)为顶点的三角形是等腰直 角三角形. 13.设匹1，c2,3两两不等，证明三点A(1,y1),B(2,2),C(x, y3)在同一条直线上的充要条件是 1一=2一的 1一℃2r2一r3 14.设A,B的坐标分别是(c1,y1)和(c2,2),直线AB的倾角是a,证明c1-rl=V(1一2)+(y1-y2)2.|cosx|. §1·5线段的定比分点 设P是有向线段P1P2上的点，那末P点分P1P2为 P1P和PP?两部分，我们称P为P1P2的分点.有向线段 P1P和PPg的数量的比，叫做P点分PP9所成的两条线段的比，通常用希腊字母入表示，就是 ●● ==========第34页========== P PPa 若P点在线段P1P,之间，则称P为P1P2的内分点， 这时因为PP和PP的方向相同，所以入=2之0若 PPa P点在线段P1Pa的延长线上，则称P为P1P2的外分点， 这时PP与PP,的方向相反（图122），所以=PP <0(但≠-1)， 图122 特别要注意的是，P点分P1P2所成的比是=·PP PP P点分P,P所成的比是X- PP,两者是有区别的，但 它们都是把由起点到分点的线段作为比的前项，把由分点 到终点的线段作为比的后项.例如C内分（或外分）AB所 成两线段的比是入~品，4内分（或外分）0B所成两缇头 的比是-治，切不可把顺序写错， 例1 延长一线段AB至0，使延长部分为原长度的子，求 点C外分AB所成两线段的比. [解] 因为0在4B的延长线上（图1·28，且BC1-是 AB,根据题意有： 4이-1A别+)A-4B 5 4014B! OB云AB 0210 ==========第35页========== 但AO,CB方向相反，故入=一5，这就是点C外分AB所 成两线段的此 下面我们用坐标法求定比分点的坐标. 图1.23 设P(y1)和P(x2,y)是两个已知点，P(,y)是 有间线段A,的分点，并且品-人是一个定位。由 P1,P和P分别向x轴作垂线P1M,P2M3和PM(图1·24),根据平行线截得比例线段定理，得 PPMM PP:MM3 Pg(2,y2, PP(》 P. N-- P(,y) P(1,i) P M M (1) ( 图124 如果P是P1P2的内分点，则M也是M1M2的内分 点；如果P是P1P3的外分点，则M也是M1M2的外分 点. M,证 因此碳与的符号相同。所以 PP M;M PP。-MM9 从图1·24可知，M11M=c一1，MM?=a一.代入上式，得 化一1=入， Ug一化 ●22· ==========第36页========== 去分母，整理得(1十2)心=十入g。当4≠ー1时，=+aa 1+入 同样方法，由P1,P2和P分别向y轴作垂线PN, PN和PN,当≠一1时，可得 1+2y2 1+入· 这说明，只要≠一1，分线段P1P2所成的比为入的分 点P必存在，它的坐标是： 十入9 1+λ (①) y1+y9 1+λ 当P是PP2的中点时，P1P=PP2,入=1，所以连结 P1(1,y1)和P2(2,y2)的线段中点的坐标是： 化c1十U3 2 (2) y=1+2 2 〔注意) 公式(1)分子中的的位置别搞错，用“，乘终点的坐标”可帮助记忆.例1 已知P1(-2,一2)和P(2,6)两点. (在P,P上求一点P,使PPI-子P,P: (②在P,的延长线上求一点Q,使1PQ-是 P이。 [解] (①)已知IPP1-IPP,=IPP+|PPD, 所以 3 PP-PPa. ●.23 ==========第37页========== 由于P是PP的内分点， PP 1 PP3 P2(2, 由公式(1)可知P点的坐标是 -2+8×2 -1, 1+写 LLP-1,0/ 0 P1(-2,-2) 1 -2+言×6 V= =0 1+宫 ②由lPQ=是IPQi, Q(x,) 得知P1(-2,一2)是PQ的中 图1.25 点.由公式(2)，可知Q点的坐标是： 「22+U 23 =-6, 【-2=6+ 解得 y=-10. 2’ 〔注意】 P1,P3和三点的位置关系是相对的，P1作为PQ 的内分点，那末2就是P:P1的外分点，P也是QP2的外 分点，此时入的值要根据具体情况确定，如 Q分P所成的比是入=P=-1 QP2 9 -2+(-)×2 -6， 1+(》) -2+(-司)×8 +() 10 ==========第38页========== P,分QP1所成的比是 QP9=-2, P.Pi 2=+(-2)(-2) 1+(-2) 6=y+(-2)(-2) 解得 fe--e y=-10。 1+(-2) 其结果完全一样 y 已知三角形的顶点是A C(-1,12) 例2 (4,0),B(7,4),C(-1,12), 求∠A的角平分线的长度. D(x,y [解] 设AD是∠A的角平分 B(T,4) 线，交BC于D(c,y),由三角形的角平分线的性质，得 0 A(4,0) ABBDI A0=10D, 图126 .·|AB|=√(7-4)2+4=5， |A0=√(4+1)+122=13， 又D是BO的内分点， .元=BD5 D013 因此D点的坐标是 6 7+(-1)×34 0三 1+语 5 y= 4+12×1356 1+品 A이-√(-4)+(0-) -7V568. ·254 ==========第39页========== 例8 已知三角形三边的中点分别是（侵，），（停，受）和 (0,6).求三角形的三个顶点. C解] 设三角形的三个顶点是A(,y1),B(心，y)和O(,)(图1·27).依题意，得 十1 (1) A1,1)0,6) C(a3,3》 2十g= 6 2 (2) (侵)\ ) Cg十1=0, 2 (3) B(x2,ye) 解这个方程组，得 图127 =-2,4=3,心3=2. 十塑=5 2 同理可得 9十= 3 2 2 十生=6. 2 解这个方程组，得 :=7,y9=-2,y%=5. 所以三角形的三个顶点是A(-2,7),B(3,一2)和C (2,5). 例4 试证三角形的三条中线交于一点，此点在每条中线上离顶点三分之二处[证] 今采取如下的证法，就是任意选择两条中线，各求它的 号分点硕点作始点》。散如它们的坐标相间，就是两点合 一，这说明两中线交于一个定点，同样可以证第三条中线也经过这一点.这样，三中线交于一点就得证了。它的证明步骤如下： ==========第40页========== 设三角形的三个顶点为P1(,y1),P2(,y),P3(, ),中线为PD,P形，PF.今D,E,F分别为各边的 中点（如图1·28），它们的坐标是 ! p(色，〉2 (色，营)2 2 P (色，士2) o 2 图1.28 又设中线P1D,PE上各有一点G,G,且 IPG1-是PD,iP,G-会1P,,即 PG-2GD,P2G=2GE IP:G1-2,GPG GD 2. 今G在P,D两点之间，故元=2.设它的坐标为(， ),则 4+2( x2+3 2 心1十0十9， 1+2 3 g+2( y3+y3 2 y= y1+十3 1+2 3 又G在Pg,E两点之间，故入=2.设它的坐标是(a,),则 +2(）2 1十花2+g 1+2 3 +2丝+ .y'= 2 1+9+3 1+2 3 所以化=心'，y=y,就是G,两点合一，也就是PD,PB ●…27● 师 ==========第41页========== 相交于一个定点.同样，如PF上有一点”，而{PG"引 을+。1，1-2！，可证点的坐标 也是(+西，业+警士)也合下G点。所以一个3 三角形的三条中线交于一点，此点与三个顶点的距离各在 2 相应中线的名处. G点称为三角形P1PP的重心，它的坐标是： 化=十十a 3 y=1+十 3 这就是三角形的重心的坐标公式例5 一根质量均匀的刚体棒的两端是P1(1,1)和Pa(gy),分别置放1和mg克重物.若棒的重量不计，试求它的重心P(心，y).[解] 根据力矩平衡的原理，对于重心P来说，P1、P2处的 力矩应相等，即 mi PiP=mg PPa 由于P内分P1P2,所以 入=PP PPami 因此重心（物理学上也称为质心）的坐标是： 十4t202 mi miai+mava 1+2 mitmg m生 ma 3h+m1驰=m1+m2, 1+7m2 mi+tmg mi ●280 ==========第42页========== 例6 证明：梯形的中位线平行于底边，且等于两底和的 一半 [证] 设梯形OABC,OA,OB为两底，且长度各为a和b, 取页点O为原点，OA所在的 直线为x轴（图1·29），则A点的坐标就是(a,O).设C点的 0(c, dB(b+e,dの 坐标是(c,),作OK,BH 垂直于轴，K、丑是垂足， 则因O丑=OK+KH=OK +OB=c十b,又KC=丑B 1A(a,0) =d,故得B点的坐标是(b+c,d). 图1.29 又设OC,AB的中点各为M(,y),N(”,y),则 -%。-受-a++0，ー号4今yー 故MN∥c轴，即MN∥OA. 又Mv1=V[侵a*+)-0+(受-》 풍(-+), 由此证得梯形的中位线MW平行于底边，且等于两底和的 一半 例7 证明：任意四边形两组 C(2b,2c) 对边的中点的连结线段互相 D(2a,2e) 平分. [证] 以四边形的一个顶点A 为原点，一边AB所在的直 04 B(2a,0)" 线为轴.设B,C,D各点 ☒130 的坐标分别是(2a,0),(2b,2c),(2d,2a),且M,N,P,Q为各边的中点（图1·0），于是 .●290 ==========第43页========== M点的坐标为(d,), N点的坐标为(a十b,o), P点的坐标为(a,0), Q点的坐标为(b+d,c+). 又MN的中点的坐标为 a-6+d 2 PQ的中点的坐标为 a+6+0 2 可见MN和PQ的中点的坐标相同，说明它们互相平分. 〔注意) 上面的例4、例6和例7（还有§1·3的例3，§14的例3)都是平面儿何的定理.这里，我们采用代数的方法给予另一种证法。象这样的方法叫做解析法。用解析法证明儿何定理时，应注意下面儿点： (①)根据已知条件先画出儿何图形，然后在图形的适当位置上建立直角坐标系.就是说，坐标系是后来人为地添上去的，不是图形中原来就有的.不管坐标系置放在图形的什么位置上，都不会影响图形的性质.但如果坐标系选取得恰当，可使证明过程简便、如例6，例7就是这样.有时为了探求某一个问题的一般规律或便于类推，坐标系就不应置放在特殊位置上，如例4就是 (②)选取适当的坐标系后，还要设置图形中已知点的坐标.在设置已知点的坐标时，要符合图形中的已知条件， 如例6，因为CB/OA,所以C和B两点的纵坐标应相同 (都设为d),又OA=a,CB=b,设C点的横坐标为c,那末OHOK+KH=c+b,因此B点的横坐标为+c,不能随意别设.有时为了计算上的方便，可根据计算的特点来设置点的坐标，如例6，我们设B(2a,0),C(2b,2c), 。30 ==========第44页========== D(2d,28),是为了使中点P,,M,N的坐标不出现分数形式，计算起来较简单 (③)用解析法证明几何定理与儿何方法不同，它主要是应用坐标法根据所学的公式进行计算，以计算的结果来论证定理的正确性 再看下面一个例题 例8 在等腰直角三角形ABC中，M是斜边AB的中点，P 是AB上任意一点，PE⊥AC,PF⊥BC,E、F是垂足，连 接ME和MF.求证ME⊥MF. [证] 以C为原点，两直角边所在的直线为坐标轴.设{OA =|OB|=2a,故A,B两点的坐标分别为(2a,0)和(0,2a), B(0,2a) 于是AB的中点M的坐标为 M(a,a) (a,a).又因为PECA,故 PBA亦为等腰直角三角形， 设腰长P{=EA}=b(图 2A(24,0) 131), 图131 .'.:0E=2a-b, 因此得E(2a一b,0)和F(0,)两点.由斜率公式可得： -6=-1, ksu·kru=a-2a-⑥`& 所以 ME⊥MF. 1. 习题 写出下列各比值： 15 (1)A分线段BC所成的比； (2)A分线段CB所成的比； (3)C分线段AB所成的比； (④)B分线段CA所成的比. 2.已知线段P1P2的两个端点的坐标如下，P点分P1P所成的比 是入，求P点的坐标： (1)P1(-2,1),P2(3,-3),元=2； (②(5，-2，P(5,-3,A-号 ●31● ==========第45页========== (3③)P43,4,P(0,0),-22 (4)P1(8,5),P2(-13,-2),入=-11 3,求连结下列两点的线段的中点坐标： (1)P(3,2),(7,4); (2)A(-3,1),B(2,7; (3)M(-2.8,6.4),N(-3.9,7.2). 4.从点A(2,3)引一线段到B(7,一2)，再延长同样的长度，求延 长线端点的坐标 5,P1和P2两点的坐标分别是(-1，一6)和(3,0)，延长P2P1到 P,使PPI=寻PBl.求P点的坐标 6.求A(-1,2)和B(一10，一1)两点连线的三等分点的坐标（有 两个点) 7.已知三角形的三个顶点是A(3,一7)，B(5,2)和C(一1,0). (1)求各边的中点坐标（②）求各边上中线的长；(3)求重心的坐标. 8。用解析法证明： (①)直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半 (②)三角形两边中点的连线平行于底边，并且等于底边长的一半； (3)顺次连结四边形各边的中点，所得的四边形是一个平行四边形； (4)菱形的对角线互相垂直，并且互相平分； [提示：设菱形的顶点是O(0,O),A(a,0),C(b,c),D(a+b,c),而c=√a2-.] (⑤)梯形两条对角线中点的连结线毁平行于底边，且等于两底差的一半； (6)在口ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，则HE和 AF必三等分BD, 9.一线段的中点是(6,4)，它的一个端点是(5,7)，求另一个端点。 10.C(2,3)点分线段4B所成的比是三，已知A点的坐标是（以， 2).求B点的坐标 *11.已知A(2,3),B(6,-5),G(-3,-6)是三角形的三个顶点， ◆32· ==========第46页========== 又在A,B,C处分别挂上3克，2克1克的重量，求重心的坐 标。 [提示：用本节例5的方法.] 12.已知A(1,1),B(2,2),C(3,一1)是一个平行四边形的三个顶 点，求第四个顶点. [提示：有三解.求AB,BC,CA的中点，再根据平行四边形对 角线的性质，] §16三角形面积 1.三角形的面积 在平面几何及三角学中，对于三角形的面积有几种求法大家已经熟知了.现在根据三角形三个顶点的坐标来求它的面积.具体求法如下： 设一个三角形的三个顶点 Pg(8,8) 分别是P1(,1),P2(2,y2) 和P(3,).从三个顶点分 P1P.(aa,y3) 别向心轴作垂线P1M1,P3M 和P3M3,又由P1作平行于x 轴的直线，交P:M3于28，交 P2M2于Q2(图1·32). 图132 设P1P2的长是p2,PPs的长是P,∠P2P1P3=8(00,所以sina>O,因而三角形的面积 △一是a咖>0，如果三角形的旗点依照《⑦图的顺序 排列，那末心可以理解为由PP按顺时针方向绕顶点P1 旋转到PP所成的角，这时a<0,因面△=方<0,但它们的绝对值相等，就是说，在实际计算中，假使我们按照顶点的反时针方向顺序计算，则得正值，如按顺时针 ●85◆ :Nr・a0). 2.在下列各方程的曲线中，哪些关于￠轴对称？哪些关于y轴对称？哪些关于原点对称？（1)2+y2-4c-13=0: (2)2x+x2y-3y3=0 (3)x2=4划； (4)4x2+9gy2=36; (⑤x3+y2-4x-2=0; (6)y=g蛇 3、求下列曲线的范围： (1)y2=-8 (2)y2-x=3c+2; 6) +-+2-6y-15-,; (0)+-그 4.·求下列曲线的渐近线： (1)cy=6; (2)(g-1)(y-3)=2; (3)y=ctg。 下面我们举几个例题，先讨论曲线的截距；对称性和范围，然后再画出它们的曲线例1 描绘方程+4？°=16的曲线。 [解] (1)截距： 令y=0,得=土4， 令x=0,得y=土2， 所以曲线的横截距是土4，纵截距是土2。 (2)对称： 因为：和y的指数都是偶数，所以曲线关于x轴、轴和原点都对称. ()范围： 解y,得 y=±是V16-元，16->0， .一4≤≤4 082· ==========第76页========== 解®，得x÷土2N4-y，‘4一y产≥0，· ∴·-2≤y≤2. 所以曲线在=一4，c=4,y=一2，y=2四条直线所围成的矩形内. (4)列表： 0 2 3 2 1.9 1.7 1.3 根据曲线的对称性和范围的讨论，可以知道只要画出曲线在第一象限内从=0到c=4的一部分，就可以画出整个曲线。 (6)定点描图： 2 可得方程的曲线是 1 椭圆（图29）. 4-3-2-10.123 4— 例2 描绘方程2-y2+2y -1 +3=0的曲线. -2 [解) (①)截距： 图29 令y=0,得2+3=0，没有实数根；令c=0,得1=一1，y=3。所以曲线没有横截距，纵截距是-1和3. (2)对称： 因为心的指数是偶数，所以曲线关于y轴对称。 (3)范围： 解，得 w=±√y2-2y-3, y2-2y-3≥0，（则+1）(y-3)≥0， ..y≤-1或y≥3. 因此曲线在两条平行直线y=一1和y=3的外面.解，得 y=1土/x+4。 063 ==========第77页========== c可以取任何实数，当{无限增大时，y也无限增大，所以曲线在各个象限内都是无限伸展的. (4)列表： 根据曲线的对称性可知，只须取x≥0的值，代入y=1士√2+4便可求得. 2 6 8 10 -1 -1.8 -3.6 -5.3 -7.2 -9.2 3 3.8 5.5 7.3 9.2 11.2 (5)定点描图： 可得方程的曲线是双曲线 18 (图2.10). 例8 画出方程 g+3x-2则-12=0 的曲线 [解] (1)截距： 令y=0,得x=4: .12 令=0，得y=-6. 图2.10 所以曲线的横截距为4，纵截距为一6。 (2)对称： 曲线关于心轴、轴和原点都不对称。· (3)范围： 解y,得 y=12-3, x-2· (1) 解x,得 G=2+12 y+3 (2) 从(1)式，得 ==========第78页========== 12 h12-3c=lim-化-3lim y=lim 1、2--3。 300 x-2 即当→∞时，5→一3.所以y=一3是曲线的水平渐近线 又从(1)式，得 limy=lim-12-3x 度→2 x→8化-2 即当心→2时，y→∞，所以优=2是曲线的垂直渐近线.因此这个方程的曲线向左向右无限伸展，并且无限接近于直线y=一3，向上向下无限伸展，并且无限接近于直线c=2. (4)列表： -10 -4 0 1.5 2.5 5 8 3.54 6 -9 -15 -2 -2.5 (⊙)定点描图：可得方程的曲线是双 &=2 曲线（图2·11）. 8 在方程F(,)=0 4 中，如果F(,y)可以分 1s-4이 48 6 解为儿个因式，例如 F(,y）=f1(a,y)fa(,y) -8 …f(c,y)…, -12 在代数上说，方程F(x,y) -16 二0与方程 图211 f1(c,y)=0,f2(x,y)=0,f3(,y)=0, 是同解的.反映到曲线上来，这些方程，每一个都决定一条曲线，这些曲线合起来就是原方程F(c,y)=0的曲线.例 ·B6· ==========第79页========== 如在下列方程中： (1)2-y2=0, 因为 x2-y2=(c-y)(-十y), 所以原方程可以分解成两个方程： 龙一y=0 和 x+y=0, 它们的两条曲线就是方程x~y2=0的曲线（图2·12）. 4-y-0 0 2+g2-5-0 图2.12 图2.13 (2)c2-2y2-y+心2y2-25+25则=0，它的左边可以分解成两个因式，就是 (c-2y）(2+y2-25)=0, 就是 心一y=0 和 c2+y-25=0, 它们的两条曲线就是原方程的曲线（图213）， 从一个方程描绘它的曲线，还可能产生下列特殊情况：(①)方程只有有限组实数解.这时方程的曲线是儿个孤立的点。 例如方程2+y2+2c-6y+10=0,配方后，得 (+1)9+(y-3)9=0. 这个方程只有一组实数解c=一1，y=3。所以这个方程的曲线只有一个孤立的点：（一1,3). e68 ==========第80页========== (2)方程没有实数解，这时方程就没有曲线.例如方程+y2+2c-6y+11=0,配方后，得 (c+1)8+(则-3)3+1=0. 这个方程没有实数解，所以这个方程没有曲线。 习题 讨论并描绘下列方程的曲线： 23~ 1.y9=4; 2.9x2+4y9=36: 24 3.4c2-9y2=36: 4.y-3a+4y-14=0; 5.16ax2-25y2=0; 6.(2-4)(y2-1)=0: 7.x2+y2-4x+6y+13=0; 8.4x2+y2-4x+6y+13=0. §2,5两曲线的交点 设两曲线C1,C2的方程分别是 F1(,y)=0和F(,y)=0.如果P1(1,y1)是两曲线C 及C的交点（图2·14），则以， C生 1代入上列方程必然适合，即 P(,y1) F1(,y1)=0, 同时 F2(,1)=0. 0 这说明：和y1是方程组 图2.14 「F1(x,y)=0, IF2(a,y)=0 的一组实数解 反过来，如果方程组 F1(c,y)=0, F2(c,y)=0 有一组实数解如1，，则 「F1(w1,y)=0, 1F2(,y1)=0, ●67.t ==========第81页========== 可以看出，以(，1)为坐标的点必然既在曲线C1上，也同 时在曲线C2上，即为C1及C的交点. 因此我们得到两曲线的交点的坐标，就是这两曲线的方程所成的方程组的实数解；反过来，两个二元方程所组成的方程组的实数解，是这两方程的曲线的交点的坐标。要求两条曲线交点的坐标，只要解这两条曲线的方程所组成的方程组，求出它的实数解就可以了.如果这个方程组没有实数解，那末这两个方程的曲线就没有交点，例1 求x2+4y=52和2-2-7=0的曲线交点. [解] x2+4y2=52, (1) 2-y2=7. (2) 解这个方程组： (1)-(2),得 5y2=45,y2-9, ..y=土3. 以y=3代入(1)，得 x2=16,..=士4. 以y*-3代入(1)，得 2x2=16,..优=士4， 这方程组有四组实数解： ∫3=一4，∫4=-4， 丑 1=3 y3=3 y4=-3. 就是说，两曲线的交点是A(4,3),B(4,一3)，C(-4,3), 月 D(-4,-3)四点（图2.15）. 每 庆 例2 已知方程y=心2一x十2和y=十k,求飞为下列各值时，它们的曲线的交点： (1)k=2: (2)k=1; (3)k=0, [解] 解方程组 ●68● ==========第82页========== C(-4,3) (4,8) B(4,-3) /D(-4,-3) 图215 ∫y=x2-x+2, (1) l=x十k (2) (2)代入(1)，得 心2-2+2-k=0, c=1士Wk-1, 代入(2)，得 y=k+1士W√化-1， 这个方程组的解为： =1士√k-1, y=k+1士√k-i, (1)当飞=2时，方程组有两组解： f1=2,cg=0, y1=4; 【y2=2. 所以两条曲线的交点为(2,4)和(0,2). (2)当飞=1时，方程组有两组相同的解： ュ=1， ∫xg=1, (y1=2, ly9=2. 所以两条曲线只有一个交点（或者说，有两个互相重合的交点)为(1,2). (3)当k=0时，方程组没有实数解，所以两条曲线没有交点（图2,16）， ==========第83页========== (-2,1)/ 作-01刘 (2,-1) 28 图2.16 图217 例8 飞取什么值时，直线y=2c+飞和圆2+y=5相切？ [解] 解方程组 2+y2=5, (1) y=20+k. (2) (2)代入(1)，得 5x2+4kx+(k2-5)=0. (3) 因为直线y=2十k和圆2+y2=5相切，也就是它们有一个公共点，所以这个方程组应有两组相等的实数解，也就是方程(3)中，，有两个相等的实数根，所以 4=162-20(2-5)=0, k=±5 即当=士5时，直线y=2士5和圆x+y2=5相切（图2·17). 应用两条曲线交点的坐标就是它们的方程所组成的方程组的实数解这一原理，不仅可以用代数的方法（解方程组)来求出两条曲线的交点，而且反过来，也可以用儿何方法（求两条曲线的交点）来解方程组. 对了一元方程F()=0,要求它的实数解，我们可以把 70. ==========第84页========== (y=F(x), 它变为求方程组y=0 的实数解.方程y=F(如)的 曲线和x轴的交点的横坐标，就是方程F()=0的实数 解.也可以把方程F()=0变为方程 f1(x)=f(x).要求方程F()=0的实 y=f1(), 数解，也就是求方程组 的实 人y=fa(c) 40 数解.因此，方程y=f1(x)和y=f(x)的两条曲线的交点的横坐标，就是方程 20 F(x)=0的实数解.我们把这种利用求曲线的交点来解方程的方法叫做方程的 48 图解法，用图解法求得的实数解一般是近似的 .20 例4 求方程3-10.x-20=0的实数解。 [解] 把方程写成x=10x+20,令 40 y=G3, 、y=10x+20 分别作出这两个方程的曲线，它们只有一个交点，交点的横坐标约为3.9， 图218 所以这个方程只有一个实数解≈3.9（图2·18）. 1.求下列各组曲线的交点： 2.5 x2+y2=10, 【G2=4y, (1) (2) 3c-y-2=0: 2y=2; x2+y2=10, (x-4y+6)(c+3+6)=0, (3) (4) 3c-y+15=0; 1(3c+2y-10)(2-y+5)=0. 2.已知方程y=心2一3c+5和y=c+形，求飞为下列值时，这两条曲 线的交点： (1)6=2; (2)k=1; (3)k=0 3.已知方程c一y+2=0和y-4c一2y+1=0,求飞为什么值时， 这两条曲线：(1)有两个交点；（②）有一个交点：(3)没有交点？ g71· ==========第85页========== 4.图解下列方程组： 1x2+y2=5, (1) (2)「x2+4y2=25, ly=2; 12-2y=13. 5.用图解法求下列方程的实数根 (1)2x2+5m-14=0; (2)x3-3x-4=0 (3)2C0sx=x 本章提要 1.曲线和方程的关系 平面上的曲线和二元方程F(化，)=0之间建立对应 关系，要满足下列两个条件： (1)曲线上所有点的坐标，都适合于这个方程； (2)坐标适合于这个方程的所有的点，都在这条曲线上. 2.两个基本问题 (1)已知曲线，求出它的方程。有下列六个步骤：(i)定坐标系； (ii)设点； ()列式； (iv)代换； (v)化简； (vi)证明. (2)已知方程，画出它的曲线.可以分成下列三个步骤： (1)讨论①曲线的截距，②曲线的对称性，③曲线的范围； (i)列表； (i)描点画图. 3.两条曲线的交点 求两条曲线的交点的坐标就是求它们的方程组成的方程组的实数解. 4.本章研究的曲线的方程和方程的曲线的概念是解析几何中最基本也是最重要的概念。它反映了平面上的曲 072● ==========第86页========== 线利二元方程之间的对应关系.已知曲线求方程和已知方程画曲线这两个基本问题是解析儿何的基本思想方法，它为用代数方法研究儿何图形的性质奠定了基础，因此本章是整个解析几何的基础，以后各章将根据这个基本思想方法研究各种曲线。 复习题二A 1.已！P点在下列方程的曲线上，求的值： (1)2-3y+=0,P(一2，-3)； (2)x2+22y2一3x-y-4=0,P(2,1) 2.方程(x一a)2+(y一b)2=2的曲线在什么条件下经过原点？ 3,设有两点F1(一4,0)和F2(4,0),求适合下列条件的动点P的 轨迹的方程，并且画出方程的曲线 (1)P点到F1和F2的距离平方差是32； (2)P点到F1和F2的距离平方和是50； (③)卫点到：和，的距离的比是子； (4)P点到F1和F2的距离的和是10 4.两根杆子绕着两个定点A和B转动，这两根杆子在转动时要保 持垂直.求杆的交点P的轨迹 的方程（设AB的距离是2a).[提示：取AB所在的直线为x 轴，AB的中点为原点.] 5.不画图，说出下列方程表示什么曲线 (第4题) (1)(3x-2)2+(2y+3)2=0; (2)x2+2y2+1=0: (3)(x2-1)2+(y2-4)2=0; (4)(x2+1)(y2一4)=0 6,怎样求方程(，y)=0的曲线的截距？写出下面方程的曲线的截距 (1)4x2+y2-8x+4y-12=0;(2)y=tg (3)4x2-y2-8c+4y-12=0(4)y=10*7,(1)同时对称于两坐标轴的图形，是不是对称于原点？ ·73● ==========第87页========== r(2)对称于原点的图形，是不是也对称于两坐标轴？ 8.方程x2+y=9和y=V9一2是否表示同一条曲线，为什么？ 9.讨论并描绘下列方程的曲线： (1)x2+y2-6c+2y-15=0; (2)2y2=c3, (3)·4a2+9y2+16x-18y-11=0;·(4)√+√y=2 10.当飞为何值时，下列曲线有①两个交点，②一个交点，③没有 交点？ 「y=2x-5, [y=化十， (1) (2) lx2+y2=; 4x2+9y=36. 复习题二B 1.设f(,)=0和g(,y)=0分别是两条曲线的方程，求证方程 f(,y)+g(x,y)=0(入是任何实数) 表示经过这两条曲线交点的曲线， 2.(1)求证：在曲线的方程里，如果以y代，同时以x代y而方程 不变，那末曲线关于第一和第三象限两坐标轴所成的角的平分线对称. (2)求证下列方程的曲线关于第一和第三象限两坐标轴所成的 角的平分线对称： (i)xy=7;（iⅱ)x2+y2=a2, (iii)a2y-1-32c=7. (3)求证下列各组方程的图形关于第一和第三象限两坐标轴所 成的角的平分线对称： （i)3:x+y=1和3y+x=1; （i)2+(y一a)2=w2和y2+(-am)2=2;(ii)y=3和c=y. 3.等腰三角形一腰的两端是A(4,2),B(3,5),求这个三角形的 第三个顶点的轨迹的方程。 4.求经过点F(4,0),并且和直线y=5相切的圆的圆心的轨迹方程 5.长度为a的线段AB上有一个定点P,AP和PB的比为2，线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求P点的轨迹的方程、 ●74 ==========第88页========== 提示：设P点的坐标为（如，），则A和B两点的坐标分别为 3,o)和(，是小 6.一个动点P与两个定点A(-6,O)和B(6,0)的连线PA和PB 的斜率的积为一青，求这个动点P的轨迹的方程。4 7.在△ABC中，∠B=2∠A,AB为定长，求第三个顶点C的轨迹 的方程. [提示：设|AB{=2a,以AB所在直线为x轴，线段AB的中点 为原点，建立坐标系，则A点和B点的坐标分别为（一，O) 和(a,0).由∠B=2∠A得出tgB=tg2A,由此导出轨迹的 C(,h》 方程.] 8.在△ABC中，已知两个顶点为 A(一a,0)和B(a,0),第三个 G(x,y) 顶点C在方程x2+y2=9的曲A(-a,0)0 B(a,0) 线上移动，求这个三角形的重 心G的轨迹的方程 (第8题) [提示：设G点的坐标为(c,y),C点的坐标为（1，y1),则 c+y1=9 (1) 因为2品=子所以x号=背，则 1=3C,2y1=3y, 代入(1)式，得 (3c)+(3y)2=9, 所以c2+y=1是所求轨迹的方程.] 9.讨论并描绘下列方程的曲线： (1)y=2j|-3; (2)y=x+c-2; 1 (3)x2-y+y2=9; 4)y=+1可· 第二章测验题 1.已知方程x2+2y-2-3y-=0的曲线经过点P(1,2),求飞的值。 ·75· F.r ==========第89页========== 2.一个动点和两条互相垂直的直线的距离的积等于3，求这个动点 的轨迹的方程 3.求到点A(-4,2)的距离等于到点B(2,1)的距离的2倍的动 点的轨迹的方程， 4.描绘下列方程的曲线： (1)x2=y2; (2)(x+2)2+(y-3)3=0; (3)x2+(g-1)2+1=0;(4)9ax2+4y2-36x=0. 5.m为什么值时，两曲线5x2-y2+5=0和2x-y十m=0有两个交点？有一个交点？没有交点？ 6.试讨论方程y2=4(x}+1)的曲线的对称性。 ·78● … ==========第90页========== 3 直 线 在这一章中，我们主要研究直线和二元一次方程之间的关系.首先介绍直线方程的各种不同形式，包括点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式和法线式等，然后应用直线方程讨论点和直线之间的关系，以及两条直线之间的关系，最后还介绍了直线系方程 通过这一章的学习，必须掌握直线方程的各种形式，理解各种形式所表示的几何意义.学会已知两个条件求出直线的方程，并能应用直线方程求出点到直线的距离和两条直线的夹角等. §31直线方程的几种形式 在平面几何中，我们知道一条直线可以由不同的条件来确定，下面我们研究儿种不同形式的直线方程， 1.点斜式 一条直线可以由直线上的一个点和它的方向来确定，点可以由它的坐标来确定，直线的方向可以由它的斜率来确定，因此知道了直线上一个点的坐标和它的斜率就可以求出直 P(, 线的方程 P1(a, 已知直线飞经过点P1(, ),并且它的斜率是，求直线飞的方程（图3·1）. 图31 。77● ==========第91页========== 设P(,)是直线？上除P1外的任意一点，则PP的 斜率就是直线，的斜率，所以 yーgı1 =k,化一01 即 -y1=k(G-m). 这说明，直线，上任意一点的坐标都适合于这个方程.反过来，坐标适合于这个方程的点都在直线？上，因此，直线？的方程是： y—gı=k(-a1) 这个方程是由直线上一点和直线的斜率所确定的，所以叫做直线方程的点斜式. 〔注意〕 当直线？经过点P1(1,1)但平行于y轴时，它的倾 角等于受而g受不存在，也就是直线？的斜率不存在，这时就不能应用 P(,0) 点斜式来求它的方程（图3·2）. P1(的，) 因为在这种情况下直线？上任意 一点P(心，y)的横坐标都等于点P1(, 0 y1)的横坐标c,反过来，横坐标等于1 图32 的点都在直线？上.因此，这条直线的方程是 化=U1. 例1 根据下列条件求直线方程： (④经过(-1,2)点，斜率等于-是 (2)经过B,一4点，饭角等于牙， [解] (1)经过(-1,2)点，并且斜率等于-号的直线方程是 078· ==========第92页========== 4) 图3.3 84 -2=-(+1), 3 就是（图3·3） 2a+3y-4=0 (2）因为a一常所以直线的斜率是 b-tg3. 经过(3，一4)，倾角为受的直线方程是 y+4=N③(w-3), 就是（图3·4）√3-则-(3√百+4)=0.例2 已知A(3,3)和B(-1,-5)两点，M点内分AB, 求过矿且直 PA3,3) AB的直线的方程. [解] 所求的直线既经过M点，又 垂直于AB(图3·5)，因此先必 须求出M点的坐标(，)和AB 的斜率飞4B, B(-1,-6)i M点的坐标是 图35 y-1) 化产 1十2 3 ·79● ==========第93页========== 3十2(-5) 1+1 3 2 AB的斜率是 =8-(-5=2. 3(-1) 设所求直线的斜率是飞，根据两条直线互相垂直的条件得 ar6=-1,2k=-1,6=-受因此所求直线的方程为 yー-受（） 即 3+6y-7=0. 2.斜截式 已知直线？在y轴上的截距是b,它的斜率是k,求直线1的方程（图36）. 因为直线？在y轴上的截距是b,所以这条直线经过点(0，b),又已知它的斜率为飞，根据直线方程 0,b) 的点斜式可以得到直线的方程为： y-b=k(-0), 图36 即 y=ko+b 这个方程是由直线的斜率和它在则轴上的截距所确定的，所以叫做直线方程的斜截式. 显然，直线方程的斜截式是点斜式的特例. 〔注意) 与直线方程的点斜式一样，当直线？平行于则轴时，它和y轴没有交点，而且斜率又不存在，因此也不能应用斜截 ◆80● ==========第94页========== 式来求出它的方程， 和前面一样，如图3·7所示，如果直线？平行于y轴，且和c轴的交点为A(a,O),那么这条直线的方程是 优兰a。 例8 已知一条直线的倾斜角的余弦为。，它在y轴上的截距为一2，求这条直线的方程.[解] 设这条直线的倾斜角为x(图3·8)，则 P(e,) 25 1 0 -2 图3.7 图3.8 3 cos a=궁(0≤a<元)，sin a=/1-cos2a -1-(g》4 =6° 4 ∴.ga=sin 4 C09& 3= .直线的斜率 h=4 所求的直线方程为： ·81· ==========第95页========== y=중-2,4 就是 4c-3gy一6=0. 3.两点式 已知直线！经过P1(1,y1）和P(c,y)两点(1+x,+y),求直线？的方程（图39）. 根据直线的斜率公式，可以求得直线？的斜率是： P:(ray) k=1一2 P1(yi C1一化3 又知道直线？经过点P(,y1), 图8.9 应用直线方程的点斜式，就可以得到这条直线的方程为： y一1=红-2(x一， U1一化g 即 一欧=一虹 1一则9 U1-花2 这个方程是由直线上的两点所确定的，所以叫做直线方程的两点式. 〔注意) (1)当1=花时，直线平行于则轴，它的方程为： 0=01. (2)当y1=y2时，直线平 B(-2) 行于x轴，它的方程为： y产y1. 例4 设A(3,0),B(-2,5), A(8,0) C(一4，一6)是△ABC的三个 顶点，求三角形各边所在的直线的方程（图3·10）.[解] 从A,B,O三点，每次取 C(-4,-6) 出两点的坐标代入两点式，得 图310 ●82◆ ==========第96页========== AB边所在的直线的方程是 y-0 x-3 0-53-(-2) 就是 G+y-3=0; BO边所在的直线的方程是 y-5 x-（-2) 5-(-6)=（-2)-(-④3 就是 11c-2+32=0; CA边所在的直线的方程是 y-（-6)=心-（-4) (-6)=0（-4)-3 就是 6-7y-18=0. 例5 以直角三角形ABC的两直角边AO和BC分别为边 向外作正方形ACD.E和BCFG,连结AG、BB,分别交 BC、AC于P、Q,求证|CPl=c01. [解] 以AC和BC所在的直 B(0,b)G(3,) 线分别为轴和y轴建立直角坐标系（图3·11）. P 设各点的坐标分别为 4A(-a,0e0o A(-a,0),B(0,b),E(-a, D E(-G,-） 一a),G(b,),则直线AG的方程为： 图3.1t y-0=-(-a） 0=b(-）-6' 就是 bx-(a+b)则+ab=0. (1) 因为P点在y轴上，所以P点的横坐标x=0,代入方程（①），求出P点的纵坐标y=ab 8十6因此， ·83◆ ==========第97页========== 1OP]-ab a+b- 同理可求出直线B形的方程为： 则一b x一0 b-(-a0-(-a)’ 就是 (a+b)x-a则+ab=0. (2) 由y=0代入方程(2)求出舫=一ab @+6.因此， 1oQ1-ab a+8. 所以 |CP{=1CQ1. 如果把P,P1和P2三点理解为直线？上的三点，那 末根据三点共线的条件，直线的方程也可以写成三阶行列式的形式： 这也是直线的两点式方程，也可用来求直线方程，如例 4的AB边所在的直线方程是 y 301=0, -2 51 就是 x+y-3=0 4.截距式 已知直线？在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0,b≠0)，求直线？的方程（图3·12）. 因为直线？在x轴和y轴上的截距分别是，和b,所以这条直线经过两点A(a,0)和B(0,b),根据直线方程的两点式，可以得到直线？的方程为： 84 ==========第98页========== yー0x-a 0-b a-01 就是 +-1。 题网克草 B0,) 这个方程是由直线在心轴和y轴上的截距所确定的，所以叫做直线方程的截距式 A(a,0) 〔注意) 1、直线方程的截距式的特点是：它的左边是两个分数 图3.12 的和，其中一个是以心作分子，横截距a为分母，另一个是以y作分子，纵截距b为分母；它的右边是1.只有符合这些特点的直线方程才是截距式，否则就不是截距式。例如 受一号-1，警+受-，+g-2等都不是税E式。但它 们都可以化成截距式 2,如果直线经过原点，那末=0，b=0,这种直线不能用截距式表示、如果直线平行于，轴，那末它在心轴上的截距不存在；如果直线平行子y轴，那末它在则轴上的截距不存在.因此这两种直线也都不能用截距式来 B(0,√2) 表示. 例6·已知正方形的边长是 C(-√2,0八 2,它的中心在原点，又 (W,0 对角线在坐标轴上（如图 D(0,-√2) 313),求正方形各边所在的直线的方程. 图3.13 [解] 设ABCD是已知的正方形，且AB)=2,根据题设， 可求得对角线 A이=|B|=2√2。 ·85· ==========第99页========== 所以A,B,C,D各点的坐标分别是（√Σ，O),(0, √2)，（一W2,0),(0,一√2）.由截距式求得各边所 在的直线的方程是： AB: 十=1， V2√2 就是x十则-√2=0 BC: √2十。=1，就是-y十√2=0 CD: 就是+y+Wz=0, DA: √2~V21,就是化-y-√2=0. 1.求出适合下列条件的直线的点斜式方程： 练习 (1)经过点（一1,2)，斜率是3； (2经过点(-8,0斜率是-哥： (3)经过点(W3,-1),倾斜角是罗： (4)经过点（一2，一5），倾斜角是0°； (⑤经过原点，和斜率是子的直线平行：(⑥)经过点(0，一7)，和斜率是一号的直线垂直：6 (T)经过点(0,2)，和两条坐标轴所夹的角的平分线平行、 [提示：有两解.] 2.求出适合下列条件的直线的斜截式方程： ()含率是一受，在y轴上的截距是-5，(②)余率是圣在y曲上的戴E是0 (3)斜率是0，在y轴上的截距是一出 (4)倾斜角是，在y熱上的载距是-V;(⑤)平行于直线y=一3x+4,在y轴上的截距是-1； (6)垂直于直线y=合馬，在y触上的就距是景、 ·86· ==========第100页========== 3。求出适合下列条件的直线的两点式方程，并把它们化成斜截式方程： (1)经过(4,3)和（一4,1）两点； (2)经过(0，一2)和(-3,0)两点； (3)经过(0,0)和(2,4)两点； (4)经过原点和两直线y=ー2+1和yーきー6的交点 4.求出适合下列条件的直线的截距式方程，并作出它们的图象： (1)在x轴上的截距是2，在y轴上的截距是3； (2)在x轴上的截距是一1，在y轴上的截距是2； (⊙)在0轴上的截距是一在y轴上的黻距是一会：5 (④在0植上的鼓距是2，在y轴上的献距是一号 5.设一直线经过（一名，4）点，它的倾角是直线y=3x+ -G+3的 倾角的两倍，求它的方程。 6.已知直线的倾角是a,且inax=票：又直线的纵截距是学求 它的方程 7.已知直线的顿角是a=(-寻)并且过(0,3)点，求它的 方程， §3·2直线和二元一次方程的关系 在上一节中，我们看到直线方程的几种不同形式，它们有一个共同的特点，就是都是二元一次方程.那末直线和 二元一次方程有些什么关系呢？下面我们来讨论这个问题。 首先，我们可以证明： (①)在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程都是关于和y的一次方程 我们知道，在平面直角坐标系中，一条直线和y轴的关· ◆B7 ==========第101页========== 系有两种：一种是相交；一种是平行（包括重合） （)直线和y轴相交：它们的方程都可以写成形式 y=lca+b. ()直线和y轴平行（包括重合）：它们的方程都可以写成形式 花=化， 因为=kx十b是关于x和y的-一次方程，心=a写成c十0·则=，也可以看成是关于心和y的一次方程，因此可以得到： 在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程都是关于和y的一次方程 反过来，我们也可以证明： (2)任何一个关于和y的-一次方程，在平面直角坐标系中的图象是一条直线 我们知道，关于心和斐的一次方程的一般形式是 Ax+By+=0. (1) 其中A,B,C是任意实数，但A,B不能同时等于零，否 则，A=0,B=0,方程(1)就变成 0e+0y+C=0, 得出C=0,方程就没有什么意义了. 既然A,B不能同时等于零，这里就有B≠0和B=0 两种情况，现在分别加以讨论如下： 1.如B≠0，则方程(1)可以写成 y--음 的形式。把它与斜截式方程y=如+6作比较，一合相当于名会相当于。，赋是说，方程g-一会“-号的图象 0.88◆ ==========第102页========== 是一条与y轴相交的直线，这条直线的斜率为一一合，在轴上距为b-음 2.如B=0,A≠0。方程(1)可以写成 4r十0=0，或x=一把它与平行于y轴的直线方程。=a作比较，一牙相当于口，欧是说，方程云--会的图象是一条经过(-只0）点 且平行于轴的直线. 因此，我们可以得到： 任何一个关于：和y的一次方程，在平面直角坐标系中的图象是一条直线 根据上面两个结论，可以得出直线与二元一次方程的关系是 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用关于心和U的一次方程来表示；反过来，任何一个关于心和y的 一次方程都表示一条直线 我们把方程 Ax+Bg则+C=0 叫做直线方程的一般式.这里A、B不同时为零. 要确定这个方程，就是要确定方程中的系数A,B,C, 下面我们来研究确定系数A,B,C需要儿个条件. 如B≠0，方程各项都除以B,得 A A二m,方=几，上面的方程可写成设 mw十y+n=0, ·89.· ==========第103页========== 方程中的两个未定的系数m和2，通常称为参数。确定参数m和n只要两个独立的条件就可以了. 如B=0,这是一个条件，方程可变为 Ac+0=0, 这时A≠0，可得 0=0, A 只要再有一个条件，就可以确定比。的值。 从上面的分析，我们可以得出这样的结论，确定一个元一次方程，只需要两个独立的条件，就是说，两个独立的条件确定一条直线. 直线方程的各种形式是相互联系的，它们可以相互转化，§3·1中的直线方程的几种形式都可以化成一般式，直线方程的一般式也可以化为其他形式：例如： 当B≠0时，一般式A+B则+C=0可以化成斜截式 -음 这里直线的斜率等于一会在y销上的截冠等于一分。 当A,B,C都不为0时，一般式Ac十B则十C=0可以化成截距式 >开=工， 一A一B 这里直线在轴上的截距等于一只。在轴上的裁距誉于 0 例1 已知直线的方程是2c一3则十4=0，求出它的斜率和在y轴上的截距， [解] 把方程2-3则十4=0化为斜截式，得 900 ==========第104页========== 3 所以直线的斜率：-会，在轴上的发距-票、 例2 把直线方程3一2则+6=0化为截距式，并画出图形. [解] 将方程 3x-2g+6=0 (0,3) 移项，得 (-2,0) 3w-2y=-6, 两边除以一6，得到所求的截距式 +号-그 图3.14 在心轴上取点（一2,0），在y轴上取点(0,3)，连结这两点的直线就是方程3x一2y+6=0的图形（图3·14）. 1.求下列各直线的斜率和纵截距： 练习 (1)2c-5y-2=0; (2)5+3y+6=0: (3)3x-7=0; (4)2c+3y=0: (5)y+3=0; ()x-y+1=0. 2。把下列直线方程化为截距式，并作出图形： (1)x-y+3=0: (2)2x+y+3=0: (3)3x-2y-5=0; (4)7x-2y-1=0. 习题 1.根据下列条件，写出直线方程，并作出它们的图形： 31 (1)经过(-3,4)点，且平行于直线5x+.y-6=0: 32 (2)经过(-2，一3)点，且与x轴交于(10,0)点； (3)经过(5，一2)点，且平行于y轴： (4)经过原点及两直线2c+y-1=0,3x一2y=13的交点； (⑤经过(-1,0)点，且垂直于直线“，=+9 5-2 2.直线Ax+By+C=0与(Ax+By+C)=0(k+0)是不是表示同一条直线？为什么？ 8、.求直线5x一2y+12=0和坐标轴所围成的三角形的面积. ·91● ！さ， ==========第105页========== 4.已知A(5,3),B(7,一1)，C(-1,5)是三角形的三个顶点，求 下列各直线的方程： (1)三边所在的直线； (2)三条中线所在的直线； (3)三边的中垂线； (4)三条高所在的直线； (⑤)过各顶点且平行于其对边的直线. 5.设一条直线经过乃(1，y1)点，它的倾角是c,证明这条直线方程可以写成 ー1=y 1cosa sin a [提示：根据点斜式：y一1=(x一g1)g,了 6.证明A(一2，-2)，B(-3,1),C(3,5)和D(7,一7)四点为梯 形的四个顶点，并求这梯形的中位线和对角线所在的直线的方程 7.证明由四条直线一y+1=0,3+2y一3=0,2x-2y-5=0和6+4y+3=0所围成的四边形是一个平行四边形. 8.求经过两直线x一2y+2=0和3x+4则一14=0的交点，且平行于直线3x一y-8=0的直线方程. 9.求证由直线x+2y-5=0,244g+5=0,2c一y=0和7x-11y 一35=0所围成的四边形是一个直角梯形. 10.菱形的两条对角线分别等于8和6，并且分别放置在x轴和y轴 上，求菱形各边所在的直线的方程 11.求斜率是子，并且在x抽上的裁距是-6的直线方程。 §3·3直线方程的法线式 1.法线和法线的辐角 为了解决点到直线的距离等问题，我们还要掌握直线方程的另一种形式一直线方程的法线式。根据直线的各种不同的位置，我们分别讨论如下： (1)直线不经过原点：设飞是已知的直线（如图3·15)， 从原点O向？作垂线OQ,垂足是N,我们称OQ是直线 的法线，ON的长就是原点到直线？的距离，并且规定从原 ·92· ==========第106页========== (d) 图3.15 点O到垂足N的方向是法线的正方向.从：轴的正向依 反时针方向转到法线的正方向所成的角日叫做法线的辐角. 如以如表示ON的长度，那末p应取正值，就是p= |ON>0;又辐角0的大小随着法线OQ的位置的不同而 有所变化，当OQ绕着原点0从轴的正向按反时针方向 旋转时，8就由0逐渐增大到2m。因此我们有： (a) 图3.16 ●98· ==========第107页========== 0≤θ<2r. (②)直线经过原点：如直线？经过原点时（但不与y轴重合)，显然p=0,这时我们规定法线的正方向是向上的，如图3·16的(a)和(b),容易看出，此时0<8<π. 在特殊情况下，如直线？和y轴重合时，法线的正方向规定向右，就是和：轴的方拘相同，如图3·17，这时p=0,9=0 归结上面讨论的结果，我们可以得出原点到直线的距离p和辐角的范围是： 1,当直线不过原点时， p>0,0≤0<2m; 图317 2.当直线过原点且不与y轴相合时，p=0,00，不符合法线式方程的第二个特点.同样，一√3x十y-6=0,虽然常数项一6<0，但（一√3)+1≠1，不符合法线式方程的第一个特点.因此，我们必须记住，只有同时具备上面两个特点的直线方程才是法线式. 例 已知一条直线的倾角是60°，并且到原点的距离等于3,求它的方程， ==========第110页========== * [解] 因为直线到原点的距离等于3，我们可以以原点为圆心，3为半径作一个圆，那末和圆相切的一切直线到原点的距离都等于3；又直线的倾角是60°.因此适合于这两个条件的直线有两条，如 0 图3·19中的和2. (1)对于来说，p=3,01=330°，它的方程是c0s330°-+ysin330°-3=0， 图3.19 也可以写成 V1 2y-3=0, 就是 /3-y-6=0. (2)对于2来说，p=3,02=150°，它的方程是 xc0s150°+ysin150°-3=0， 也可以写成 -+号 2 y-8-0, 就是 √3x-y+6=0. 〔注意〕 这里应把直线的倾角α：和它的法线的辐角9区别开来，直线的倾角指的是轴的正方向和直线的向上方向所成的最小正角(0≤&<)，而法线的辐角指的是龙轴的正方问依反时针方向转到法线的正方向所成的角(0≤8<2π).这是两个完全不同的概念，不能把它们混淆起来 1.原点到直线的距离为p,法线的辐角为日，求下列各直线的法线 练习 式方程： (1)=3,8=3 (2)p=4,0=45°； (3)p=0,日=123°； (4)2=3,日=0°. ·97·● ==========第111页========== 2.根据法线式的两个待点，判断下列方程哪几个是法线式？哪几个不是？ (1)交x13 2y+2=0: (2)3 x—生y-3=0: (3)x-y-1=0; (4) 5 12 +培影=0： (5) 5 -品-g=0:12 (6)8+y=0; (72y-3=0; (8)-x+4=0; (9)-5=0; (10)-5c=0 3。已知下列直线的法线式方程，求原点到直线的距离和法线的辐角： 含y-3=0: (2) 3 万y-4=0: (3) (4)x-2=0; 2 (5)-y-1=0; (6)x=0 4.一圆以原点为圆心，它的半径等于4，有一直径的倾角是150°，求以直径的端点为切点的切线方程。[提示有两解.] §34化直线方程的一般式为法线式 在上一节里，我们知道，只有满足法线式的两个特点的直线方程才是法线式.下面我们来研究如何把直线方程的 一般式 Aa心+By+C=0 化为法线式， 用常数因子入乘方程Ac十B则+C=0的两边，得 λAx+ABy+1C=0. 要使这个方程为法线式，必须 (2A)8+(B)3=1. 因为A和B不同时为零，所以 ==========第112页========== 1 入士/A©+B, 因此，将方程A+By+C=0化为： Ax+By+=0 士√A9+B2 这就是直线A十By十C=0的法线式方程.其中 1 入=-土√A?+B 叫做法线化因子， 法线化因子入的符号应根据法线式的特点来确定： (1)当C≠0时，和0异号 这是因为C≠0时，要使常数项入C<0,必须取入和0 异号. (2)当C=0,B≠0时，2和B同号 这是因为C=O,B≠0时，要使y的系数%B>0,必须 取入和B同号. (3)当0=0，B=0时，2和A同号 这是因为C=0,B=0时，要使心的系数入A=1,必须 取入和A同号. 例1 把直线y-号心+1化成法线式，并求法线的辐角日和原点到这直线的距离.解] 把直线g-专+1写成一般式，得 4c-3则+3=0， 因为A=4,B=一3，C=3>0,所以法线化因子 11 -√16+9-5·(1与C异号) 用-号乘方程两边，即得直线的法线式方程是 ●‘99● ==========第113页========== 4-3y+3 -5 二0， 或写成 +ッ--4 这里oa0-青<0，sm0-号>0,0是第Ⅱ象限 角， 0=180°一36°52'=143°8' 又一2=一号，所以原点到直线的距离是p=0.8,3 〔注意〕 把直线方程一般式化成法线式后，通常不能去分母化简，也不能用“1”去来或除方程两边，如一言+号g~高0是法线式，如果去分母化简，得到红-y+3=0,就不再是法线式，而是义回到一般式方程了，例2 化直线4+y=0为法线式方程， [解] 因为常数C=0,B=1>0,所以法线式因子 11 (2与B同号)./16+1 17 月乘方程的两边，即得直线的法线式方程是 4x十里=0 /17 或写成 4/17 防心+√7 17y=0. 把下列各直线方程化为法线式方程，并求法线的辐角日和原点 练习 到直线的距离p: (1)2c+3y-5=0; 2②y-2 5 (3)如+2=+1 125 (4)x+3y=0: (5)+5=0; (6)4y-5=0: (7)-2y=0; (8)4c=0, ◆100 ==========第114页========== 1.已知直线G一y一3=0，求它的倾角x,法线的辐角9和原点到 33 直线的距离P, 34 2.已知直线ac+y+7=0到原点的距离等于6，求a的值提示：把方程a十y+7=0化成法线式，得 x+y+7=0 -Va2+1 7 7 这里一”=一Va+i'2=又已知p=6,所以 7 a7=6. 解这个方是，得a=土号V压（士后V压都适合，因为这样的直线有两条)门] 3.已知直线kx+y一7=0的法线的辐角是30°，求k的值 4.已知直线经过(5,10)点，且到原点的距离是10，求它的方程， [提示：设所求的直线是 y-10=k(x-5), 即 c-y+5(2-k)=0. 化成法线式，得 kx-y+5(2-)=0, 土V2+i 5(2-k)=10 ·V2+1 解这个方程，得 3 飞=0或k=一4 3、 表 所求的直线的方程是 9 4+3y-50=0, $ 或 y-10=0.] F 5.已知一条直线过(？，1凤，到原点的距离等于1，求它的方程。 6.已知一条直线的斜率是一3，且到原点的距离等于1.0，求它的 方程。 ·101● ==========第115页========== 7.已知一条直线在y轴上的截距是5，且到原点的距离等于4，求它的方程。 8.填写下表： 般式 截斜式 截距式 法线式 x+2y+8=0 -2 十g=1 1 3 y45=0 9.试证直线2c+√5y-15=0和√五心-5y+30=0与圆心在 原点的同一个圆相切，并求这个圆的半径 §35点到直线的距离 我]已经知道，应用直线方程的法线式可以求出原点到一条已知直线的距离，下面我们进一步研究如何求任意 一个已知点到一条已知直线的距离 设已知点是P1(1,y),已知直线？的方程的法线式是 a cos 6+y sin 6-p=0. 如果已知点P1和原点O在直线？的两旁，过P1作直 线？的平行线2，设原点到直线1的距离为p1,则直线的方程的法线式可以写成： a cos 0+g sin 6-p1=0. 因为P1(1,y1)点在直线上，所以 花1cos0+1sin0-1=0, 由此可得 p1=21 COs 0+41 sin0. 从图3·20(a)中可以看到点P1到直线，的距离d= ●102· ==========第116页========== Q NPi(c1,Vi) (6) C 11 Pi(,yi) 8-元 0 P(e,y） (c) 图3.20 |P1H|={NN1=p-p,就是 d=1c0s9+y18in0-2p. 如果已知点P1和原点O在直线？的同旁，有三种情 况： (1)如图3·20(b),直线的法线式方程为： cos 6+y sin 0-p1=0. 点P1到直线？的距离d=P1H=N1N|=p一p,可以得到： d=p-(a1cosB+h8inθ)ー (a1 cos +gı sin 0-p). (2)如图3·20(c),直线1的法线式方程为： cc0s(π+0)+yin(r+)一p=0, .103· ==========第117页========== 点P1到直线&的距离d=PH{=|NN=P+p,可以得到： d=1 Cos(+0)+91 sin(+6)+p=-1 cos 6-yi sin 6+p=-(C1c0s0+y:sin0-p). (3)缠图3·20()，直线Z的法线式方程为： Cos(0-a)+y sin(0-a)-p1=0. 点P1到直线7的距离d=|P1H|=}NN}=p1+p,可以得到： d=a1 cos(0-)+i sin(0-)+=-1c0s8-y18in0+p=-(x1 cos0+91 8in 6-p). 因此，点P1(1,y1)到直线xco39+y sin一=0的距离为： d=ai cos0+y1sin6-pl. 由此得出求点到直线的距离的法则是：(①)把直线方程化成法线式： (2)把已知点的坐标代入法线式方程的左边，求出它的绝对值. 上面的公式也可以写成 d=士(1c0s0-+1sin&-p). 为了使d≥0.等式中的符号可以这样来选取： 1.如果直线不经过原点： 已知点和原点在直线的两旁时（图3·20(）)，取正号；已知点和原点在直线的同旁时（图3·20(b),(c),()),取负号、 2.知果直线经过原点但不与y轴重合（图3·21(@），()): ·04· ==========第118页========== a (b) 图3.21 已知点在直线的上方时，取正号；已知点在直线的下方时，取负号 这是因为直线经过原点但不与y轴重合时，我们规定它的法线的正方向是向上的 3.如果直线与y轴重合（图3·22): P 已知点在直线的右方时，取正 0 号；已知点在直线的左方时，取负 P. 号 这是因为直线与y轴重合时， 图3·22 我们规定它的法线的正方向是向右的例1 求A6,V3),(-4,),C1,√8)三点到直 线+√3g一4=0的距离[解] 化方程G+√3y一4=0为法线式，得 +√3-4 2 =0. A点到直线的距离是 6+W√③√⑧-4 2 B点到直线的距离是 r105· ==========第119页========== -4 2 C点到直线的距离是 可见C点在这直线上（图3·23）. B(-4/ C(1,W)A(6,√/3) 2 图3.23 例2 求平行直线L1:3心+2则-6=0和L2:3x+2则十12=0间的距离 [解] 在工g上任意取一点P,令y=0,则=一4，所以Po点的坐标是（一4,0）（图3.24）. 化L1:3x+2y一6=0为法线式，得 3c+2y-6 /18 =0. 所以平行线L1和L2间的距离就是P。点和工1的距 离： d-s -18=1813 /13 /1313 例8 求与直线7+24则一5=0平行，并且距离等于3的直线 [解] 因为两条直线平行，它们的斜率相等，纵截距不等，因此可以设所求的直线是 ◆106 ==========第120页========== 7x+24g-80=0 P(-40 7c+24划-5=0 7e+24y+70=0 图.3.24 图3.25 7x+24y+0=0. 化成法线式是 7c+24y+C=0, 土25 在7+24y-5-0上寂-点（停，0）（图32可，因为它们之间的距离等于3，所以 5 7×号+0+C =3, 土25 0+5=75, 就是 0=-80或C=70 可见所求的直线有两条，它们的方程是 7a+24y-80=0 和 7x+24y+70=0. 例4 求两条直线 Du 4c-3则+1=0， L2:12c+5y+13=0 的交角的平分线的方程.[解] 设P(,)是直线L1和L的交角平分线上任意一 点，那末 ·107· ==========第121页========== P到L1的距离=P到工a的距离. 所以 13 即 4-3测+1=士(12x++13 -5 -13 化简后就是 2+16+13=0 和 56c-7y+39=0. P 这就是所求的两条角平分线的方程 具体地说，如图3·26，设 P1是平分线1上的任意一点， 则P1与原点O都在L1和L2 图3.26 的同旁（或都在工1和L?的两旁），所以1的方程是 4c-3y+1=-12+5则+18 -5 -13 或 4-3y+112x+5gy+13 -5 -13 就是 2+16y+13=0. 设P2是平分线t上的任意一点，则P。与原点O在 L1的两旁，面在La的同旁（或在L1的同旁，在L的两旁)，所以妇的方程是 4x-3y+1=-12x+5y+13 -5 -13 或 -4-3y+1=12x+5g则+13 -5 -13 就是 56c-7y+39=0 例5 用解析法证明：等边三角形一边上的任一点到其他两边的距离的和等于这个等边三角形的高.[解] 以等边三角形ABC的一边AB所在的直线为心轴， ·108● ==========第122页========== AB上的高所在的直线为侧轴建立直角坐标系（图3·27）。 设等边△ABO的三个顶点 为：A(-,0),B(a,0),C(0,√3a).一边AB上的P点为 0(0,V8) (1,0). D 则直线A0的方程为 A(-,0),0Ba,0吵4 龙十y=1, -a3a 图3·27 就是 √3x-y4W/3a=0. 直线BC的方程为 就是 /3+y-√3a=0. 因为P点和原点在AC的同旁，所以P点到AC的距 离为|PD1=-√8-0+√3a=√g+√8a -2 2 因为P点和原点在BC的同旁，所以P点到BC的距 离为 |PE到=-√⑧+0-W8a=-√84+√③u 2 因此， |PD+IPE=34+√3a 2 +-√3+√③a 2 =3a=O0, 这就证明了等边三角形任一边上的一点到其他两边的距离的和等于这个等边三角形的高. ●109· ==========第123页========== 习题 1。求下列点与直线的距离： 35 (1)6c-8y-5=0,(2,-10); (2)y=V3x+7,(0,5): (3)4c+y=0,（-1,3); (4)x-y=0,(8,1); (5)7=0,（-2,-1)； (6)y=0,（-1,3). 2.求下列各对平行线间的距离： (1)3c+4y=10,3c+4y=0; (2)12c-5y-6=0,12c-5y+5=0; (3)2c-7y+8=0,4r-14y-7=0: (4)y=c+3,y=kx-3 3.求下列每对直线交角的平分线的方程： (1)3x+y-7=0与x-3y+5=0: (2)3x+4y=7与8ax+6y=13. 4.已知△ABC的三条边所在的直线的方程分别是 AB: 5x-12y=0: BC:12c-5y-60=0; CA:5x+12y+60=0. 求(1)三角形的三个内角的平分线所在的直线的方程； (2)三角形的内心1. 5.证明两条直线飞1：ccos01+ysin01-p1=0和2：xcos0,+ysin, 一p2=0交角的平分线方程是 a cos1+usin1-p1=±(xcos02+ysin02-一p2). 6.求点(a,)到直线+붕-1的距离 7、已知A(@,O),B(0,b)和C(h,)是三角形的三个顶点，求AB边上的高hc,并验证h与AB的长的 乘积等于△ABC面积的两倍 [提示：先求AB边的方程，再求C点 到AB的距离·] 8.求与原点及直线x+y=3等距离的 点的轨迹方程 a 9.正方形的一个顶点在原点，它的一边的倾角为c,边长等于a,求这个正方形的各边所在的直线的方程， (第9题) [提示：两条边是经过原点的，另两条边到原点的距离等于a.] 01100 ==========第124页========== §36直线和直线之间的关系 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是： L1:A1+B1则+C1=0, I2:Ac+B2则+C2=0. 我们知道，两条直线交点的坐标就是它们的方程所组成的方程组的解.因此要研究两条直线是否有交点，只要讨论方程组 A1+B1y+C1=0, A2x+B2y+02=0 是否有解 下面我们来讨论这个方程组的解： (1)当A1B2-A2B1≠0，就是 (① 方程组有唯一组解，就是说，当(1)式成立时，两条直线相交，交点的坐标是 BC2-B:C 化=A1B2-A9B1) A2C1-AC =A:B2-A.B (2)当A1Ba一A2B1=0,就是 在这种情况下有两种可能： ①B1C2一B01=0,就是 B1=C1 B2O91 则方程组有无穷多组解，就是说，当 。1110 ==========第125页========== 是-是-号 时，两条直线重合； ②B1C2一B2C1≠0，就是 则方程组无解，就是说，当 时，两条直线平行 从上面的讨论可以看到，直线方程的系数可以反映直线的相互位置关系例1 判断下列各对直线的相互位置关系，如果它们相交，求出交点的坐标： (1)2x+y=5和4-y=7; (2)2x+y=5和4w+2则=-3. [解] 田因为量，所以方恐组 ∫2r+y=5, 14-y=7. 有唯一组解。解这个方程组，得 8=2, y=1. 所以这两条直线相交，交点丝标为(2,1)。 (e)固为- 一3 所以方程组无解，即两条直线平行。 1,判断下列各对直线的相互位置关系，并作出图形验证判断的结 练习 果，如果两条直线有交点，把交点的坐标求出来： 3c+y=4, (1) 10-y+5=0,2c-2y-5=0: (2)6G+3y=12; ·112● ==========第126页========== (3)2a-y-1=0, 2c+y-1÷0; (4)/=-3, 1gy=5w-3. 2.证明平行于直线41心十b1y十c1=0的直线的方程可以写成+b1y+k=C的形式. 2.两条直线的夹角 如图3·28所示，两条相交直线L1和L有两个夹角 p1和2，它们互为补角.为明确起见，我们规定： 直线L1和La的夹角是指L1按逆时针方向旋转到和工，重合时所转的角，如图3·28中的p1;而直线工2和L1的夹角是指Ig 按逆时针方问旋转到和L1重合 时所转的角，如图3·28中的p2. 图3.28 这里必须分清楚哪一条直线是第一条直线，哪一条直线是第二条直线，才能确定是哪一个夹角. 很明显，1和两个角中，如有一个是锐角，则另一个必定是钝角.我们总是规定两条直线的夹角是在0与之间，如两条直线平行，它们之间的夹角规定为0，所以 0≤p0,所以=8，代入方程 (2),得 3x+4y-24=0, 0128· ==========第140页========== 1.根据下列所给的条件，强直线系方程： 练习 (1)在y轴上截距是一2 ②)斜率是-子： (3)原点到直线的距离是：4)法线的角是60°；(⑤)经过(2，-3)点； (6)经过两条直线1：x+2y-5=0,L2:3x-y-1=0的交点： (7)平行于直线3x+4-7=0; (8)垂直于直线c十3y-2=0 (9)在两轴上的截距之和是2； (10)平行于直线xcos60°+ysin60°-4=0：(11)切于圆心在原点而半径等于4的圆； (12)垂直于直线증+붕-고 (13)在两轴上的截距之积是2. 2.利用直线系方程，求满足下列两个条件的直线方程： (1)垂直于直线x+3y一2=0，并且在y轴上的截距是2， (2)过(-3,2)点，并且平行于直线3x-2y一7=0； (3)过(1,4)点，并且垂直于直线3x-5则+8=0：[提示：设所求直线的方程是5x+3y+C=0.] (4)经过（一5,5）点，并且与原点的距离是1； (5)经过（一2,2）点，并且与两坐标轴相交所成的三角形面积是1. §3·8过两条直线交点的直线系 如果要求经过两条直线 L1:x+2y-5=0, L2:3-y-1=0 交点的直线系方程，可以先求出和工2的交点坐标(1,2),然后用点斜式写出直线系方程y-2=k(一1).那末能不能不求出两条直线交点而直接写出经过它们的交点的直线系方程呢？下面就来探讨这个问题。· 。127 .c-. ==========第141页========== 如，电不同时等零时，我们观察方程 m(+2y-5)+n(3-y-1)=0. (1) 这个方程的特点是，它是一个二元一次方程，表示一条直线，如m2=0,那末(3-y一1)=0表示直线L2,如h=0,那末m(x十 2划一5)=0表示直线L1.另外， 直线I1I9交点的坐标(1,2) 是满足这个方程的，因为当=1，y=2时， 图3.38 x+2y-5=0,3x-y-1=0, 所以 m0+20-:0, 也就是说，直线 m(x+2y-5)十2(3.x-y-1)=0 是经过直线L1和La的交点的.很明显，给m,n以一切可以取的值(，不可以同时等于零)，就可以相应地得到经过交点(1,2)的一·切直线的方程.例如m=3,儿=2，方程(1)变为 3(x+2y-5)+2(3x-y-1)=0, 就是 9+4则-17=0. 它是经过(1,2)点的直线 一般地，设 T1:A+B13+01=0 和 L2:AB则hC2=0 是相交的两条直线，m,h是不同时等于零的任意实数，那末 L:m(A1B194-01)+n(Agx+B+0)=0 (1) 是经过L和I的交点的直线系的方程 这里必须证明： ·128· ==========第142页========== (I)不论m,2是怎样的值（其要不同时等于零），工的方程都是和y的一次方程，从而说明工总是表示直线 (II)直线系L经过L1和L的交点，反过来所有经过 L和L?交点的直线都包括在直线系工中. 为了证明(I),把方程(1)化为 (9nA1+nA2)x十(mB1+nB2)y+(9mC1+C)=0,(2)只要证明A1十nA2和mB十乳B2不能同时等于零就可以了.用反证法，如mA1+mA2和mB1十nB,同时等于零，则 A1B1=-么 A.2 B2 m 这说明了工1和工是平行的.但这是不可能的，因为我们已经假设L1和L2是相交的.因此mA1十nA?和mB1+B2不能同时等于零，所以方程(2)（即L的方程）是和的一次方程，从而证明了工的方程是表示直线， 为了证明(II),我们设L1和L2的交点是Po(ao,yo),因为P(xo,yo)在L和Lg上，所以 AW+B1w+C1=0,A20十B20+C2=0 把'。的坐标代入工的方程左边，得 m (A1o+B-yo+1+n(A2ao+B2y002)=m0+1…0=0. 这说明P。的坐标满足工的方程，也就是说直线系方程所 表示的直线都经过L1和L2的交点P(o,). 其次，我们证明所有经过工1和工2交点的直线都包括在：直线系L中，要说明这个问题，只要设P1(a1,y1)是交点 P。外的任意一点，然后证明经过P。和P1的直线都包括 在直线系工中就可以了. 因为直线I经过P1(c1,1)的条件是 m(A11+By1+C)+(A1+B1+Cg)=0,由假设P。利P1不重合，所以P1不是工1和Lg的交点，因 。129。 ==========第143页========== 此A1c1+B1士和A1十B1十C,不能同时等于零，如设Ax1十B则1十C2≠0，可得 初空一A11+B11+C1 压w1+By1+02 在上式中，如给以任意确定的值，就可以相应地求出n的值.就是说，直线系L中的m和n,只要按照上式 中的关系取它们的值，所得的直线就是经过P。和任意一点 P(不与P。重合)的直线. 经过上面的论证，我们可以得出下面的结论：经过直线 L1:A1a+B1y+0=0 和 La:A3a+Bay+0=0 交点的直线系的方程是 L:m(Axx+Biy+C)+n(A2x+By+Ca)-0(这里m,n不能同时等于零). 如m0,设”=人，那末工的方程也可以写成 AxByC1+(A3x+By+C)=0这个形式的直线系方程，在解决问题时，用起来比较方便。例1 求经过两直线L1:2+3y-5=0和L2:7x+15y+1=0的交点，并且垂直于直线L3:12x-5y-1=0的直线方程 [解] 经过L1和工？交点的直线系方程可以写成 2x千3y-5+元(7+15y+1)=0, 就是 (2+7)x+(3+15)y-(5-)=0. ①) ④如n中0，也可设元一贺，直线系的方程就是 λ(A+B1则十C1)十Ax+By十Cg=0。 ◆计30● ==========第144页========== 它的斜率是 尘群2+7孔，8 3+15入 而直线12一5则一1=0的斜率是 5 根据两条直线垂直的条件，得 k=-1, 就是 解得 2=一1， 代入方程(1)，得 5+12y+6=0, 这就是所求的直线方程（图3·39）. 6x+12g+6=0 图339 例2 求经过P(2,1)点和两直线L1:3-5y~10=0, I2:心十y+1=0的交点的直线的方程.[解] 经过和L交点的直线系方 程是 2 R(2,1) 8x-5y-10+入(c+y+1)=0,(1) 因P(2,1)点在这直线上，所以 3×25-10+(2+1+1)=0, 解得 9 图340 1:31◆ ==========第145页========== 代入方程(1)，得 21w-11y-31=:0, 这就是所求的直线方程（图340），不求出交点，而求经过两直线 练习 L1:2-3y+2=0, E23-4y-2=0 的文点，并且满足下列条件的直线方程： ①经过原点； ②平行于直线2x+5y+3=0; ③垂直于直线2x+3y一4=0： ④经过(-3,2)点； ⑤与原点的距离等于1. 习题 1.证明下列方程都是具有斜率为-号的直线系方程： 37~ (1)=- 2 38+ó (2,y一1=-- Ax+By+C=0, (3)2c+3y4C=0 (4)3A~2B=0: (⑤嘉+款1. 2.证明下列方程都是经过(1，一2)点的直线系方程 (1)y+2=(x-1): (2)A(-1)+B(y+2)=0: 1 (3)등품-공- (4) 1 y1 =0 1 -21 【Ax-BH年C=0, (5)lA-2B+0=0 3.直线7c小24=0在两坐标轴上的藏距之差是3，求飞的值. 4、直线Z经过（一3,4）点，并且具有下列所给的条件，分别求它的 方程： (1)垂直于经过(4,1)和(7,3)两点的直线； 手 (2)到(12,9)点的距离等于5， Z 5.求经过2c十y一8=0和3x十2y=0两直线的交点，并且垂直于 庆 x轴的直线方程， 6.+y-8=0,x一2-5=0,3x-y=0是一个三角形的三条边所 ·t32· ==========第146页========== 在的直线的方程。求： ①)经过三角形各顶点并且与对边平行的直线的方程；(②)三边上的高所在的直线的方程. 7、求证直线Ax+By-+C=0分两定点P(1,y1)和P(x,)的连结线段的比是=一一Ax1+By1+0 A2十By2+C· [提示：可以把分点的坐标代入直线方程.] 本章提要 1.直线方程 方程名称 方 程 说 明 一般式 A十By+C=0 A,B不能同时等于零 (1,)是已知点，飞是斜*，平行 点斜式 yー1= (x-1) 于y轴的直线不能用此式表示点斜式的特例.是斜率，b是纵截 斜截式 y=kg+五 距，平行于y轴的直线不能用此式表示 班=龙无1 91-为1-2 两点式 之1￥ (,1)和(2，如）是已的两点 或 11=0 1 a,b分别是直线在：轴和y轴上的 截距式 증+중~ 截距，经过原点或平行于坐标轴的直线不能用此式表示 p>0,它表示原点到直线的距离，0 xC089-+ysin0-2=0 法线式 Aa+BI十G是法线的辐角，0≤0<2π注意法线 或 土A3+B严 0化因子一 的符号法则) 2.直线方程的应用 (1)已知两条直线： e33 ==========第147页========== L1:A1c+B1y十C1=0(或y=k1c十b1), La:Axx+B3g+0s=0（或y=kw+bg),()平行的条件是 고-B2+或1= 垂直的条件是 A1A2+B:B2=0或k1飞2=一1.()交点的坐标是 B:C2-B2C:A2C1-AC2 A1B2-AB1’AB2-A2B1 (ii)交角 招p=A1B2-A2B A14+BiB2 或坞p=) (由第一条直线到第二条直线按逆时针方向计算.)(v)经过两直线交点的直线系方程是 A1G+B1y+C1+1(A2x+B则+O2)=0. (2)已知一个点P1(c,y)和一条直线 a cos 6+-y sin 6-p=-0 点到直线的距离是 d=1 cos 6+g1 sin 0-pl. (3)已知三条直线（互不平行）： L1:A1x十Bg+C1=0, L2:.A2x十B则+C2=0, La:A3c十B3g+C3=0. 三线共点的充要条件是： A B1Cx A2B2 C2=0 AgBs Cs 3。已知两个条件，求直线方程 ()两个条件是直线方程某一种形式的两个条件，可 ·184· ==========第148页========== 将它们直接代入.；·0：：A (2)两个条件不全是直线方程某一种形式的两个条件，可分三步来求： ()设方程：写出满足其中小个条件的直线系方程；()求参数：用另一个条件求出直线系方程中的参数；(ii)代入：将所求得参数的值代入直线系方程， 复习题三A 1.把直线方程13c+12y一5=0化为斜截式，截距式和法线式. 2.根据下列所给的条件求直线的方程： (1)经过P(3,2)点，并且倾斜角是135°； (2)经过P(3,4)点，并且与直线y=2+1相交成平的角； (3)经过P(2,一3)点，并且平行于直线x一2y+3=0: (④)经过P(-,2)点，并且垂直于斜率为号的直线： (5)经过原点，并且与P(2,1)点的距离等于号 (6)经过两条直线2+y+1=0和x一2+1=0的交点，并且 垂直于直线3+4y一7=0 8,解下列各题： (1)求原点到直线4c一3y+5=0的距离； (2)求两条平行线5x+2y5=0和10x小4y+35=0间的距 离； (3)求两条直线2x一3+1=0与-3=0的夹角； (4)求(2,3)点到直线3c-4y-15=0的距离； (5)在直线x+3y=0上求一点，使它到原点的距离与到直线 x+3y一2=0的距离相等； (6)在直线4+3y一12=0上求一点，使它到（一1，-2)和 (1,4)两点等距 4.当a和b取什么值时，两条直线x一2y一1=0和6c一4y-b=0 (1)有一个公共点；(2)：平行；(3)重合.： ·135 ==========第149页========== 5.个动点(g,y月，以粱(15,32)为起点，沿着和直线12c+5y -12=0垂直的方向作每秒6.5个单位长的匀速运动，求动点P 运动的路线方程，并且求出到达直线时所需的时间， [民示求让B到直线的速，而时问一爱饕，] 6.)求经过两直线y-一寻+9和=3加的交点，并且与原 点距离为1的直线方程； (2)求经过两直线一3y+2=0和5x+6y一4=0的交点，并且 与直线x-y+2=0交成30°的角的直线方程. 7.知果P(2,3)是从原点向一直线所作的垂线的垂足，求这条直线 的方程. 提示：所求直线的斜率是k=一] 8、设a,b,,p分别表示同一直线的横截距、纵截距、斜率和原点到这直线的距离，证明下列各关系式是成立的： (1)b=-ka; (2)22=p2(1+12); )+능는- 9.试求P1(1,3)和P2(7,2)两点的连结线段被直线2x-5y+8=0所分成的两段的比入，并求这两条线的交点的坐标 [提示没P%0是PA与直线2x-g48-0的交点，则品+끗-+]3+2入7 10.求经过P(2,-3)点，并且分P(6,3)和P(2,-1)两点的连线 成两段的比为2：5的直线方程 11.求经过直线7w十y一3=0和3+6y一11=0的交点，并且垂直 于这交点与原点的连线的直线方程. [提示：过原点和交点的直线是68x-7y=0.] 12.已知三角形的三条边分别在直线4x一则+4=0，x+y一4=0和 8-y+1=0上，求 (1)经过原点和三角形的重心的直线方程； (2)三个内角的平分线所在直线的方程； (3)三角形的三条高的长. ◆188· ==========第150页========== 13.一物体作直线运动，从静止开始以3厘米/秒2的匀加速度出发，2秒后停止.加速，作匀速运动，再过4秒后作6厘米/秒2的匀减速运动直到静止.作出它的速度￠随着时间t变化的图象，求出图象各段的方程，并且说明图象与古轴间的面积等于物体整个运动经过的离. 14.弹簧原长是3厘米，在0.5千克到3.5千克的载重限度内，每增加-千克弹簧伸长0.5厘米.用公式表示弹簧长度(y)和载重量（心）间的关系式， 复习题三B 1.在：两条平行直线x-2y一2≈0和一2y一6=0之间作一条直线，使它与这两平行直线的距离的比为1：3，求这条直线的方程. 2.一直线被两平行直线3x+4y-7=0和3c+4y+8=0截得的线 段的长为3V√2，且这直线通过点(2,3)，求它的方程 [提示：先求出两平行直线间的距离等于3，由此得到所求直线和两平行直线所成的角为45°或135°，从而求得这条直线的斜率] 3.过点P(0,1)作直线，使它夹在两直线-3y+10=0和2c+y -80间的线段被P点所平分. 4.已知直线'：y=4和点P(6,4),在直线1上求一点2，使过 P、的直线和1以及x轴在第I象限内围成的三角形的面积最小. 5.求经过两直线7x中7y一24=0和x一y=0的交点，并且与两轴 在第I象限内围成周界是12的直线方程 提示：设所求的直线是7：+7y一24+入(c一)=0，求出在两轴 上的交点(7装0(，兰》从三角形的周界是12，求出2] 6.一条光线经过P(2,3)点，射在直线x+出十1=0上，反射后穿过(1,1)点，求 (1)光线的人线反射线的方程； .37● ==========第151页========== (②)入射角：8··“ 7.已知等腰三角形底边方程是x+y一1=0，一腰的方程是x-2 一2=0，点(+2,0)在另一腰上，求此腰的方程. 8已知正方形的中心为（生，1），边长为4，一边所在直线的斜率为√3，求四边的方程. 9已知正方形的两个相邻的顶点是A(2,3),B(6,6),求其他两 个顶点的坐标.[提示：有两解.] 10.在△ABC中，已知∠B=90°，D是AC边的中点，DE⊥AC, ∠B的平分线交DE于E点，用解析法证明△DBE是等腰三角 形. 11.在正方形ABCD的边AD上取一点P,使CP=AP+AB,又 M为AD的中点，用解析法证明：∠BCP=2∠MCD. 12.求证直线(2m-1)x+(m+3)y-(%-11)-0不论m取什么实 数，必通过一个定点. [提示：把方程化为(2x+y-1)m=x-3y-11.] 13.求方程1x+y-1!=2的图形所围成的区域的面积. 14.在平面内过-个已知点P(1,4)引一条直线，要使它在两坐标轴 上的截距都为正，且它们的和最小，求这条直线的方程，[提示：设所求的直线方程为 y-4=(x-1), 则它在x轴和y轴上的截距分别为： 1-号和4-， 因为1-手和4-都大于0，所以<0.8=(1-)+(4-=5+[（-)+(-],因为（一）+（ーり>2√(-）(-ーら)4所以s>9,等号当一是-后时成立 而飞<0，因此当k=一2时截距的和最小，由此得到这条直线的方程为 9-4=-2(8-1), ·198• ==========第152页========== 即 2x+y-6浅a ·:15.在平面内过-一已知点P3,2)引→条直线，和两坐标轴交于M 和N两点，要使三角形.OMN的面积 最小，求这条直线的方程：六、 16.在平面内过一已知点P(2,1)i一条 直线，和两坐标轴分别相交于A和B, ,1) 要使PA}·IPB最小，求这条直线的 方程. 0 [提示：设所求直线的倾角为a,则它的方程为 (第16题) y-1=tga(x-2), 1PA1=1 I sin a IPBI- 2 cosa&’ IPALPBI= 1· 2 2 sin a 4 sin2a· 因为 0≤c<亦， 所以当 2a= 2 和2a-警时， 即 a和a-时，|sin2a最大，PA}jPB最小.， 因此所求的直线方程为 y-1=g空-2)， 和 y-1=g(x-2). 就是 x一y-1=0和龙+y-3=0.] 第三章测验题 1.已知△ABC的三个顶点的坐标是：A(3,3),B(2,-2)和 G(-7,1),求；· ●139● ==========第153页========== (1)AB边上的高F所在直线的方程； (2)AC边上的中线BE所在直线的方程； (3)∠A的平分线AD所在直线的方程； (4)∠A的度数. 2.把方程3c-y-10=0化为斜截式、截距式和法线式. 3.k为什么值时，三条直线一y=2,x一y=3,c-y=4相交于 一点. 4.求出下列直线的方程： ①)经过点P(2,1),且和直线5c-2划+8=0的夹角是堂； (2)垂直于直线3一4y一7=0，且和原点的距离等6； (3)与点(4,3)的距离为5，且在两坐标轴上的截距相等； (4)经过两条直线2x+y+1=0和x一2y+1=0的交点，且平行于直线4x一3y一7=0 5.已知ABCD是正方形，E、PG、H分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，用解析法证明：线段AF、BG、CH、DE围成一个正方 形，并证明这个正方形的面积是原正方形面积的方 6.已知△ABC的两个顶点是A(2,0)和B(6,2),第三个顶点C 在直线y=4上，求△ABC的重心的轨迹. ●10e ==========第154页========== 圆锥曲线 这一章共包括五个部分的内容，它们是圆、椭圆、双曲线、抛物线（这些曲线统称为圆锥曲线）和圆锥曲线的切线 在日常生活和自然科学里，经常要应用到锥曲线的图形和性质.例如汽车前灯、探照灯的反射镜面就是应用了抛物线的性质制造的.光学中往往应用圆锥曲线的焦点来聚光、散光和返光，制造各种灯具；地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆形，天体运动的规律，和椭圆、双曲线、抛物线都有着深刻的联系；在工厂里，有些机床的偏心轮是椭圆形，自然通风塔的外形是双曲线形状，有些拱桥是抛物线形等等.可见，圆锥曲线是客观事物的反映.因此，当我们在学习这一章时，希望能做到以下儿点： (①)理解各种圆锥曲线的定义，并学会怎样利用坐标法导出它们的标谁方程. (②)学会应用解析的方法来研究圆锥曲线的几何性质. (3)了解圆锥曲线上某一点的切线和法线的定义及性质以及它们在光学土的应用 .圆 §41圆的方程 我们知道，圆心确定圆的位置，面半径确定圆的大小下我根据圆心的坐标和半径的长来求圆的方程 ▣14算● ==========第155页========== 1.圆的标准方程 皇 设圆心是C(ab),半径的长是r,P(,)是圆上任意一点，那末 CP=r, 根据两点间的距离公式， P(,) 得 √(-)3+(y-b)=r, 0(a,b) 两边平方，得 (x-a)9+(y-b)3=3.(1) 因为P(,)是圆上的任意一 图41 点，这就说明了圆上的任意一点的坐标是满足方程()的.下面我们还得说明，凡是满足方程（①）的坐标的点，必定在这个圆上.为此，可以设P1(1,y1)点，它的坐标是满足方程(1)的，就是 (c1-)2+(y1-b)=r2 两边取算术根，得 W(1-a)+(y1-b)=r. 这个式子说明P1(,y)点到C(a,)点的距离等于圆的半径バ，就是 P0=m. 可见满足方程(I)的坐标的点是在这个圆上. 根据上面的讨论，可以得出结论：圆心是C(a,b),半径是？的圆的方程是 (-a)8+(gy-b)2=3 我们把这个方程叫做圆的标准方程. 在这个方程中，如a=0,b=0,它就变为x+y2=2这是圆心在原点，半径是”的圆的方程 :,显然，如果M1(1,y1)点是在圆的外部，那末这点到圆 ◆.142◆ ==========第156页========== 心的距离大于圆的半径，就是 (1-a)2+(y1-b)2>3. 如果M(,y2)点是在圆的内部，那末这点到圆心的距离小于圆的半径，就是 (2-a)9+(yg-b)2.0); (6)(mi,n), r=ル(m>0) 2.圆的一般式方程 把圆的标准方程 (c-a)3+(y-)2=3 (1) 的左边展开并整理成： 2+y2-2x-2by+a2+b3-2=0. 在这个方程中，令-2a=D,-26=,a2+b3一2=F, ·148· ==========第157页========== 它就变成： 心+y2+Dx+E则+F=0, (2）) 这是一个二元二次方程，若把它与一般的二元二次方程 Aa4 Bay+Cg+Dx+Ey+F=0 (3) 作比较，可以发现它有两个特点： (1)没有乘积cy这一项，即这项的系数B=0 (2)和y2项的系数相同，即A=C≠0(x3和y2的系 数是否等于“1”，是无关紧要的，因为可以用A(=C)去除方 程的两边，那它就变成(2)的形式了). 现在我们来说明方程（②）的轨迹一般的是表示一个圆的问题.经过配方，方程(2)可化成 (e+2)+(+》°-D+0-E (④) 4 把它与圆的标准方程 (c-a)3+(y-b)3=r3 作比较，可以看到： (1)如果D+E2-4F>0,方程(4)的轨迹是一个圆， 它的圆心是（分一），半径是r一是VDF一丽 (2)如果D2+E2-4F=0,这时？=0，方程(4)的轨迹 领缩小成一个点（号，一），我们则它做点圆。 (3)如果D十2-4F<0,因为方程的左边是两个实 数的平方和，不可能是负值，说明方程（④）没有实数解，就是说方程(4)没有轨迹（或说轨迹是虚圆）. 根据上面的讨论，我们可以得出结论：任何一个圆的方程都可以写成 a+y3+Da+Ey+F=0 的形式.反过来，凡是属于这种形式的方程，它的轨迹一般都是一个圆（特殊情况是点圆或没有轨迹）. ●：f44• ==========第158页========== 我们把方程 +g2+Dx十Ey+F=0 叫做圆的一般式方程 到现在为北，我们已掌握了圆的方程的两种表达形式，就是说，任何一个圆，它的方程都可以写成标准式 (x-)3+(y-b)2=2, 或一般式 e2+2y2+D+Ey士F=0. 展开标准式的左边并整理后，可以把它化成一般式，而一般式经过配方后，可以把它化成标准式.标准式的特点，就在于它具有鲜明的几何意义，从形式上可以看出圆的圆心是(a,b),半径是T.一般式的特点，就在于它的2和y项的系数相同，并且缺少心y项，掌握它，我们可以很容易地在 一般的二元二次方程中辨别出哪些是圆的方程，哪些不是圆的方程.在解答圆的问题时，有时用标准式方便，有时用 一般式方便，要根据具体问题妥善选择（下一节另有介绍）。例2 求圆3ax+3gy2-10x-24划=0的圆心和半径. [解] 用3除方程两边，得 t2+g-10-8y-0, 配方后得 (-)+-4”-(）月.所以圆的圆心是（气）半径是. 例3 求过0(0,0)，A(一1，-3)，C(4,2)三点的圆的方 程，并求出这个圆的半径和圆心的坐标[解] 设所求的圆的方程为 2++DE+Ey+F=0, ·145◆ ==========第159页========== 因为O、A、C三点在圆上，所以它们的坐标都是这方程的 解.把它们的坐标依次代入所设方程，就得到关于D,E,F 的方程组： D+3E-F=10, 4D+20+F=-20. 解这个方程组，得D=-8,E=6,F=0.于是所求的圆的 方程是 x2+y2-8x+6y=0 经配方，得 (x-4)3+(则+3)3=25， 半径r=5,圆心的坐标是(4，-3). C(4,2) -80460 0 TA O 4.-3) A(-1,-3 中60 中60 中100 图42 图43 例4 某零件图的尺寸如图43所示，试求交点A、A',B、 B的坐标 [解]…因为图形是关于心轴和y轴对称的，因此只要求出一 个交点A,其它三个交点都可以根据对称性质得到 A点的坐标是方程组 〔x2+y2=502, (1) (x-60)2+y2=309 (2) ·146 ==========第160页========== 的解.解这方程组，得斑二 心=43言≈43.33，=±204 3≈土24.94. 四个交点的坐标是 A(43.33,24.94),A'(-43.33,24.94), B(43.33,-24.94),B(-43.33,-24.94). 求下列各圆的圆心和半径： 练习 (1)x2+y2-2c+2y-2=0;(2)7c2+7y2-4x-y-3=0: (3)c2+y2+2x-4划+5=0；(4)x2+y2+4c-13=0(⑤x2+y2+(a+b)x-(a-b)y=0; (6)3x2+3y=0. §4·2决定一个圆的条件 我们知道，两个独立条件决定一直线，现在来研究决定 一个圆需要几个独立条件的问题。 因为圆的方程是 (c-a)8+(则-b)2=r2, 或 a24-q24Dx-+Ey+F-0. 每一个方程都有三个参数(a,b,”或D,E,),求圆的方程就是要确定这三个参数.求一个参数需要一个条件，因此决定 不 一个圆必须并且只须三 B(6,-) 个条件 C(1,-3) 例1 已知A(-4,-5)A(-4-例 和B(6,一1)两点，求以 AB为直径的圆的方 图44 。147● ==========第161页========== 程。 [解] 设所求圆的方程是 (-)3+(y-b)9=r3 因为圆心C(g,)是AB的中点， ,a=으-1，b-3- 2 =-3, 受4-受6++(-1+-2 所求圆的方程是 (x-1)2+(y+3)2=29, 例2 已知圆C是22+y2十4x一6y+12=0,求以A(1,7)为 圆心并且与圆C外切和内切的圆 [解] 把圆C的方程改写成标准式，就是 (+2)2+(y-3)3-1. 因而得知圆心是C(一2,3)，半径是”=1，连心线 4C|=√/(1+2)2+(7-3)F=5. (1)以A(1,7)为圆心且与圆C外切的圆的半径是 R1={AC一m=5-1=4, 它的方程是 (a-1)3-+(y-7)3=16; (2)以A(1,7)为圆心， A(1,) 且与圆C内切的圆的半径 是Rg=AC+T=5+1=6, 0 它的方程是 (x-1)+(则-7)3=36. 图4.5 例8 已知一圆的圆心在直线y=一2上，且经过点P(2, 一1)，求在：x轴上截得的弦长为2的圆的方程. [解] 设所求的圆为(x-a)+(侧一b)2=令y=0,得 2-2ac十a2+b2-3=0 48◆ ==========第162页========== 又设圆与心轴的两个交点的横坐标分别为和，那末 引m1-c2=2. 8 根据韦达定理，得|1-l =W/(c1十c2)2-414 =√4a-4(a2+b-r) =2√a-6 .'.√/m2-6=1..(1)由于圆心在直线y=一2訪上， 图46 ..b=-2a. (2) 又圆经过P(2,一1)点， .(2-a)9+（-1-b)9=22 (3) 解由(1)，(2)，(3)所组成的方程组，得 u=4-2W/3≈0.54，b=-84√3≈-1.07，r2=113-64W3≈2.15；a=4+2W3≈7.46， 或 b=-8-4W3≈-14.93，2=113+64√/3≈223.85， 因此所求的圆的方程是 (x-0.54)2+(y+1.07)3=2.15, 或 (x-7.46)2+(y+14.93)3=223.85: 例4 设△ABC的三条边所在的宜线的方程分别是 AB.4x-3y+10=0, BC:y=2, 一 CA:3-4y-5=0. 求这个三角形内切圆的方程 二 [解] 设三角形的内切圆的方程是 a149· m. ==========第163页========== 图4.7 (-a)2-+(y-b)3=2 为了求三角形内切圆的圆心(a,b),可以求∠A和 ∠B的平分线的交点，根据第三章求角的平分线的方法，得 3x-4y-5=4x-3y+10 9+16 -√⑨+16 就是 7x-7y+5=0. (1) :4-3创+10-y-2 一5 1 就是 2x+y=0. (2) 所以和的交点是(-员，)21,7 就是 5 b=10 27 21 又7一”--盟（求交点到0边的距离）.32 所以三角形的内切圆的方程是 (e)°+(a-》°-（贸. 就是 441+441y+210x-420y-899=0. ●150· ==========第164页========== 例5 在已知圆O中，CD是平行于直径AB的弦，P是直径 上任一点，求证PC+PD=PA+PB2 [证] 以圆心O为原点，直径AB所在的直线为x轴.设圆 的半径是？，那么A、B两点的坐 标分别是(-T,0),(r,0),圆的方程是24y=2, 设D点的坐标是(a,b),根据对称性可得0点的坐标是 0 (-a,b). 因为D点在圆上，所以 a2+b2=个2， 图4.8 又因为P是直径AB上任意一点，故设P点的坐标为 (,0),于是 PC2+PD=[(+a)2+b2]+(-a)2+7] =22+2(a3+b2)=2(2+m3), PA2+PB2=(x十r)2+(-r)3=2(2+m2),由此证得 PC+PD2=PA2+PB2. 例6 已知P(c,y)是圆心2+2=4上的动点，A(-4,0)是 定点，求线段AP的中点 的轨迹 [解] 设AP的中点为M P(,) M(xo,yo) (xo,o),那末 2，=y+0 A(-,0) 2 由此可得 x=20十4，y=2y0. 图491) 因为(，y)是圆x2+y2=4上点的坐标，所以 (20+4)2+(2o)2=4. 由于都是同一坐标平面上的点，把(xo,yo)改写成(，)， ·151· ==========第165页========== 就可得到M点的轨迹方程是 (c+2)3+y2=1. 很明显，它是以C(一2,0)为圆心，半径为1的一个圆 〔注意) 从例6的解题过程可以看到，轨迹上的点(M)是依赖 于已知圆上的点(P)而求得的.就是说，凡是能找到轨迹 上点的坐标和已知曲线上点的坐标间的函数关系式时，求点的轨迹就可以利用已知曲线的性质来研究.·这是在求轨迹时经常采用的一种间接的方法。再看一个例题： 例7 已知A(-4,0)、B(2,2)是△AB0的两个顶点，顶点 0在圆2+y2=4上移动.求△ABC重心的轨迹.[解] 设页点C的坐标为(o,o),重心为(x,y),根据重 B(2,2) 心公式： =一4+2+ G(x,y)C 3 A(-4,0) 0-2+y0 C(xo,yo) 3 图49(2) f0=3-+2, 得 yo=3y-2. 因为(o,o)是圆2+y=4上的点，所以 (3+2)2+(3则-2)9=4， 就是 (+)+(g--(层)° 所求△ABC的重心的轨迹是一个以（，）为圆心、 以会为半径刷图。与题 1.圆(x一)2+(y一b)2=2中，g、b、满足什么条件时，能使圆 4·1 (1)过原点； (a2+b2-y2=0) 42 (2)圆心在x轴上； (b=0) (3)圆心在y轴上； (a=0) ·152 ==========第166页========== (4)与x轴相切： (b=士) (5)与y轴相切； (a=±学) (6)与x轴和y轴都相奶；(a|=1b1=r) (7)与x轴不相交 (20),可见F1的坐 标是(-C,0),F2的坐标是 图420 (c,O).又设P(c,y)是椭圆上的任意一点，并且到两个焦0166· ==========第180页========== 点F1和F,的距离的和为2a®，就是 PF+PF2=2a (a>0) 用两点间的距离公式，可得 PF=V(x+c)3+y,PF3=V(x-c)+y所以 V(a40)3++(-c)3+y3=2a. (1) 这个方程说明了在椭圆上的点到两焦点F1和F的距 离的和等于定长2a,因此它就是椭圆的方程.但这个方程在形式上还不够简单，我们要尽可能地把它化简.主要是想办法去掉根号. 经过移项，得 W/(-+c)3+y3=2a-V(-c)3+y2, 两边平方 (x+c)+g2-4a2-4aW(ax-c)94y+(x-c)9+y,把整式和根式分在等号两边 a3-cx-av(x-c)3+y 再平方 (a2-cx)3=a2C(x-c)9+y], 整理后得 (a2-c2)x3+a2y2=a2(a2-c). (2) 由于在△PF1F2中，PF1+PF>|FP2l,就是2a>2c,a>c(>0),所以a2>c2,因此a3-c2>0,设w2-c2=b2(b>0),并把它代入方程(2)，可得 b2x2+a2y2=a263, (3) 以a26除方程(3)的两边，得 +-고 (4) 最后这个方程(4)是由方程（①）推导出来的，说明椭圆 ①设{fFg-2C和P1+1PF2la2a,只是为了导出椭圆方程时的方使 •1876 ==========第181页========== 上的任意点P的坐标满足方程(1)，当然也满足方程（④）.但 从方程(1)经过代数的变形化到方程（②）时，中间曾经把等式平方两次，因此满足方程(4)的实数对（心o,o)是不是也满足方程(1)，也就是说以(o,yo)为坐标的点是不是也在椭圆上.这需要经过检验才能下结论， 设点P。的坐标(o,yo)满足方程(4)，就是 +器=工， + 所以 6=b9(1-g)-(a-9（1-) （.b3=a2-c2). 现在来计算P。点到F1和F3两点间的距离： PoF=(ao+c)248 N(+2c‰+の)+(-の(1-) 端+2c0+n3 v()-+용2 P,l=a-8∞② 同理可得 为了求出|PoF1+IPF的值，就是为了计算 +o+a-용 的值，必须先确定a与。∞的大小关系，才能去掉绝对值 的符号. 由经+华1，可知≥0，所以等<1，就是1w ①、②PgF1和1PF叫做椭圆上Po点的焦点半径。 ·88.m ==========第182页========== ξa.又,所용<1，因을o이<，試提-<음 0,a-9%>0, 所以 P,n+PF=(a+g∞)+(a-日w)-2a. 计算的结果说明了Po到P1和F?两点间的距离的和 等丁2α，也就是说，P。点确实是在椭圆上，方程(4④)确是椭 圆的方程。我们把方程 2 y2 叫做椭圆的标准方程 〔注意〕 在方程中%表示椭圆上的点P到两个焦点间距离的 和的-一半.参考下图可以帮助记忆，并容易看出，a,b,c恰成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b,Q>c,且2=a-c2,其中c是焦距之半（因为我们设F1F2=2c,切不能把c误为焦距).又a,b,c都是正数 例 就图4·21，如PF1|+PFg=20,F1F2=16,写出椭圆的方程 [解] |PF1+PFg=20,就是2a=20,a=10. }F1F2=16,就是 2c=16,c=8. P 所以b2=a2-c2 =100-64=36, 因此椭圆的标准方程是 02 10036 图4.21 ·169● ==========第183页========== 1.知在4.6节中的P+|PF2】=16,{乃2}=10时，求椭圆的 练习 方程 2.如已知△ABC的底边BC的长是8，其他两边的长的和是10， 求第三个顶点A的轨迹. §4·7椭圆的性质 在第二章里，我们已掌握了对曲线进行讨论的一般方法，现在根据这个方法，从椭圆的标淮方程 =1(>b>0) (1) 讨论椭圆的性质。 1.对称性 容易看出如果以一代心，以一y代y,方程都不变.这说明椭圆关于心轴和y轴对称，因而也关于原点对称.就是 说，轴和y轴是椭圆+器-1的对释轴，原点是它的对称中心（也叫做椭圆的中心） B(0,b) 0 4(-4,0 A(e,0 B(0,-) 图422 2.截距 就是求椭圆与c轴和y轴的交点，在方程()中，令y=0,得优=士a;令化=0，得y=士b,就是说，椭圆交化轴于A(a,0)和A'(-a,0)两点，交y轴于B(0,b)和B(0, 一b)两点（图4·22）.：这四个交点称为椭圆的四个顶点. 0170◆ ==========第184页========== AA'称为椭圆的长轴.显然，长轴AA的长是2，它的一 半长是a,我们称a是半长轴的长.BB称为椭圆的短轴，显然，短轴BB的长是26，它的一半长是b,我们称b是半短轴的长.焦点必定在长轴上， 从椭圆的标准方程，可以直接写出它的长轴和短轴的长. 〔注意〕 1.在标准方程下，椭圆的对称轴合于两条坐标轴.椭圆的长轴和短轴，是指对称轴上被椭圆所截的一段。它们的长是长轴和短轴的长. 2.我们规定半长轴为a,半短轴为b,所以a>b(当然a>c). 例1 求精圆兮+号-1的长销和短轴的长，5 [解] 把方程化为标准的形式，即 a2 y 。V)1 因为总是a>b,故a=3,b=√5，所以长轴和短轴的长分别是6和2√5， 〔注意〕 初学椭圆，有时会因疏忽而产生两种错误：第一种是把半长轴的长当作长轴的长，把半短轴的长当作短轴的长；或者相反地把长轴的长当作半长轴的长，把短轴的长当作半短轴的长.如例1中，把3当作长轴的长，把√5当作短轴的长.只要注意些就可以避免这种错误.第二种是把a2当作半长轴（或长轴）的长，把b当作半短轴（或短轴）的长.如把例1中的9当作a,把5当作b.为了避兔这种错误，可以把方程与标准形式相比较，如2≈9，b3=5,这样就很容易得出a=3,b=√5. 3.范围 就是确定曲线存在的范围.从方程（①）解出y或，得 ●1710 ==========第185页========== yー±√-或一士号하~ず・ 由这两个关系式，可以知道a2-2≥0，b3-y2≥0. B ='b 所以l≤a,ly≤b.可见椭圆的图形是在四条直线 c=a,心*-a,y=b,y=-b B 所围成的矩形内（图423） 图4.23 这个矩形的长是2a(就是椭圆的长轴的长)，宽是2b(就是椭圆的短轴的长).例2 求椭圆42+92=36的长轴和短轴的长，焦点的坐标，并画出它的图形[解] 方程的两边都除以36，把它化为标准式，得 1， 所以a=3,b=2, e=Na2-b3=/⑨-4 =/5. 因此椭圆的长轴和短轴的长分别是6和4，两个焦点分 图424 别是F1(-√5,0)，F2(√，0). 由关系式 y= 计算出，在第I象限内的对应值： D 1.5 2 2.5 2 1.9 1.7 1.5 1.1 0 根据坐标(，)描点，并由对称性就可以作出所求的椭圆(图424). 。172· ==========第186页========== 4.离心率 椭圆的形状有扁平一些的，也有圆一些的，怎样才能刻划出它的扁平程度呢？从椭圆的短轴与长轴的长的大小关 系，不难肴出它们对椭园的扁平程度的彩响。例如&子，椭圆就显得肩一些（图425(）；如名-，椭圆就圆-一些(图425)：如名-营，椭卧就更圆一些了（图4·250》可见久的省是可以刻划椭圆的偏平程度的。就是说当：的值愈接近1时，椭烟愈近于圆，当名的值接近宁0时， 椭圆就愈扁平.但是 √-1-(, (b) c 图425 且由于>c>0,所以0<&<1，容易看出，在式子 名--( 中，如之时，则0如名→0时，则会1，因此用云的值也可以刻划椭圆的瘺平程度。就是说，当。的值愈大，即愈接近于1时（这时愈接近于0），椭圆就愈扁平； 。173· ==========第187页========== …当。的值愈小即接近于0时（这时愈接近于1）椭 圆就愈近于國，一般我们不用名的值，而是用的值来表 示椭圆的扁平程度的.就是说，用焦距的长和长轴的长的比来表示椭圆的扁平程度.这个比就叫做椭圆的离心率，并且用e表示，就是 因为>c>0,所以0<8<1，就是0b; (2)焦点是在长轴上，所以a>c,焦点的坐标是（-c,0)和(C,0),因此焦距的长是2c (3)离心率8-。，其中c=√@-b,因此 e=Vaa 安 又2=1-9，所以=(1-).在a,b,0,9四个参数中，只要知道其中的任意两个，便可以求出其他的两个，因而也可以写出椭圆的方程。为此，我们必须正确地掌握这四个参数之间的相互关系。 174◆ ==========第188页========== 例3 已知c=8,6=2写出椭圆的方程（中心在原点，长轴在x轴上). [解] 因为0=。. 。e0*。12 3 又 b3=2-c2=122-82=80, 因此椭圆的方程是 9 例4 地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆形，太阳在它的…个焦点上，轨道的近日点到太阳的距离是144百万公里，轨道的远日点到太阳的距离是149百万公里.求这轨道的离心率和轨道的方程[解] 以百万公里作为单位长度. 如图4·26所示，设F,是太阳的位置，A是近日点， A'是远日点（就是椭圆 在长轴上的顶点).因为OF2=c, 10A|=a, F1 :(太阳) 且F2A=144, 远日，点》 适日， A'F2|=149, a-c=144, 所以a+c=149. 图4·26 .a=146.5,c=2.5, b=/a2-c2=/146.53-2.5≈146.4. 所以轨道的离心率 e=:G2.5 5 1 146.5=29350· ●175◆ ==========第189页========== 轨道的方程是 3 22 146.+146.4空=1， 1.求下列各椭圆的长轴和短轴的长、焦点的坐标和离心率并画出 练习 图形： (1)끓+ (2)16c2+25y°=4003 (3)x2+9y2=81; (4)c2+16y2=25 2.根据下列所给的条件，写出中心在原点，焦点在父轴上的椭圆方程-=6,e=9 (1) 答：22 321 (2)b=4,e=心 答2c2, =1. (3)0=8,8= 答：+品 2 =1 上面所讲的是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（图4·27(α))，事实上我们也可以把椭圆的中心放在原点，把焦点放在y轴上（图427（⑦）).这时椭圆的长轴在y轴上，它的长是2a,短轴在x轴上，它的长是2b(a>b>0),很明显，只要把和b的位置互换，便可得到椭圆的方程是 器+-1(e>6>0). 这也是椭圆的标准方程.例如椭圆究+=1的焦点是 9 B(0,a) B(0,b) a d(-410) F2A(a,0) A( -b, 0) b a 1(,0号 B(0,-b) (a) B'0,一) () 图427 ◆176· ==========第190页========== 在：轴，面椭圈号需-1的点是在y轴上，这里 a=5,b=3是不变的，只是它们的位置不同而已。就是说，在椭圆的标准方程下，如果2项的分母比项的分母大，则焦点在x轴上，如项的分母比y项的分母小，则焦点是在y轴上.关系式c=-9不变，椭圆的离心率仍然是一合，只是焦点的坐标不同。如果焦点是在轴上，它 们的坐标是(-c,0)和(C,O),如果焦点是在y轴上，则它们 的坐标是(@，-0和(0，。).例如对椭圆云+号-1米说，焦点是(-4,0和(4,0，而椭圆÷+多=1的焦点是(0， 9+25 -4)和(0，④).这是容易理解的，但也容易疏忽，必须引起注意. 从上面的讨论，知道椭圆的标准方程有 常-1(o>6>0,焦点在销上) 或 等-1(@>6>0，焦点在y獭上) 的形式，去分母后，也可以写成 b”.x2+22y2=a262 或 a2x2+62y2=a262 一般地，我们可以把它们写成 Ax24Cy2=K. 上式中A,C同号，这是一个只有2项、y项和常数项的二元二次方程 (1)如K≠0，且： ①K与4，C同号，则是和是都是正的值，用五除 方程的两边，就得到 ·77 ==========第191页========== =1, A 这也就是椭图的标准方程，容易看出，如冬>冬即4<0 时，则椭圆的焦点在心轴上（长轴也在心轴上），这时 如聋<名即4>0时，则椭圆的熊点在y销上（伥轴也在y轴上，这时a-√图6-√医如答-名，即4-0时，则轨迹是一个圆. ②K与A,C异号，此时方程无轨迹，例如16x2+2= 一3。这种方程有时也叫做虚椭圆. (2)如K=0,只有x=0,y=0,轨迹是一个点，叫做点椭圆. 〔注意〕 1.从上面的讨论看来，如果由椭圆的方程求它的长轴和短轴时，必须先判定长轴是在x轴或y轴上，焦点的坐标也要相应地随之改变；反过来，如果由所给的条件求椭圆方程时，也必须认清长轴是在x轴或y轴上（就是焦点在心轴或y轴上)，以免产生错误. 2.我们所说的椭圆的标淮方程，是指焦点在坐标轴上，中心在原点上的椭圆的方程 ·例5 已知菱形的边长为4，一个内角为60°，以菱形的两条对角线为坐标轴，求： (①)以菱形的四个页点为顶点的椭圆； (2)以60°角的两个顶点为焦点，并且过另一对顶点的椭圆. [解] (1)把椭圆的焦点置于：轴上（图428），那末 |A1B=4,∠0AB2=30°，· ·17B● ==========第192页========== B 0 B (1) (2) 图428 b=10B2=2, a-0A,-×4-2vE所求的稀圆方程是若+号1， 若把焦点置于y轴上，则椭圆为 +-1 (2)把椭圆的焦点置于c轴上，那末 a=0A1=|F:B2=4, 6=0B2=2, 所求的椭圆方程是+-1， 若焦点置于y轴上，则椭圆为 2+=1. 416. 例6 当k取何实数时，限+=与椭圆号+若-1 (1)相交；(2)不相交？相交时有儿个交点？[解]圆与椭圆若相交，方程组 「2+y2=飞， (1) +-12 (2) 必有实数解。 。179· ==========第193页========== 由(1)y2=k-代入(2)，得 =土N144-9k (3) 同时由(1)=飞-，代入(2)，得 16k-144 y=士N (4) 由（③）、(4)得知方程组有实数解的条件是： 144-9≥0， 16k-144≥0. 解这个不等式组，得 9≤k≤16 所以当916时，圆与椭圆不相交. 例7 已知椭团g小器-1和+茶-1(e>>0有四个交点，试证明，这四个交点在同一圆上，并求这个圆的半径. [证] 因为两个椭圆有四个交点，所以这些交点的坐标是方程组 b2x+a=a282 (1) a2x2+b2y2=a269 (2) 的实数解. (1)+(2),得 (a2+b)x3+(a2+b2)y2=2u26, (3) 因为a2+b÷0,所以 2a233 ℃3+y2=a2+b9. 这是一个以原点为圆心，T= √行为半径的圆。两椭√/2ab ◆180· ==========第194页========== 圆的交点垫标既满足(1)和(2)，当然起满足(3)，因而证得两椭圆的四个交点在同一圆上，并且这个圆的半径 B0,o》 r=ab√2(3+b3 a3+63 P(x,y 例8 已知线段AB的长为2a,它的两个端点分别在轴和y轴上滑动，求 0 4(,0) 内分AB成n:m的点的轨迹 图4.29 [解] 设A,B两点的坐标分别是(，0)，(0，yo),P(,)内分AB所成的比为n:m,即 - AP-m 由线段的定比分点公式，得 o千-.0 m 1+ m 0+·y0 m 1+%● m 由此解得： 2o=mtn (1) m 蛇，%=m十n 在直角三角形AOB中，OA+OB=AB2,即 号+y6=(2a)2. 用(1)式代换，得 +(g- 心2 即 2am 2an s m+n m+%/ 可以看出，分AB成？：m的点的轨迹是一个椭圆、当m> ·181· ==========第195页========== %时，焦点在c轴土；当m<%时，焦在9轴上；当m=%时，轨迹是一个圆，即2+y2=a2. 1.求下列各椭圆的焦点、离心率，并作出图形： 练习 (1)2+2y2=8; (2)9x2+25y°-=1005 (3)x2=1-2y2: (4)25x2+9y2=100 2.求中心在原点并且适合下列条件的椭圆方程： (1)a=4,b=1,焦点在y轴上： (2)a=4,c=√5，焦点在x轴上； (3)a=10,b=1,焦点在c轴上， §4·8用几何方法画出椭圆上的点 1.我们根据椭圆的定义，用圆规和直尺画出椭圆上的 一些点，然后用光滑的曲线顺势连结各点，就可以得到所要画的椭圆 设椭圆的长轴的长是2a,焦距是2c. 取F1和Fa两点，使F1Fa一2C,因此F1和Fg两点就可以看成是椭圆的两个焦点. 令A'A=2C,在A'A上取 M,N两点，使 A'M=NA=a-c. 然后在MN上任意取一点Q, 并设A'Q=t(这时a-c≤t≤a十c),则CA=2a-.分别以 F1和F2为圆心，t和2a-t为 2c- 半径作弧，设它们交于P1和P 图430 两点，则P和P1是椭圆上的两点（因为PF}+PF =t+2a-t=2a).在MN上改变Q点的位置，以同样的 方法可得到P2和P:两点，：最后用光滑的曲线顺势连 结P,P2,…各点，就得到所画的椭圆 182 ==========第196页========== 2.·我们以长轴和短轴为直径画两个同心圆.这两个圆做辅助圆（一个叫大辅助圆，一个料小辅助圆），从圆 心O任意作一半径ON交两 圆于M和N,再从N和M 分别引短轴和长轴的平行 线，设它们相交于P1,则P1 P(c,) 点是椭圆上的一点，同样的 方法可以得到P2,P8,…各 点，用光滑的曲线连结各点，就得到所画的椭圆. 图431 下面证明P,P2,P3,…各点是椭圆上的点. 如图431，设P1点的坐标是(c,y),则ON'=心，N'P1=y.根据作法，可知ON=a,IOM|=b.如设∠N'ON =60,则在△ON"2N中，cos9-行在△0DM中，sin0=岩，由此可得 03 =sin20+cos29=1, b9 可见P(心，y)点是在椭圆上. 利用圆规和直尺画出下列各椭圆上的一些点，然后顺势连结各 练习 点，画出椭圆的图形 1)需+고 =1 49 (3)2+4y2=25; (4)9c2+25y2=100. 习题 1.根据下列所给的条件，求以原点为中心，长轴在轴上的椭圆方 4.5 程，并画出它们的图形 (1)焦点间的距离等于8，长轴的长等于10； 4.8 (2)焦点间的距离等于6，短轴的长等于4； (3)焦点间的距离等于12，离心率e=0.6; (4)长轴和短轴的和等于20，焦点间的距离等于4√⑤。 ①ON与OX的夹角日叫做椭圆在P1点的离心角。 ·183● ==========第197页========== [提示：解方程组a+b=10,a2一=20.] 2.求以原点为中心，两轴都在坐标轴上的椭圆方程 (1)经过P1(3,0)和P2(0,一4)两点； (②)长轴的长是短轴的长的5倍，且经过P(7,2)点 [提示：设a=56,考虑长轴在x轴或y轴上的两种情况.] 8.求与椭盟器+誉-1有相洞点并且经这P(√5，-√)4 点的椭圆方程 4.已知地球的钞道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上.轨道的近日点到太阳的距离和远日点到太阳的距离的比约为29：30.求地球轨道的离心率， 6.在桶医写+号-1上京一点，①)使它到中心与到x辅正 方向上的焦点的距离相等；(2)使它与两焦点的连线构成一个直角 6.地球的子午线是一个椭圆形，它的两个半轴的比是299 300,求子午 线的离心率 [提示：设a=300k,b=299,求出c.了 7.已知椭圆短轴的两个端点各与焦点组成一个直角三角形，求椭圆的离心率 8.一个动点P(c,y)到一个定点F(2,0)的距离和它到一条定直线x一8的距离的比是1：2，求动点P的轨迹 9.P是蘼四需+若=1上的动点求述结顶点4(5,0)和P的 中点的轨迹. [提示：设P(xo,yo),AP的中点为(x,),则xo=2x-5,o=2y,….] 10.已知一圆经过椭圆x2+4y2=4的两个焦点，并且以椭圆在y轴 正向上的顶点为圆心，求圆和椭圆的交点. 11.椭圆的中心在原点，短轴上一端点B(0,2)对两焦点的视角为 120°，求 (1)椭圆的方程； (2)椭圆的内接正方形的面积及这个正方形的内切圆的方程， 12.已知P、Q是椭圆bx+ay=a26(a>b>0)上的两点，且 ●184● ==========第198页========== b· l.双曲线 双曲线也是一种常见的图形，现举一个实际例子来说明 设A,B是两个观察站，P是敌人炮兵阵地，如果敌人 在P处发炮，在A站听到炮声的时间比在B站听到炮声的 时间迟5秒钟，面声音在空气中的传播速度是330米/秒， 根据这个数据，就可以知道P到A的距离比P到B的距 离多330×5=1650米，列出式子就是 {PA-1PB=1650, 其中1650是一个常数，A,B是两个定点，因此可以说P点 到A,B两点的距离的差 是一个常数.当然，仅有这个数据，我们还是无法 测定敌人炮兵阵地P的 双曲线 方位，但是我们却可以知 道P是在与A,B的距离 之差等于1650米的点所 双曲线 组成的曲线上.这曲线是 图4.32 双曲线的一支（下面画图说明），如果要测定P的方位，我 们只要设立第三个观察站C(图432)，再根据B,C两站 所听到的炮声的时间差，就可以知道P也在与B,C的距 离的差等于另一定值的另一支双曲线上.这两支双曲线的 交点，当然就是敌人的炮兵阵地P了，然后按照地图的比例 尺，画出这些双曲线，就能确定敌人的炮兵阵地P的位 置， ·185● ==========第199页========== §49双曲线的定义 根据上面的实例，我们先来画一个图形。在平板上（板 上放一张纸)钉两个钉子作为定点F1和F2,取两条长度相 差为2a的线，把长的一端结在F1上，把短的一端结在Fg 上，它们的另一端打成结M.以铅笔尖套住这两条线。左 手将M轻轻拉紧，右手握笔顺势移动，则笔尖P在纸上画 出的图形就是双曲线的一支.这时我们可以发现，不论P 移动到哪里，PF1的长与PF2的长的差总是2a,这是因为 PF-PF=(PF+PM) -(|PF2+PM) =两条线长度的差2a 如果把长的一端结在F,上，短的一端结在F1上，用同 样的方法就可以画出双曲线的另一支（图433） 这个事实给我们提供了给双曲线下定义的依据. 定义 如果平面内一个动点到两个定点的距离的差的绝对值等于定长，那末这个动点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距 〔注意〕 比较一下椭圆和双曲线 图433 的定义是有好处的，一个是动点到两定点距离之和为一常数的点的轨迹；一个是动点到两定点距离之差的绝对值为 一常数的点的轨迹，仅是“和”与“差”一字的区别，其他完全 一致，但它们的图象却完全不同了。 ·186 ==========第200页========== §4.10双曲线的标准方程 现在我们从双曲线的定义出发来推导双曲线的方程与椭圆的情形一样，首先要在双曲线的平面上建立坐标系。取焦点F1和F2的连线作为x轴，F1F2的垂直平分线为y轴，交点0作为原点（图434）. 设焦距F1F=2c(c>0),则两个焦点的坐标分别为(-c,0)(c,0). 设P(,y)是双曲线上的任意一点，根据定义，它到焦 点F1和F2的距离的差的绝 对值为定长2a(a>0),则有PF1-{PF2=±2a①. P(, 用两点间的距离公式可 f1(-c,0) 0 得 PF1=√(w+c)3+2y2, PF3=(-G)+2 所以双曲线的方程是 图434 V(x+c)3+2-V(a-c)24y2=t2a (① 这个方程说明了在双曲线上的点到两个焦点间的距离的差的绝对值等于2%，因此它就是双曲线的方程，但它不够简单，我们要尽可能地把它化简.先移项，得 /(+c)2+y=±2a+N/(w-0)2+, 两边平方 (+c)2+y2=(-c)2+y2+4a2士4a√(x-c)+, ca-w2=土a√(t-c)3+y2, ①用2c和2a只是为了推导方程时的方便.如P是双曲线右面一支上的点，则PFl一IPF2l一2a,如P是左面一支上的点，则1P一1PFim -2a. ·1870 ==========第201页========== 再平方 ca*+a4-2a2co=a2g2+a2c?-2a2cx++a2y, c2x2-a2x2-a2y2=a2c3-a4,(c2-a)x-a2y2=a2(c2-a2). (2) 在△PP1F。中，因为PF1一PF2a,所以c2-a>0,令c2-a2=(b>0),于是方程(2)可化成 62c2-a22y2=a26, 就是 y 691. (3) 方程(3)是由方程(1)经过平方化简后而得到的，所以双曲线上的点的坐标必定满足方程(3)，但是在化简过程中，我们把等式平方两次，因此我们还得说明满足方程(3)的实数对(o,o)是不是也满足方程(1)，也就是说以(ao )为坐标的点是不是在双曲线上.下面我们就来做这个检验. 设Po(co,yo)满足方程(3)，就是 得 6-(答-1）=e-(袋-1) (.·6=c2-a). 现在来计算PF和PoFa, PoF=(2o-C)2+98 =√a+c9-+(c2-a9(g-1, 化简得IP.l-V(o+a)-은o+dl 同理可得 El= 용o-a 0188+ ==========第202页========== 与椭圆的情形一样，为了求出PoF1一PFg的值， 就是为了计算号0+a-合0-a的值，必须讨论80 与的大小关系，才能去掉绝对值的符号. 由空器-1，可知≥1，就是≥，又因为c>a,所以>1：因此合>a,从这个绝对值不等式可得 음>a或음<-a 这里有两种情况： (1)如8o>a,即80-a>0,则IP4-n=8ota-(侣w-a）=2g(②如80<-a,即号o+a<0,则 P,F-lPF-(&+a-(a-&o)--2a综合(1)，(2)可写成 |PcF1-IPcF2=±2a. 计算的结果，说明了P。到F1和F2间的距离的差的 绝对值等于2a,也就是说，Po点确是在双曲线上，方程(3)确是双曲线的方程.我们把方程 称为双曲线的标准方程， 〔注意) 1.方程中的a是表示双曲线上的点到两个焦点间的距离的差的一半.在△PPF2中，PF1一PFg< |FP,所以2a<2,a1,2=a+.这个关系 ·189· ==========第203页========== 式与椭圆里的关系式不同.在椭圈里是a>6,日<1，心-b3+c2,要仔细观察此较. 2,椭圆方程与双曲线的方程仅相差一个符号，这里 が前的符号是“一”的 例 已知双曲线的焦点是F1(-4,0)和F(4,0),曲线上 的点到两焦点间的距离的差是6.求这双曲线的方程.[解] 由焦点坐标可知c=4,又2a=6,a=3,所以 62=c2-a2=16-9=7, 因此双曲线的方程是 2-=1. 97 根据下列所给的条件写出双曲线的标准方程（中心在原点，焦点 练习 在x轴上) (1)a=4,b=3; (2)a=5,一个焦点是F(-6,0): (3)1F1F21=8,b=2(4)F1F2=8,a=2. §411双曲线的性质 ·与椭圆的情形一样，从双曲线的标准方程 2-2 a91 (1) 讨论双曲线的性质. 1.对称性 以一w代红，以一y代y,方程都不变，这说明图形对称于x轴和y轴，因而也对称于原点.也就是说，心轴和y轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心（也叫做双曲线的中心). ◆190● ==========第204页========== 2.截距 在方程(1)中，令y=0,得心=士a,就是说，双曲线和轴有两个交点A(a,0)和 A'(一a,0),这两个交点叫做双曲线的顶点.双曲线 B(0,b) 与y轴没有交点，因为在 A(a,0) =0时，y=士bi,是虚数 -c,0) Fz(c,0) 解(b是实数)，因此我们 把AA'叫做双曲线的实 轴，2a称为实轴的长，a称为半实轴的长；我们称 图435 BB为虚轴，虚轴的长等于2b,b称为半虚轴的长. 〔注意〕 根据上面=c2一a2的规定，因此我们只要以顶点A为圆心，半焦距c为半径作弧交则轴于B和B,则 10B12=0B2=c2-a2, 所以有向线段0B=6,OB=-b,而B'B≈2b,见图4.35. 如果a=b,双曲线称为等轴双曲线或等边双曲线，它的方程是 心2-2=2， 3.范围 就y解方程(1)得 y=±名-a, (2) 2 由这个关系式可以知道心2-a2≥0，即c≤-a或c≥a,就是说，双曲线在心=一a和心=a两条平行直线的外侧，右侧的 一支是PF|-PF2=2a,左侧的一支是PF1-|PP=-2a 如果就c解方程(1)得 ·191● ==========第205页========== 成=±分√可+百， (3) 那末y不论取何实数，x总是有意义的 基于对称性，我们要讨论曲线的变化趋势，只要在第I 象限内进行就可以了.从关系式 y=√ー 中可以看出，当心从a开始逐渐增大时，y则从0开始也随之逐渐增大.当趋向无穷时，y也趋向无穷.可见双曲 线在第I象限内是无限伸延的，或者说是无界的（由对称 性，可以知道它在其他象限内也是无界的). 正因为双曲线是无界的，要画出它的整个图形是不可能的，因此我们只能画出它的一部分.但是对它的无限伸延的趋势要有一个正确的了解，才不致于把图形画错。下面的性质可以说明这种无限伸延的趋势。 4.渐近线 把关系式(2)变形写成 y=士√-aーb/1-a9 的形式，可以看出，当趋于无穷时，÷趋于笨，就是说， 也趋于无穷时，双曲线上的点，差不多在直线g-土名上了. 直线y-名和y-一日0是怎样得来的：从图430可以看到，这两条直线是以原点为中心的矩形的两条对角线所在的直线。这个矩形的边平行于坐标轴，它的边长分别是2a和26，在1，Ⅲ象限内的一条是g=云，在山IV ●192 ==========第206页========== 象限肉的一条是y=一合 现在我们来进一步研究双曲线与这两条对角线所在的 直线的关系（根据对称性，只要在第I象限内进行讨论就可 以). 设P(x,y)是第I象限内双曲线上的任意一点，现在 我们求P点到直线g=?:b 的距离.设这个距离是d, P(，y) 然后观察当P点在第I象 b 限内的曲线上无限远离顶点时，这个距离d变化的情况. B 但根据上面的分析，当趋xa 于无穷时，P点差不多在直 图436 业案p来研究这个问题. 根据点到直线的距离计算公式，可得P(心，y)点到直 线g-名，就是到：-ay-0能距离 bx-ay 因为 b2c2-a2y2=a262, 所以 ag=√/6'2-a26=b/2-a2(.·P在第I象限内，y>0),以bm-bW√a-(-√v-a)}-/a2+b▣ -a2+62 =6e-√-a)(e+√-a (-/a2+i2)(c+√ca2) -b(2-2+a2) et93· ==========第207页========== a26 1 /a++/- 经过这样变形后，容易看出，最后这个式子中，当心愈大时，d的值就愈小，当x无限地增大时，d就趋近于零.这 说明当P点从双曲线的顶点A开始沿曲线移动而无限远 离4点时，P点和直线g。:流无限接近，它们的距离就趋近于零。根据对称性容易理解在其他的三个象限内，双曲线上的点，也有同样的性质.因此我们把直线 y=b， 就是 做双曲线的渐近线.由此可以知道等边双曲线的渐近线是 c士y=0. 这是坐标轴夹角的两条平分线，它们是互相垂直的 上面讲过，这两条渐近线是一个矩形的两条对角线所在的直线，如果我们把它与双曲线的标准方程作比较，就会发现，只要令双曲线的标推方程的左式等于零，就是 然后将左式分解因式得 (+)（폼）-o, 就可以得出双曲线的两条渐近线 告+彩-0和告-彩-0 就是说，我们可以直接从双曲线的标准方程写出它的渐近线 例1 直接写出双甫线兮-兰-1的渐近线。 0194● ==========第208页========== [解] 从双曲线的方程可知α=3，b=2,所以渐近线是 名±受-0或ー) 〔注意) 1、有了双曲线的渐近线，我们就可以较正确地画出双曲线的图形了： (1)先以2a和2b为边长画一个矩形（中心在原点，边与轴平行)，把矩形的两条对角线延长，他们就是渐近线 (②)在第I象限内描点，画出曲线的一段，再用对称的 方法画出其他部分. 图4·37()就是例1的图，它就是依照上述的方法画出来的. 2.从双曲线方程-等-1中可以知道a=8,6= B(0,2) A(3,0) 1(-V1,0y/ F2(V13,0) 2 (b) 图437 ◆1950 ·다 ==========第209页========== 2,渐近线就是受士号0。反过来，如果已知双曲线的渐近线方程是号±号-0，是不是可以肯定地说a=3,6=2, 因而双曲线方鞋是号-牛-1宠？从图4：870)可以看4 出，这样的双曲线是不确定的，也就是a=3,b=2只是其中的一种情形.因为当a=1.5,6=1时，双曲线方程是 2 3 11, 2) 它的渐近线方程是 ±y=0, 3 就是 化 一般地说，当a=3k,b=2k时(>0)，双曲线方程是 2 (3)F-(e=1, 它的渐近线仍然是亨土兰-0。因此，仅从渐近线方程求 双曲线，是不能得到唯一的双曲线的.如果给问题多加上 一个条件求出飞的值来，那末双曲线就是可以确定的了.例2 求中心在原点，一条渐近线是2x一3=0，·一个焦点是(一4,0)的双曲线.[解] 渐近线可以写成号-号-0，可见另一条渐近线是+-0 设a=3k,b=2k,则所求的双曲线方程是 g? v (3)F-(2i6-1. (1) 因有一个焦点是(-4,0)，所以c=4,由关系式c2=a2+3得 0.496● ==========第210页========== 16=9k2+4k2,12、16 13 (8)=16 13 ×9=144 13 3×4=64 (2%)=16 13 代入(1)式，就可以得到所求的双曲线是 2 y 14464=1。 13 13 1.求以原点为中心的双曲线方程，已知： 练习 (1)a=5,b=6(焦点在x轴上)} (2)b=3,-个焦点是(5,0)； (3)a=2,c=4(焦点在x轴上). 2.画出下列双曲线的图形，并求出它的渐近线方程和焦点的坐标： 器号-1 ()-그 (3)2-y2=9; (4)3x2-y2=12. 3.求中心在原点，一条渐近线是3x+4y=0,一个焦点是(4,0)的双曲线方程. 5.双曲线的离心率 双曲线的形状有的张口小，如图4·38中的[；有的张口大，如图4·38中的 I工.张口的大小与渐近 线的斜率有关，如I的 渐近线是=士，斜率土Ⅱ的浙近 线是y=土3心，斜率=土3，就是说渐近线的斜率的绝对值愈大，双曲线的张口愈大；渐近 图4·38 线的斜率的绝对值愈小，双曲线的张口也愈小。 ·◆187· ・·ャ ==========第211页========== b 一般地说，士石是渐近线一上。的斜率，而 b√c2-a2√(8-1 (02=e2-a,>a,8>1. 从这个式子可以看出，当：从接近于1的值逐渐增大时，也就从接近于零的值逐渐增大起来，这时双由线的张口就由小逐新变大，因此用合和号的道都可以表示双曲线张口的大小.与椭圆里的情形一样，我们不用名而是用号表示双曲线张口的大小，并且用e表示，就是 和椭圆一样，我们也把e=。叫做双曲线的离心率，因为c>%,所以双曲线的离心率B>1. 〔注意) 1.椭圆的离心率也是。=分，但在椭圆里是c1），双曲线的张口就愈大，必须区分它们的异同点. 归结上面所述： (1)双曲线有两个顶点A(a,0)和A(-a,0),实轴的长是2a,虚轴的长是2b. (2)焦点是在实轴的延长线上，所以c>a,焦点的坐标是(-c,0)和(C,0),焦距长是2c. ●198· ==========第212页========== ()离心常g=日>1，其中6-√+6，因此离心率 也可以写成=√于，又名V-可，所以”-0(、 1).在a,b,C,6四个参数中，只要知道其中的两个，便可以求出其他两个.我们要熟悉它们之间的相互关系例8 已知双曲线的对称轴合于坐标轴，两顶点间的距离是 16,离心率8一，焦点在轴上.写出双曲线的方程，并且 求出它的渐近线和焦点. [解] 因为顶点间的距离是16，即2a=16,a=8.又g-草即会-营c-10,所以熊点是4(-10,0) 和F2(10,0). 又 b=√c2-a2=N100-64=6, 所以双曲线的方程是 gy 64 它的渐近线方程是 +픔-0，6 就是 士登0. 2 B(0,) L4 A(8,0) (-10,0) F(10,0) 图439 ·1980 ==========第213页========== 1.求以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线的方程，已知 练习 4 (1)焦距是16，e= (2)顶点间的距离是8，e=5 (3)半实轴长是√15，并且经过(5，-2)点. 2.等边双曲线的一个焦点是（一6，O),求它的方程和渐近线方程， 3.求证等边双曲线的离心率等于√②. [提示：中心放在原点，又设焦点在x轴上.] 之 Fa(0,c) B0, A(0,a) A(a,0) F2(c,0) (-b,00 B⑥，0” B(0,-b) 图440 图4·41 上面讲到的是中心在原点，焦点在c轴上的双曲线（图4·40),与椭圆一样，我们也可以把双曲线的中心放在原点，把焦点放在y轴上（图4·41）.很容易理解，如果要求它的方程时，只要把图4·40的方程 2g心1 (①) 中的化和y的位置互相交换就可以，就是 2化2 0a-1, a" 或写成 a21. (2) 这时，双曲线的实轴在轴上，它的长仍是2a,顶点是 00◆ ==========第214页========== A(0,a)种A'(0,-a),焦点是F(0,一c)和F(0,c)(图4·41).虚轴在c轴上，它的长也是2b;离心率6=G(c2= +不变：新近线是号±甚-0，方程()和(2倒都是双 曲线的标准方程. 〔注意) 这两个方程不同的地方就在于“一”号上。如果“一”号是放在则2项前的，则实轴就在x轴上，如果“一”号是放在x2项前的，则实轴在y轴上，这与心和项的分母数值 的大小无关，例如双曲线学-苦-1，它的实轴在：轴上，a=2,=3,而-空+号-1的实轴在y轴上，a=3,62,在椭圆里情况就有些不同了，如椭圆罕+号-19 中因为a总是大于6，所以长轴是在y轴上，而答-等 =1,说明长轴在心轴上，就是说长轴在x轴或y轴上是由心2和y项的分母数值的大小来决定的. 方程(1)和(2)去分母后，可以写成 b2x-a22y2=a62和-a2x2+2y2=a69 一般地可以写成 Axc+Cy2-K. (3) 这也是一个只有然项、则2项和常数项的二元二次方程 (1)如A,C的符号相反，且A,0,K都不等于零，则 C 会和是的符号也相反，用K除方程)的两边，得 (4) 如果K与A同号，则系是正的，面是负的，一答是 正的，方程（④）可写成 ·201" ==========第215页========== 、-&又-1的形式) 这是实轴在x轴上的双曲线的方程，其中 a=√=√系 如果K与0同号，则名是正的，而是负的，-兰 是正的，方程(4)可写成 2=1 景+-그的影式) (- 这是实轴在y轴上的双曲线的方程，其中 (2)如A,0的符号相同，且A,C,K都不等于零，方 程(4)是椭圆型的方程（复习4·7节）. 总之，在方程A+Cy=K中(A,C,K都不等于 零)，如A,C,K同号，它的轨迹是椭圆；如A,C异号，它 的轨迹是双曲线.所以方程Ax2+Cy一K既代表椭圆，也代表双曲线，总称之为有心曲线型方程（它们都有对称中心) 例4 求中心在原点，两对称轴合于坐标轴，并且过P(一3， 2√7)和(-6√2，-7)两点的双曲线的方程[解] 由于焦点的位置未曾指出，若用标推方程来解，一般要分两种情况进行讨论，如果我们设所求的方程为 心+y=1, m.2 就可以由解出的m和2的值直接判定曲线的性质，这样解答就简单得多， 因为曲线过P、Q两点，所以 ·202· ==========第216页========== 9+28 =1, u 72+49=1。 m 2 解这个方程组，得 m=-75,%=25. 所求的双曲线的方程是 大52 =1。 例5 求经过P(1,一3)点，并且两对称轴都合于坐标轴上 的等边双曲线方程[解] 设所求的等边双曲线是 c2-y2=K. 因为双曲线经过P(1,一3)点，所以 1-9=K,K=-8. 因此所求的双曲线的方程是 -3十y2=8. 〔注意〕 题目里并没有具体指出焦点是在x轴或y轴上，从字面上一时又难判定焦点的位置，遇到这种情形时，我们必须作全面考虑，就是说，应该考虑到焦点在x轴或y轴上的两种可能，我们一般是用方程2-y2=K表示的.例6 求与两定圆 x2+y2+10x-24=0和2+y2-10%+24=0 都相切的圆的圆心的轨迹 [解] 把两定圆都化为标准形式，得 (c+5)+2=7(圆心C1(-5,0),半径r1=7),和(-5)9+2y2=1(圆心C2(5,0),半径r2=1). 设所求的圆的圆心为M(心，y),半径为R.依题意应该有四种情况： (1)当⊙M与⊙C1和⊙C都分别外切时，则 ·203· ==========第217页========== |MC1-r1={MCg-r2(=R), 就是 √(+5)+y2-7=√(-5)9+y2-1, 化简并整理后可得 9-61, 因为MC1>|MCl,所以动圆M的圆心的轨迹是双曲线的右侧（即≥3）一支。 事实上， MCMC2 BAM(,y) =r1-rg=6, 这说明动点M到两定点C1 C2(50) 和C2的距离之差等于定值 6,根据双曲线定义，得知点 M的轨迹是以C1和C2为 图442(a) 焦点、以坐标轴为对称轴的双曲线 (c=5,a=3,b2=25-9=16), 它的方程是。-=1e会3》. 9-16 (2)当⊙M与⊙01和⊙C都分别内切时，则 MC+r1=MO2+r2(=R), 就是√（化+5）+y+7 =√(-5)+g2+1, 化简并整理后可得 M》 号-고 (-5,0)00(5,0) 因为MC1MC2, 显然点M的轨迹是双曲线 的右侧（即c≥4）一支. (4)同理，当⊙M与 ⊙C1内切而与⊙02外切时， 图442(c) 则MC1+1=MCg一r3（=R),可得 2-y=1(c≤-4). 169 综上讨论，所求圆的圆心的轨迹是双曲线 号若1叹需苦-1 〔注意) 求上述轨迹的关键在于根据两圆相切时半径之间的关 系，列出限制动点(M)的条件等式，从而直接求出满足动点 的坐标和y的方程f(心，y)=0或y=f().这是求轨迹时的一种常用的直接方法 1.求下列各双曲线的渐近线、焦点的坐标和离心率，并画出它们的 练习 图象：[(1)，(2)画在同一个坐标系上；(3)，(4)画在同一个坐标系土.] (1)y 81144 =1 (2)144*387-1; (3)、2y2 144-8江1； (4) 赋+=1. D 0 156.76 2.某种钢管校直机上双曲面传动辊 (第2题) 轮的尺寸如图所示.试求检验样板的双曲线的方程。 ·205· ==========第219页========== 答： 2 v 58.5日-17.763ー1 §412 用几何方法画出双曲线上的点 根据双曲线的定义，可以用圆规和直尺画出双曲线上的一些点，然后用光滑的曲线顺势连结各点，就可以得到所要画的双曲线 设双曲线的实轴的长是2a,焦距是2c. 取F1,F2作为焦点， 且使F1P2=2c.另作线段A'A=2a(图4·43)，并在它的延长线上取一点 M,令 24+ |AM1=t(≥c-a). 然后分别以F1和F?为圆 心，以2a+t和t为半径 20 作弧交于P1和P,则P 2a+t 和P就是双曲线上的点. 2c 这是因为 图443 P1F1-PiF3=2a+t-t=2a. 改变t的长度，用同样方法画出Pg和P2,Pa和P,…等点.最后用光滑的曲线顺势连接各点，就可以得到双曲线的一支.交换半径或用对称的方法，可以画出双曲线的另一支。在工程上及其他一些实际问题中，通常是用这种方法画双曲线的. 1.设a=3,c=4,根据本节的方法作双曲线 练习 2.用上面的方法画出双曲线品-号一1的图象， 3,求经过P(3,一4)点，并且对称轴都在坐标轴上的等边双曲线的 ·206· ==========第220页========== 方程：… [提示：假定所求等边双曲线的方程是2-y2=K.] 题 1.求中心在原点，两对称轴都在坐标轴上，并且适合下列条件的双 49 曲线方程： (1)经过P1(2√7,3)和P(-7,-6V2)两点； 412 (②商近线是y=士号且经过P(69点 (3)渐近线是y=士2c,且焦点与中心的距离为5. 2.求经过P(2√2sc0,2√2tg9),并且两对称轴都在坐标轴上的等边双曲线的方程。 3.求与梯题对+答-1有公共焦点且商心是e=1.2为的双 曲线方程， 求以椭圆心十长=1的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为有5 的双曲线方程 6,求与双由镜号云=1有共同的渐近线，并且经过P(一3， 2√3)点的双曲线方程. 6、证明双曲线上任意一点到二渐近线的距离的乘积是…个定值提示：设Po(xo,o)是双曲线上的任意一点，计算P到二渐近 线的距离：又空-架-1] 7.判定当<4，（②4にんく9方程ーな+ざ一1的速 各是什么曲线 8.一个动点P(心，y)到一定点F(3,0)的距离和它到一条定直线 的距离的比是2：1，求动点P的轨迹。 V.抛物线 抛物线是我们很熟悉的一种图形 在代数里学习过的二次函数y=a:,它的图象就是抛物线（图4·44）.抛物线拱形在建筑工程上很有用处，如有 。207◆ ==========第221页========== a>0 a<0) 图 444 图4.45 图446 的桥拱就是抛物线形（图4·45）.探照灯或手电简的反射镜面的形状，也都是由一抛物线绕着它的对称轴旋转而成的曲面（图4·46）. 在代数里学习二次函数时，我们已初步掌握了抛物线的一些性质，但还是不够的，我们需要进一步掌握它的特性，以便能更好地把它应用到实际中去。 §413抛物线的定义 椭圆（或双曲线）上的点的几何特征是‘“到两个定点的 ·208● ==========第222页========== 距离的和（或差）等于一个常数”。我们利用这种几何特征给椭圆（或双曲线）下了定义.用同样的方法，我们来探讨抛物线的儿何特征.先考察下面的事实： 如图4·47，将一根直尺固定在平板上，把直尺的一边当作为定直线乙，拿 图4.47 一块直角三角板，以它的较短的直角边紧靠直线乙，在另一 条直角边的锐角顶点处A上结一条细绳，取这条绳与长的 直角边等长.绳的另一端扎一个小钉，并把它钉牢在平板 上的F处作为定点，然后以铅笔尖紧靠三角板把绳拉紧， 并将三角板紧靠1移动，笔尖画出的图形就是抛物线 从上面画图的过程可以看出，不论笔尖P移到什么位 置，它到定点F的距离PF:总是等于它到定直线？的距 离PQ,这是因为 PF+PA-PQ+PA, 所以 PF-PQ. 抛物线的这个几何特征可以用来作为抛物线的定义。 定义 如果平面内的一个动点到一个定点和一条定直线的距离相等，那末这个动点的轨迹叫做抛物线，这个定点叫做抛 物线的焦点，用F表示，这条定直线叫做抛物线的准线，用 乙表示.焦点到准线的距离FK,叫做焦参数，用p表示，p作为焦点到准线的距离，它的值应该是正的，即>0（这点要特别注意，在以后的计算中，p总是取正的值)。 §414抛物线的标准方程 先在抛物线所在的平面上建立直角坐标系：取过焦点 .209 ==========第223页========== F而垂直于推线乙的直线作为心轴，设垂足是K,以KF 的垂直平分线作为y轴，两轴的交点O就是原点，因为|FK1=p,所以 2 1K이-1OF- (-号， P(a,y) 焦点F的坐标是（受，0） 推线的方程是 (是， 号e>) (图448). 图448 设P(,y)是抛物线上的任意一点，从P点作PQ⊥乙，垂 足是Q,则Q点的坐标是(-号，y）),根据定义，有 PF-PQ, 而 IPE列-√-)+， rl-√(e+) +( --+위所以 √-)+y=o+위 (1) 现在把这个方程化简： 两边平方得 (-)》°+y-(+安”， 就是 四++yー++ y2=22pw. (2) 方程（②）是从方程(1)经过平方整理后得到的，因此抛物线上的点的坐标必定满足方程(2)，但从方程(1)到方程 (2),等式平方一次，因此我们还要检验，满足方程(2)的实 .210 ==========第224页========== 数对（ò，0）是否也满足方程(1)，也就是说，以(，yo)为坐标的点是不是在抛物线上.做这个检验是很容易的。设点Po(c,o)的坐标满足方程(2)，就是 6=2px0. 现在计算PP的值， I=√（）+ +2pao （'.'y=2po) √品-o++2z2pw + 计算的结果表明P。到F的距离等于P。到准线7的距离， 就是说，Po(o,o)点在抛物线上.所以方程(2)确是抛物线的方程.我们把方程 y=2px 叫做抛物线的标准方程。例 已知抛物线的焦点是F(2,O),写出它的标准方程和 准线方程. [解] 因为焦点的坐标是(2,0)，所以号-2，卫=4，抛物线 的方程是 y2=24=8, 准线方程是 花=一2 •211· ==========第225页========== 根据下列所给的条件，写出抛物线的标准方程： 练习 )焦参数p=是（熊点在轴的正方向上为 (2)焦点是F(1,0)； (3)准线方程是x=一4 (4)焦点到准线的距离是3（焦点在轴的正方向上）。 §4·15抛物线的性质 1。对称性 在标准方程y=2px中的y用-y代替，就是(-y)-2p心，即y2一2p2心，方程不变，这说明抛物线是对称于心轴的.就是说，轴是抛物线的对称轴.抛物线只有这一条对称轴，它没有对称中心. 2.截距 在方程(2)中，令=0，则y=0,说明抛物线经过原点，抛物线与对称轴只有一个交点，这个交点叫做抛物线的顶点.就是说，抛物线y2=2px的顶点在原点， 3.范围 从方程(2)得=土√2p心，因为p>0,所以x≥0，当0的值无限增大趋于无穷时，y的值也无限增大趋于正无穷或无限减小趋于负无穷.就是说，抛物线在y轴的右侧向上或向下无限伸延，可见抛物线是无界的曲线 4.离心率 与椭圆和双曲线一样，我们规定抛物线上的点到焦点的距离和这点到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用 ●212● ==========第226页========== 6表示，根据定义，这两个距离是相等的，所以抛物线的离心率 6=1. 例1 求抛物线则2=5x的焦点和准线，并画出它的图形。 [解] 把抛物线方程y2=5x化为标准形式，即 g=2号”5 可见 所以焦点是F(,0）,谁线是 5 4 图449 0 5 3 5 4 y0±2.5±3.9±5 〔注意〕 从方程y2=5心求卫，必须把方程化为标准方程，得 -2营8-营，不是？-5又焦点是（号，0）不是g 0).初学者，由于疏忽，容易把方程22=5x中的“5当作p,必须很好的理解，才不会出现不必要的错误.例2 汽车的前灯的反射曲面是由一抛物线绕着它的对称轴旋转一周而成的（因此这种反射面也叫做抛物镜面）.已知灯口的直径是20厘米，深度（就是顶点到灯口的距离）是10厘米，灯泡是装在焦点上的，求灯泡的位置.[解] 因为灯泡是装在焦点上的，要确定焦点的位置，先要求出抛物线的方程。为此我们取顶点为原点，对称轴为e轴，建立坐标系.因为灯口直径AB=20,深度引OM= 10,所以A点的坐标是(10,10)，把A点的坐标代入抛物 ·213• ==========第227页========== 线的方程 y2=2pw A(10.10) 中，得 102=2p10,p=5, - 所以焦底的位登是F(,0） 就是说，灯泡应装在对称轴 10 B(10,-10) 上离顶点2.5厘米处 图450 1,求下列各抛物线的焦参数、焦点坐标和准线方程，并画出图形： 练习 (1)y2=10c;②gr-8，(3)2y2=9x.2,求以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线方程 (1)经过P(2,4)点； (2)焦点到项点的距离是云（焦点在女雄的正方向上为 (3)焦点到准线的距离是（同上）. §416抛物线方程的其他一些形式 1.上面的抛物线方程y2=2p心是建立在这样的坐标系下推导出来的，即以原点为顶点，以龙轴为对称轴，焦点在心轴的正半轴上，所以焦点是F(号，0)，准线是x=一号 (图4·51(a),抛物线的张口向右，图形全在y轴的右侧. 2.当然，如果以原点为顶点，以心轴为对称轴，焦点在 轴的负半轴上（图4·1(》，那宋焦点就是F(-受，0）， 准线就是心=号，抛物线的方程就是2=-2pw,这是因为 02140 ==========第228页========== y=2pt y2=-22 (x>0) (x≤0) (,) (a) (b) y x2=2y 0 (y≥0) F（0, P 9=一卫 x2=-2y (y<0) (c) (d) 图451 0>0,x≤0，一2px≥0，抛物线y2=一2pc的张口向左，图形全在y轴的左侧.例1 求抛物线y=一3的焦点和准线。 [解] 把抛物线方程写成标准形式，得 3 g2=(-2)是， 所以=是，号=星，焦点是P(-是0）准线是立 3〔注意〕 别把方程写成=2(-)心，而错误得出卫=一子，这 是因为p恒为正值的缘故. 3.同样的道理，如果以原点为顶点，以y轴为对称轴，焦点在gy轴的正半轴上（图451(c),那末焦点就是F(0, ),准线就是g=-号，抛物线的方程就是2=2p测，p>0, •215· ==========第229页========== y≥U,抛物线的张向上，图形全部在轴的上方. 〔注意) 如把方成yー，且令-，ー aa,因为p>0,所以a>0,这是代数里所学过的二次函数，它的图象就是（©），可以看出，它们是完全一致的。 例2 求抛物线g-寻的焦点和雅线。 [解] 把抛物线方程写成标准形式，得 -3别，即-2，号以 所以-子号=呈熙点是F(0,),准线是y=4 〔注意) 由于焦点的位置在y轴上，别把焦点的坐标错误地写 孕0），也别把准线阿成-~是成 4.如果以原点为顶点，以y轴为对称轴，焦点在y轴 的负半轴上（图41（④），那末焦点就是F(0,-),准线 就是则=分，抛物线的方程就是心-2，>0，y<0,抛物线的张口向下，图形全部在化轴的下方. 例3 求抛物线2=一4y的焦点和准线. [解] 把抛物线方程写成标准形式，得 2=（-2)2y, 所以0=2，号-1，焦点是F(0,-1),谁线是y=1.根据上面的讨论可以看出，以原点为顶点，以坐标轴为对称轴的抛物线有四种不同的位置，它们的方程也是不同的，因此在解有关抛物线的问题时，就应注意： (1)从已知抛物线的方程，求它的焦点或准线时，首先要判断抛物线的张口方向，才不致于把焦点和准线方程写 •216· ==========第230页========== 错. (②)从已知的条件求抛物线方程时，必须全面考虑到所求的方程是否满足已知条件，这里有可能出现儿个解的情况.另外，在解题的过程中，要随时注意焦参数，恒为正值. 例4 求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(一2， 一4)点的抛物线方程.[解] 因为抛物线经过的点是第II象限内的一个点，又没 有具体指出以x轴或y轴为对称轴，应考虑抛物线的张口向左或向下两种情况： (1)如果抛物线张口向左，则它的方程是 2y2=-2p(x≤0)， 又它经过P(一2，-4)点，所以 16-20(-2),0=4,号-2， 抛物线的方程是 y2=-8x. 焦点是F(-2,0),推线是心=2（图452中的）. (2)如果抛物线张口向下，则它的方程是22=-22py(y≤0)， 又它经过P(-2,一4)点，所以 4=-2p(-4), =2 121 则40 抛物线的方程是 F(-2,0)/ (0-是) 22=-y, 焦点是(0，-)，准线是 -4 g-子（图452中的1四. 图4.52 ·217● ==========第231页========== 例5 求与椭圆42+5y2=20有相同的焦点，并且顶点在原点的抛物线的方程[解] 把椭圆化成标准式，得 号+ 4=1, c=/a2-6=√/5-4=1.因为椭圆和抛物线的焦点相同，所以 图4.53 --고，2=2. 根据椭圆方程，得知焦点在心轴上，故所求的抛物线的方程为 y2=土4x. A 1.判断下列各抛物线张口的方向，求出它们的焦点和准线，并且画 练习 出图形： 河 (1)x2=-3划； (3)y2=4x; (4)x+10y2=0, 2.求以原点为顶点，并且满足下列条件的抛物线方程，并画出图形： (1)以y轴为对称轴，并且经 过P(一4,5)点； (2)以必轴为对称轴，并且经 过P(2,一4)点； (3)以y轴为对称轴，焦点是 F(0,3); (第2题) (4)以坐标轴为对称轴，并且经过P(一2,4)点. 3、鱼腹式吊车梁下部采用抛物线形状，试根据图中的尺寸（单位： 米)及建立的坐标系，求抛物线(AOB弧)的方程. 答：x2=17.5y. 〔注意〕 在代数里学习过的二次函数y=a2+bx+c(a≠0)的图象也是抛物线，和本节所学的抛物线的性质一样，只是顶 ●218● ==========第232页========== 点的位置不同、有关这方面的内容，第五章将作介绍。 §417用几何方法画出抛物线上的点 1.根据定义，用圆规和直尺可以作出抛物线上的点，方法如下： 设Z是准线，F是焦点（图4·54），在心轴上取一系列 的点A1,A2,A,,并过各点引y轴的平行线，分别以KA1,KA2,KAg,…为半径，F为圆心作弧，顺序交这一系列的平行线于P1和P,P2和P2,Pa和P%,…,用光滑的曲线顺势连结各点就得到所求的抛物线. 现在我们来证明P,P2,P3,…各点确是抛物线上的 点 从P1作PQL7,则 IQP=KA =FP1, 就是说P1点到焦点的距离和 到准线的距离相等，这就证明 了P1点确是抛物线上的点. 同理可证其他各点也是抛物线上的点 *2.拱形的画法：在前面 图4.54 曾经介绍过桥拱的形状可以是抛物线形.顶点在上、张口向下的抛物线通常叫做拱形.拱形在建筑工程上应用很广泛，我国古代工人在造桥时早就利用拱形了.下面就来介绍拱形的画法： 设AB=2(表示拱形的宽（图4·55），BC=h表示拱 形的高，以AB,BC为边作一个矩形ABCD. 以AB的垂直平分线OK作为y轴，DC所在的直线 ◆219· ==========第233页========== DA生AA0 B 图4.55 为x轴，把A分成%等分（取什么整数，根据实际情况决定，一般地说，等分线段愈小，就是愈大，作出来的拱形 愈正确)，同样把AD也分成2等分（AK上的一等分线段 AA1与AD上的一等分线段AB1不一定相等，因为AK与 AD不一定相等).我们 这里是把AK和AD都 DA生 0 分成五等分，分点分别 是A1,A2,…和B1,B2, …,过AK上各分点作 P(1,1) B y轴的平行线A1A1, A(-,-h) A2A,….连结B1O, B2O,BO,…,并设它们 图456 分别交AA,A2A2,A8A3,…于P1,P2,P,…各点，用平 滑的曲线顺势连结P1,P2,P,…各点，就得到拱形左侧 的一段.用对称的方法，可以得到拱形右侧的一段 现在我们来证明P1,P2,Pa…各点确是拱形上的 点.根据土面的作法，由图456可知A点的坐标是(-， -).从 直角△OA1P1∽直角△ODB1 中得 ·220· ==========第234页========== P4L-104 (1) BD·OD 设P1点的坐标是(，y1),则 P14A1=1, O4=1 OD=a. 代入(1)式，得 hL=1. (2 BD a 因为y1<0,1<0,所以y1=一y1,【=一x1,代入 (2)式得-h=-BD1,即4=么BDL () e a 从作图中知道 BDKA1 DAKA 其中 DA=}-h|=h, |KA1==1,KA|=|-a|=, 所以 BiD=-1k 代入(3)式，得 1= 就是 b红， (4) 所以P1(1,y1)是抛物线 hy) 上的一点.同理可证P2,P8,…各点也都在这曲线上.这 就说明了我们这样作出的曲线是一条抛物线（拱形）. 。2210 ==========第235页========== 1.根据抛物线的定义，利用圆规和直尺画出下列各抛物线上的若 练习 干点，然后用平滑的曲线连结这些点画出抛物线的图形. (1)y2=16c; (2)c2-12y. 2.有抛物线形的桥拱，已知拱的跨度（就是宽）等于24米，高6米，用本节方法画出这个桥拱的图形（以厘米表示米，画在图画纸上)，并求出桥拱的抛物线方程， §4.18圆锥曲线 前面我们分别学习了椭圆（圆作为椭圆的特例）、双曲线和抛物线的定义，根据定义导出了它们的标准方程，并就标准方程讨论了它们的一些性质。这些曲线有它们的共通的性质.下面就作简单的介绍： 如图4·57，如果用一个不过圆锥顶点的平面去截圆锥的侧面，有这样的几种可能： (1)如截面与圆锥的母 图457 线平行，则截面只与圆锥的一半相交，交线是一抛物线 (2)如截面与母线不平行，则有两种可能，一种是截面与圆锥的一半相交，交线是一个椭圆（当截面与圆锥的轴垂直时，交线变成一个圆)，一种是截面与圆锥的上下两面都相交，交线是双曲线.因此我们把椭圆（包括圆）、双曲线、抛物线总称为圆锥曲线. 椭圆（包括圆）、双曲线都是具有对称中心的，因此椭圆(包括圆)和双曲线是有心圆锥曲线。抛物线不具有对称中心，因此抛物线是无心圆锥曲线 ·222● ==========第236页========== 习题 1.画出港物线y=1必与箱圆需+器-1的图形，并求它们的 413 交点， 418 2、由喷水池喷出的水滴的轨迹是抛物线形，在它的方程里的焦参数p=0.1,如果喷出的水落在离喷口处2米的池里，求喷出的水的高。 1y (第2题) 3.一石块与水平线成锐角抛出，已知石块最高达12米，水平距离为16米，求这抛物线的方程（根据下列a,b,c不同的坐标系建立抛物线的方程)。 0,12) 8,12 8이ー(-8，-2(8,-12) 0 (6,0” (a) (b) (c) (第3题) 4.如图是抛物线形拱桥，当水线在1时，拱顶离水面2米，水面宽是4米.水线下降1米后，水面宽多少？ 2米 =4米 (第4题) 。223· ==========第237页========== 5.求焦点是(4，一2)，准线是x=1的抛物线的方程. [提示：设P(,y)是抛物线上的点，计算P)和P点到准线的距离.] 6.在抛物线y2=12x上取三点，使它们的纵坐标分别是1=6,2=2,=一3.计算以这三点作为顶点的三角形的面积 7.经过抛物线y=2pc的焦点F,作一条直线垂直于它的对称轴， 并且交抛物线于P1,P2(线段P1P2叫做抛物线的通径)、求 P1P2的长 8.一个动点P(,y)到一个定点F(4,0)的距离比它到一条定直 线十5=0的距离少1.求动点P的轨迹，并画出轨迹的图 象。 *V.圆锥曲线的切线和法线① 在平面几何里，我们说“和圆只有一个公共点的直线，叫做圆的切线”.圆是曲线的一种，我们能不能把圆的切线的定义推广，作为一般曲线的定 5 义呢？就是说，“和曲线只有一个公共点的直线，叫做曲线的切线”，对-一殷曲线来说，是不是正确？看图4·58.直线11虽然和曲 线有两个公共点P1和P2,但它 图458 和曲线切于P1点，就是说，1还是经过曲线上P1点的一条 切线.再看直线，它虽然和曲线只有一个公共点P,但 它却不是曲线的切线.可见圆的切线的定义是不能推广到 一般曲线的.为了研究一般曲线的切线和它的性质，我们有必要给一般曲线的切线下一个新的定义（当然新的定义应当包括圆的切线的定义) ①在学习这书以前应复习一下代数中有关的极限知识 ●224· ==========第238页========== §4.19曲线的切线 设P1是曲线上的一点，过P1点引一条割线P1P。(图 459),并且设P2和P1是 曲线上邻近的两个点（就 是说，在P1和P3两点间 的距离相当小，使曲线与 割线在P1和P2之间除 P(1,y1 了P1和P2外再没有其 他的交点了).如果把P1 点固定下来，而让P点沿 曲线逐渐向P1点移动，如 图4.59 图中的P2点移动到点P8,P4,…的位置，这时割线P1P 就绕着P1点转动到相应的P1P2,P:P3,·的位置.如果 让P2点无限地靠近P1点，并且以P1点作为它的极限位 置时，那末割线P:Pg也无限地接近于一个极限的位置，设 这个极限的位置是PT(图4·59)，直线PT叫做经过曲 线上P1点的切线 经过上面的描述，我们可以得到曲线的切线定义如下： 如果P1和P2是曲线上邻近的两点，设P1是定点，当 P2点沿着曲线无限地接近P1点时，割线P1P的极限位 置PT叫做在这条曲线上经过P1点的切线，P点叫做切 点. 经过切点并且垂直于切线的直线叫做曲线在这点的法线，如图 460,P1是切点，PT是切线， P1NLPT,侧P1N是在P1点的 法线 图4·60 ◆225· ==========第239页========== C注意) 这个切线的定义是用极限的观点描述的，它也适合圆的切线的定义。用这个方法定义曲线的切线，容易导出切线的方程。 §420切线的斜率 根据切线的定义，我们设P1(,1)是曲线上的一定点， PT是经过P1点的切线， P?是在曲线上与P1邻近 的一点（图461）.P是 Pa(@1+Aa,y1+Ay) 动点，它可以沿曲线无限 Pi(au,y1) 地向P1点接近，因此，当 P2→P1时，割线P1P3的 极限位置就是切线P1T, 因而割线P1P的斜率（用 图461 kB表示)的极限也就是切线P1T的斜率（用P,表示），用式子表示，就是 ker-lim klimp (1) P2+P1 rP PiQ 因为P2在曲线上可与P1点任意靠近，这两点的横坐 标和纵坐标就各自相差一个很小的量，在代数里，对横坐标相差的一个很小的量，习惯上用心表示，对纵坐标相差的 一个很小的量，用y表示（式中“”表示一个微小的差距）.可见P点的横坐标可以写成c2=1+c,纵坐标可以写成 y=1十y, 就是 P2(c1+x,y1+4y）. 随着P2点沿曲线逐渐接近P1点，和y也逐渐变小，我们把和y分别叫做1和1的很小改变量. ●226， ==========第240页========== 从图461可以看出，P1和P?两点的横丝标的差距 PQ就是c,它们的纵坐标的差距QP就是y,因此割线 P1P的斜率r,,就可以写成 在(1)式中，当P2→P1时，P1Q-→0，就是x→0，这时QP2→0，即y→0，因此 (1)式也可以写成：ker=lim Ay (2 P2x1+4x,1+y） 4→0Ax dy-0 从(2)式可以知道，对 P1(11） 于任何一条曲线上的一点 P1,只要已知曲线的方程， 就可以计算出经过P1点 的切线的斜率.有了切线 图462 的斜率，并且知道切线经过P1点，只要用直线的点斜式方 程便可以写出切线的方程. 例1 已知P1(1,y1)是抛物线y2=2上的一点，求经过 P1点的切线的斜率. [解] 设P(w1+小x,y1十y)是抛物线上与P1(1,y1)点邻 近的一点，则割线PP的斜率是现在求这个比. 因为P1(x1,y1)点在抛物线上，所以 y1=2p1. (1) 又P2(1+,1+y)点也在抛物线上，所以 (y1+刨)2=2p(1+c), 即 21+2y1(y)+(y)2=2px1+2p(). (2) 以(2)-(1)，得 ·227● ==========第241页========== 2y1()+（y)2=2p(), (y)(2y1+y）=2p(x), 型二 2p (这就是割线P1P?的斜率). do2y1+y 根据上面分析，知道割线斜率的极限就是切线的斜率， 因此经过抛物线上P1点的切线的斜率是 k=lim4g=lim。2p2p一=卫40 A4x+921+y21+0U1· 4y-→0 4→0 例2 已知P1(,y1)是双曲线xy=K上的一点，求经过 P1点的切线的斜率. [解] 设P2(x1+,y1十y)是双曲线上与P(红，y)邻近 的点.因为它们都在双曲线四=K上，所以 1=K, (1) l(c1+c)(y+)=K. (2) 就(1)，(2)两式解出是来，就是 y1 △x 所以经过切点P1的切线的斜率是 =limy=】im y1=一 4x→0dz4-→0 1+c 1 4y-0 △y+0 从上面的例题，我们可以得到求经过曲线上一点 P1(1,y1)的切线的斜率的一般法则，那就是： (1)在曲线f(x,)=0上取与P1(1,y1)邻近的一点 P2(+x,y1+g). (2)把P1和Pg两点的坐标分别代入所给的曲线的方 程中去，并解出是（这就是制线PP,的斜率）的值. ()求当40时（这时4g0),婴的极限，即 ·228· ==========第242页========== lim-y 4→0 小y-0 这个极限就是所求的切线的斜率. 设P1(c1,y1)是下列曲线上的一点，求经过P1点的切线的斜率： 练习 (1)c2+2y2=r2; (2)x2=2y; 器+ ④票-苦-1， §421切线的方程 我们已经掌握了求切线的斜率的方法，现在来推导切线的方程就很方便了。 1.抛物线的切线 设P1(1,y1)是抛物线y2=2p上的一点，根据4·20 节的例1，知道经过抛物线上A点的切线的斜率是分，又 因为切线经过切点P1(1,y),用直线的点斜式方程就可以写出切线的方程是： yー=P() Vi 即 1U-y1=p(x-01）. 又P1(1,y1)是抛物线上的点，所以 2y1=22p1, 代入上式，得 y1y-22pw1=p0-2.xL, 就是 1y=2p(x+）, 或写成 甲 (1) る 药 如果抛物线是以原点为顶点，以y轴为对称轴时，我们 ●229· ==========第243页========== 用同样的方法可以求得经过抛物线x=2g上的P(m,y1)点的切线方程是 cc=p(y十y1), 或写成 =即() (2) 从方程(1)和(2)可以看出，如果知道P1(心，1)是抛 物线上的点，那末求经过这点的切线方程，只要把抛物线方程中的y2(或)用y1y(或1c)代换，方程中的x(或y)用 告（或些）代换，就可以直接写出切线方程来.这 个法则与经过圆上的一点求圆的切线方程的法则是一致的 根据本章4·20节法线的定义，在抛物线y2=2px中知道法线是经过切点P1(1,y1)并且垂直于切线y=p(十 )的直线，因此它的法线的斜率是一班.所以过点P( 1)的法线的方程是 y-贴=-(-)， 即y1x+pW=1y1十py1.例1，求经过抛物线y=8心 上P(2,一4④)点的切线和法 线 [解] 切点是P(2,-4),所以 1=2,1=-4.用-4划代换抛物线y2=8中的y2,用 生代换其中的馬，得 图463 -g=8(“士2)， ·230· ==========第244页========== 就是心+y十2=0.这就是所求的切线方程. 因为法线是经过切点P(2,一4)并且垂直于切线的直 线，所以经过P点的法线方程是 y+4=(-2)(法线的斜率是切线的斜率的负倒数)，就是 x-y-6=0. 例2 求经过A(-6,3)点并且切于抛物线2y=9w的直线方程、 [解] 因为2×32≠9×（一6），所以A点不在抛物线上，我们 不能直接写出切线的方程，但如果能求出切点的坐标，问题就可解了. 设P(1,y1)是切点，则切线方程是 2w-9(2告2) 就是 4y1y=9+91. 这条切线是经过A(一6，)点的，所以 12y1=-54+9c1, 就是 4y1=31-18. (1) 又P(1,1)点是在抛物线上，所以 2y1=91. (2 解由(1)和(2)所 组成的方程组 4y1=3x1-18, f P(18,9) 4(-6,3) 2i=91, 得 x1=18, P(2,-3) y1=9; 或 {之。 计算的结果，说 图.464 ·231• ==========第245页========== 明有两个切点，：就是说满足条件的切线有两条，把1和2的两组解分别代入切线方程，就得到所求的两条切线： 心-4+18=0和3+4划+6=0. 〔注意〕 1.在求切线方程时，首先要判断所给的点是不是在曲线上，如果是，可以直接应用法侧写出切线方程；如果不是，可求出切点的坐标，再应用代换法则写出切线方程 2.本题也可以设所求的切线为y一3=（十6），然后从方程组 2y2=9x ty-3=k(+6) 中消去，得 2ky2-9y+27(2k+1)=0. 根据题意，必有心=0，即 16k2+8k-3=0, k=或-ー 1 同样可得两条切线为心-4y418=0和3+4y+6=0. 1.在下列各题中，先证明P点是在抛物线上，然后求经过P点的 练习 切线和法线： -12,r(停-2 (2)y2+10x=0,P(-8.6,6); (3)c2=-4y,P(-2,-1);(4)c-9y2=0,P(9,1). 2.求直线y=x+m与抛物线y2=2px相切的条件. 3.仿照求抛物线的切线方程的方法，证明经过圆2+y=2上一点P(c1,y1)的切线方程是x1十y1y=r2 2。椭圆和双曲线的切线 设PBa,0是椭圆十常 =1上的一个点，我们 来求经过P1点的切线的方程. 要解这个问题，先要求出经过P1点的切线的斜率，这 ●232◆ ==========第246页========== 个斜率(-m在420节 的练习题里读者已经求过 P2(a,yi+Ay) T1(1,1) 了，为了加深印象，我们在这里重解一次. 设Pg(1十，y1+y) 是椭圆上与点P1(1,)邻 图465 近的一点，因为P1和P2都在椭圆上，所以 装山，a (1) +42++）2-1. (2) 由(2)得 好+2，(4)+(4)2++2(4）+(4）2=L, 就是 等+眼+4)2a+的++-1，a倒73 a? 2 以(1)式代入(3)式，并移项得 ()(2a1+）=-4y(2y1+4y 62 所以 2w1+4\ Ax 经过P1点的切线的斜率是 飞=limAy =lim 63 21+ b24 4r-0 A0 Aa->0 a 2y1+u ay dy-→0 4-+(0 下面我们用直线的点斜式方程就可以写出切线的方程： y-1=-21（c-m), R 就是 b2aia+ay1y=b2o3+ayi, 等式两边都除以w62,得 ·233· ==========第247页========== 北1比+到=3人b9● (4) 以(1)式代入(4)式，得 +%装-1. U1C 62 9大& 这就是经过椭圆=1上的P:(c,)点的切线的方程. 我们用同样轮方达，可以宋出经过双曲线二-器-1 上的P(,y1)点的切线的方程是 化C-=1. a 从求抛物线和椭圆的切线过程中，可以看到求切线的 一般方法是：先求出切线的斜率，然后用直线的点斜式写出切线方程，经过化简和整理，可以得到所求的切线方程。 *3。一般二次曲线的切线 在一般的情况下，我们设二次曲线的方程是 Ax+Bay+Cy2+Da+Eyy+F=0. P1(,y1)是曲线上的一个点，根据上面提出的方法，我们 来求经过曲线上P1点的切线方程 先求经过P1点的切线的斜率 设Pa(1+,1+y)是在曲线上与P1(1,y1)邻近的一点，所以 A(+4x)2+B(+k)(y1+g)+C(y1+y) +D(十c)+E(y1+y)+F=0, (1) 又 A2+Baxy1+Cy1+D十Ey1十F=0, (2) 由(1)-(2)，得 ·2340 ==========第248页========== [2.A1+A(4)+B1+B(y)+D](△)+[B+2Cy1+C(y)+](y)=0, 所以，4L=-2A+A(4)+B+B(刨)+D e BaL+20y+(Ay)+E 在P1点的切线的斜率是 k=lim义=-2Ax1+By1+D8 B1+2Cy1+E. 用直线的点斜式，可得求经过P1点的切线方程是 y-=2A心1+By1+D Baュ+20y+ 红-W, 化简后得 Aac+B(吉）+Cuw+D(） +B(2)+F-0. 这就是所求的经过曲线上P1(1,y1)点的切线方程. 归结1,2,3的讨论，设P1(c1,y1)是二次曲线上的一 点，那末曲线在点P1处的切线方程的特征是很明显的，其 代换法则如下： (1)用1和y1则分别代换方程中的c2和y,(②)用心红和牛班分别代换方程中的x和 2 (3)用14型代换方程中的 2 (4)常数项不变 例3 已知P是曲线上的点，求经过P点的切线. (1)22↓9y2=40,P(-2,2); (2)y=2,P(1,2). [解] (1)切点P的坐标是(-2,2)，就是1=一2,1=2. 用一2代换方程中的心2，用2则代换方程中的gy2,得 -2+9(2y)=40, ，·235。 ==========第249页========== 就是 -9y+20=0. 这就是所求的切线的方程 (2)切点P的坐标是(1,2)，就是1=1,1=2，方程 中有w项，用十型即2+型代换，得 2 2 20十y=2, 2 就是 2c+y-4=0. 这就是所求的切线方程（图466）. 嘉y P(1,2) A(-2,-1 P 图4·66 图467 例4 求经过A(-2,一1)点，并且切于椭圆5x2+yr=5的切线方程. [解] 因为5(-2)8+(-1)≠5，所以A(-2,-1)点不在 椭圆上，不能直接应用代换法则写出切线的方程。解这个问题的关键同过去一样，是先求出切点的坐标设切点是P1(1,y),则切线方程是： 5c1x+y1y=5, (1) 这条切线经过A(-2,一1)点，所以 -10a1-y1=5. (2) 因为P1(1,y1)是椭圆上的点，所以 5好+y1=5. (3) ·2360 ==========第250页========== 解由(2②)和（③）所组成的方程组 y1=一5(1+21)， 5c1+y1r5, 2 1=一 2 ri1=7 得 或 15 y1=3 9=ーて・ 计算的结果，说明过A(一2，一1)点而切于椭圆的直 线有两条.以c1和y1的两组解分别代入(1)式，就可以得到所求的两条切线是： 2x-y+3=0和2+3y+7=0. *对这个问题，我们也可以另解如下： 设所求的切线是y1=飞（心+2），因为它与椭圆5x+y=5相切，故方程组 y=k(+2)-1, (1) 5a3+2y2=5 (2) 有两组相等的实数解 以(1)代入(2)，并化简，得x的二次方程：(k2+5)3-(42-2k)x+(4k2-4k-4)=0有两个相等的实数解的条件是4=0，即 (42-2)8-16(k2+5)(k3-k-1)=0, 3k2-4k-4=0, 解这个方程，得 2 k=2和k=-3 代入（①）式，即得所求的两条切线 2x-y+3=0和2x+3y+7=0. 例5 证明：过抛物线焦点的任一条弦（直线被抛物线截得的线段)的两个端点的切线必互相垂直，[证] 设抛物线方程为 ◆237 ==========第251页========== gy2=22, 过焦点F(号，0)的弦为PP,它的两个端点是P(, y1)、P(2,y2),那末，抛物线在P1和P?处的切线分别是1y=p(+U1) 斜率1=卫） 和y则=p(十2) （斜率品） 现在我们只要证明这两条切线的斜率互为负的倒数就可以了，即证 k-んa=p2=-1. ViVa 图468 因为弦PPg的方程是 y-(e-), 解方程组 9-4(e-)入 y2=2p, 消去，得则的二次方程 =2(%+), 即 ke2y2-2py-p2=0. 方程的两个根1和2就是P1和P2两点的纵坐标，由根 和系数的关系得知弘=-如=ー，所以 34%2一1. 这就证明了抛物线在P1和P2两点处的切线互相垂直. 1.在下列各题中，先证明P点是在曲线上，再求在P点处的切线 练·习 和法线的方程： (1)x2+9y2=40,P(2,-2); ()5+ー5，P(-,-) (3)x2+4y2+2+8y-20=0,P(2,.一3)： ·238· ==========第252页========== (4)y=4,P(4,1); (5)2c2-3y2=12,P(3,/2); (6)y=x2+3ax+1,P(-3,1). 2.在下列各题中，求经过P点并且与曲线相切的直线方程： (1)P(8,13),y2=6x; (2)P(2,2),2+4y2=4; (3)P(0,2),62-5y2=60 3.由P(2,4)向圆心+y2=4作两条切线，切点是A和B,求连结 A、B的直线方程， §422 已知斜率的切线方程 先看下面的例题： 例1 求斜率是一2，并且切于双曲线x-4y2=9的直线方程， [解] 因为已知道切线的斜率，我们可以设所求的切线是y=一2+m(m是切线的纵截距)，现在只要求m的值就可以了. 以y=-2c+m代入 方程22-4y2=9,得 a2-4(-2+m)8=9,整理后，得心的二次方程： 15.c2-16m+4m2 +9=0, (1) 图4.69 因为y=一2x十m是双曲线的切线，所以 =(16m)3-4×15(4m8+9)=0, 解这个方程，得 m-士是5， 因此，所求的切线方程是 ·239● ==========第253页========== -2卡是防. 从这个例题可以看到，只要已知切线的斜率，我们都可以用上述的方法求出切线的方程.例2 设抛物线y2=2p心的切线的斜率是飞，求切线方程. [解] 设切线是y=x+m(m是切线的纵截距). 由y=+沉和y2-2px消去心（也可以消去y,这里以消去较简便)，得 =2(） 就是 ky2-2py++2pm=0. 直线和抛物线相切的条件是=0，即 (2p)3-4k.2pm=0, 就是 m=p 2k· 因此所求的切线方程是 y-keacp k· 用同样的方法，我们求出斜率是，并且切于椭圆 答+茶-1的初线为程是 y=kc士√a2k2+0, 切于双曲线 2-7产=1的切线方程是 y=ke±√ak3-b3 +切于双曲线一常=1的切线方程是 U=k士√2-bk 圆是椭圆的特例，因此斜率是无且切于圆2+y2=3的切线方程是 y=kc±r√k+1, ·240· ==========第254页========== 现在把上面讨论的结果列成下表，以便查阅： 斜率是的切线 曲线 曲线的方程 注 方程(y=kc+m) 抛物线 22=2px y=÷ 2k 饥s卫 2% 2 y-x土wa2+ 椭圆 不问a、b的相对大小 （特例：2+2y2✉2) (yーkに±√2+1 2 2 y=c士√a2%2-b2 a22>b2 双曲线 2238 ymx土√2-b2z2 b2k30)； (3)直线y=x与双曲线4x2-y2=16. 4.根据下列所给的曲线方程和切线的斜率飞，求切线方程和切点的坐标 1 (1)y2=4x,6=z; (2)2y2-16x2=1,k=2; 8)2-6=18,=: ④2+-16，及=-手 0⑤9+16y°=14，五=-子；（⑥）2y=2,A=m（m<0). 5.求倾斜角是30°，并且切于抛物线y2=4的直线方程和切点. 6.求与直线3xc-y+5=0平行，并且切于抛物线y2=12xc的直线 ·243● ==========第257页========== 方程. 7.求与直线6c-4y+9=0垂直，并且切于双曲线x2-4y2=36的直线方程 8.证明：圆2+y2+D++F=0切于x轴的条件是D=4F,[提示：x轴是y=0.] 9.求经过P点，并且与下列曲线相切的直线方程： (1)P(0,一1)，x2=4y; (2)P(4,4),y=16. 10.求下列圆锥曲线的公共切线，并作出图形： 끓+二1与地物= (1)椭圆 3 (a)西+-고与+- (3)椭圆9c2+1622=144与双曲线7x2-32y2=224, 11,若椭圆和双曲线有相同的焦点，那末椭圆和双曲线在一个交点 处的两条切线必互相垂直， 12.一个单位圆（即半径为1）的圆心在x轴上移动，问这个圆的圆 心移动到什么位置时，圆和抛物线y2=2心在一个交点处的两条切线互相垂直？ §4·23.圆锥曲线的切线和法线的性质 1。·抛物线的切线和法线的性质 我们在介绍抛物线的定义前，曾经提出过，如探照灯，汽车前灯和手电筒等在灯泡后面都有一个反射镜，这种反射镜是由抛物线绕着它的 B 对称轴旋转面成的（也叫做抛物镜面).光线从灯泡（灯泡是放在焦点上的)射出，经过反射镜的反射，就成为一 y8=20t 束平行的光线射出.为了说明这个性质，我们先来介绍 图472 ●244· ==========第258页========== 一个概念： 焦点半径圆锥曲线上的一点与焦点的连结线段，叫 做这一点的焦点半径，如图472的FP就是 由光学知道，光线的入射角（就是入射光线与法线所成的角)与反射角（就是反射光线与法线所成的角）相等，因此上面所提到的抛物线的性质可归结为： 经过抛物线上一点P作平行于对称轴的射线PE,则 经过P点的法线PN平分由焦点半径FP和经过P点面 平行于对称轴的射线P亚所夹的角（如图中的1=a). 下面就来证明这个性质： 设P(1,y1)点是抛物线y=2p上的任意一点，PT 和PN是经过P点的切线和法线，P平行于抛物线的对 称轴.PN把∠FPE分成1和？两个角.我们要证明 1=2,可以转变为证明B1=B2(它们分别是1和2的余 角). 切线PT的方程是y则=p(x+1),它的斜率是 kpr=tga-tg B:=p 又PB的斜率是kP=O,PF的斜率是 p取=g日=一虹 1一气p 从图472中的△PTF可以看出，B2=0-a&,所以 tg o-tg a gBa=1中tg0,g8 1 p y1 2 v-p. 1十3红.2 -23班(-+p） 2 ·245• ==========第259页========== 因为y1=2pc1,所以 2p4-陆+2 (a+号) tg 82= p +)(+号)欧 ∴.tgB1=gB2. 但B1和B2都是在0到匹之间的角，因此 B1=B2. 由此我们证得了 01=0g. 经过上面的证明，我们就可以对探照灯为什么射出的光线是平行的一束作出科学的解释了(图473). 抛物线的这个性质有很多的用处，除了前面讲的探照灯、汽车前灯和手电简外，太阳能灶（图474）也是利用这个性质设计的：把太阳能灶的聚 图473 光镜制成抛物镜面，使它正朝着太阳，则沿着平行于对称轴射来的太阳能都集中到焦点上，在焦点上产生高温，炊具放在焦点上，就可以进行烹凭 读者如果有可能借到一只抛物镜面（一般物理实验室 图474 0246· ==========第260页========== 都有)，可以做这样的一个实验：把抛物镜面正对太阳，拿一根火柴，设法把火柴头放在焦点的地方，一会儿功夫，火柴就会燃烧起来 2.椭圆的切线和法线的性质 上面我们证明的抛物线的性质，可以用来产生平行光束，或使平行光线经过反射后聚于一点.椭圆也有与抛物线类似的性质，就是： 经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径所夹的角. 下面就是这个性质的证明（图475）， 设P(,1)是椭圆 2+ a名装=1上的一点. PT和PN是经过P点的 P(a1,1） 切线和法线，PF1和PF N 1(-c,0) 0 Fa(c,0) 是P点的两条焦点半径 PN分∠F1PF2为a1和cg两个角.我们要证明的就是1=02. 图475 1是PN与PF2的夹角，ag是PF1与PN的夹角，求两条直线的夹角的方法在第三章里已学习过了.为了计算出a1和a2,我们须要计算出PF1,PF2和PN的斜率. 因为P(,)是精圆号+等-1上的一点所以经 过P点的切线PT的方程是 警+器=1, 63 就是g=ーb2a1心十 a21 · •247• ==========第261页========== 可见切线PT的斜率是nb41.法线PN的斜ayi 率是 a21 KPN-74i1（.'kyr-kpx=-1). 设两个焦点分别是F1(一c,O),F(C,0),根据直线的斜率公式可得两条焦点半径的斜率： kpr,=41-0=9生 w-（一c)c1十c' krR,=1-0=h 21-C 1-C 用两条直线夹角的计算公式得： 1ays kp一PN= g1=1十kPr形pNv 1-Cb2a1 1+红，ay生a1-c b2a1 acy1-(a2-b2)1y1 b2a3+a2y-b2ca1 (1) 因为P是椭圆上的点，它的坐标必满足椭圆的方程，就是 b+a2y1=a63. (2) 又根据a,b,c的相互关系，有 a2-b2=c2, (3) 把(2)，(3)式代入(1)式，得 tg1=a3cy1-0211=cy1(a2-c=C a263-b2c1 b2(a2-ca1) b9. (4) 同理可得 a2红-1 飞px一无P=tg ca=1PNKPF: b2w11+0 1+끊a -（(a2-b）m+a3c1=c,4十a2c1b2xi+a"yi162ca1-a263+b2cx1out(caa)cy b2(a2+cxi)b9 (5) 0248· ==========第262页========== 由(4)，(5)可知 tga=tgaz. 但1和62都是0到x之间的角，所以1=2，于是性质得到了证明 这个性质同样可以应用到光学上，由于入射角和反射角相等，因此，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过反射后，都集中到另一个焦点上.同样由椭圆的一个焦点发出的声音，经过反射后，也都集中到另一个焦点上。有一种叫做“耳语廊”的建筑物，它的 图4·76 顶的纵断面是椭圆的半弧，在一个焦点处低声讲话，本来不可能在另一个焦点处听得到的声音，经过反射后却能清晰地听到 3,双曲线的切线和法线的性质 双曲线也有与椭圆类似的性质，就是：经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径所夹的 P(x1,91) 角. 如图4·77，P是双 曲线上的一点，PT是 切线，则 ∠F,PT'=∠FgP7', 图477 这个性质的证明可以仿照椭圆的性质的证明进行.就是说，先求出切线PT和焦点半径PFa和PF1的斜率，再计算∠F1PT和∠FaPT”的正切（这个证明留给读者去完成) 这个性质的光学意义是，如果光线从一个焦点F发 ◆249● ==========第263页========== 出，经过靠近F?的双曲线的一支的反射后，光线就好象是 从另一个焦点F发出的一样（图4·78）. 46. 图478 图479 例1 电影放映机用的一种放映灯泡的反射镜面是椭球面的 一部分（图4·79），光源置于一个焦点F1处，胶片置于另一 焦点Fg处.如图④·79，已知F1和F2到椭球顶点A的距离分别是14.5毫米和46.5毫米.试求出椭球轴截面的曲线（椭圆）的方程.[解] 以焦点F1和F。所在的直线为x轴，F1F2的中点为 原点建立直角坐标系，则AF1=14.5,AF2=46.5, 20=F1F2=46.5-14.5=32,C=16, 又 2a=AA'-AF2+F3A'=AF3+AF1=46.5+14.5=61, a=30.5,b2=a2-c2=30.52-162=674.25, 所以椭球的轴截面的曲线（椭圆）的方程是 a2 930.25+674.251. 例2 若过椭圆通径的一端的法线恰好过椭圆短轴的一端，那末离心率e必满足关系式e4+一1=0，试证之.[证] 设椭圆方程为 b+a2y2=a2b2, 通径是PP2(过焦点且垂直于x轴)，则通径的一端P1的 ·250· ==========第264页========== 坐标为(，) 椭圆在P1处的切线方程是 ca+ay-a2, 其斜率 因为过点P1的法线过点B(O,一)，所以法线P1B的方 程是 2 y片b=4x. e(e) 又P:B过点A(0,),所以 ·o7F(c,0) ÷b=4, B(0,-b) 即 a2-)3=ab 图480 因为a2-2=c2,b=√a2-c2,所以c2=a√a2-c。 等式两边平方并除以a,即得 e4+g2-1=0, 1,设P是抛物线或双曲线上的一点，用几何方法作经过P点的切 练习 线和法线 2.有-个光源在椭圆密+号-1的一个 焦点上，光线从光源射出后，在椭圆的P -0.2 点处反射，P点的横标为2，求入射线和 反射线的方程. 3.太阳炉的反射面是抛物面，已知太阳炉的口径为3米，深度为0.2米.问热能接受器应放在离顶点多远的位置上 (第3题) 本章提要 这一·章主要是根据椭圆、双曲线和抛物线的儿何条件 ·2510 ==========第265页========== 导出它们的标准方程，并通过对标准方程的讨论，研究了这 三种曲线的儿何性质 1.圆锥曲线的标准方程、图象和几何性质 椭 圆 双 进 线 抛物线 +- 22y2*1 标准方程 (a≥b>0) (a>0,b>0) y2=2px(p>0) (当a=五时是圆) (a=b时是等边双曲线， 形b a图 O CR (-a,0),(a,0) 顶点 (0,-b),(0,) (-a,0),(a,0) (0,0) 对称轴：父轴，y轴 对称轴：轴，y轴 对移轴 长轴的长：2a 实轴的长：2a 对称轴：x轴 轴的长：2石 虚轴的长：2b 焦点f1(-c,0),2(c,0)F1(-C,0),F2(c,0) x(，) 11F2=2c(c>0) 71F2i=2c(c>0) 焦距 c2=a2.-b2 G2=a2+b2 (a>c e= 离心率 0≤e<1) (a1) 渐近线 表中所举的是圆锥曲线主要的标准方程和性质，对于 箱+-山，双线一器+-1和治韵线 一2pc,2=土2则等的图形和性质，由读者仿照上表自己去完成它。 ●252· ==========第266页========== 2.圆锥曲线的切线和法线 (1)理解切线和法线的定义. (2)经过一已知点P(1,y1)，作圆维曲线的切线时， 若点P在曲线上，测照§生·21介绍的代换法测解答；若点 在曲线外，有两种：解题方法，一是求切点坐标，一是把问题转变为求一元二次方程的实数解，利用=0进行解答（参考§421的例2). (③)已知切线的斜率，求切线的方程时，可直接用§4·22导出的公式解答. (④)了解圆维曲线的切线和法线的光学性质及其应用. 学完这一章，除要求能根据所给的条件求出圆锥曲线的方程外，还要求 (1)能用解析法证明圆锥曲线的性质及某些何量之间的关系式 (2)学会运用直接方法和闻接方法求点的轨迹的方程. 复习题四A 1.(1)根据椭圆的标准方程 분+-고和+~그， 分别说明焦距c和a、b之间的关系，离心率、焦点和顶点的坐标，长轴、短轴的位置和长度； (2)根摆双曲线的标准方程 答1和器+等=山， 分别说明半焦距c和a,b之间的关系，离心率、焦点和顶点的坐标，长轴、短轴的位置和长度。 2.用解析法证明： ·253。 ==========第267页========== (1)半圆上的圆周角是直角： (2)从圆周上一点向直径作垂线，垂足把直径分成两段，则这垂 线长是直径上两段的比例中项 3.在椭圆上求一点，使经过这点的两条焦点半径互相垂直。 4.P1(1,1)是圆x2+y2=3上 的任意一点，又设P点和P1点 的横标相同，如果纵坐标的比 P1(r1,1） MP 无12（如图中的器是》 P(x,y) 求P点的轨迹. [示站即”11 12 用表示1，又=，代入号+yi=r2里. (第4题) 5.求经过P(4,一1)点，并且与圆x2+y2+2c一6y+5=0切于 M(1,2)点的圆的方程. [提示：已知圆的圆心为(-1,3)而所求圆的圆心必在（一1,3）和(1,2)两点的连线上，同时又在(4，一1)和(1,2)两点的连线的垂直平分线上门 6.已知圆的半径是4，并且经过两圆c2+y2=4和c2+y+2x一3=0 的交点，求这个圆的方程 7.已知圆x2+y一4+6y-4=0的切线与直线4c十y=0垂直，求这个圆的切线方程"8.证明：P(x1,y1)点到两圆 x2+y2+D1c+E1y+F1=0, c2+y2+Dx十E2g+F2=0 有相等长的切线的轨迹，就是这两圆的根轴 [提示：参考本章习题43~44第8题，从1=t2即楫=号再化简.] 9.求一点的轨迹，已知它到直线x=18的距离等于它到F(2,0)点 的距离的3倍 10.求切于纵轴和圆c2+y2=1的圆的圆心的轨迹方程. 11.已知一个等边三角形内接于抛物线y2=2,并且一个顶点在原点，求其他两个顶点的坐标。 ◆254· ==========第268页========== 12.设双曲纹号-号-1的切线平行于直线计y一7-0，求切线6 13.双曲线与直线x-y-2=0切于P(4,2)点，求这个双曲线的方程。 14.设双曲线的渐近线是y=士号，它的一条切战是5-6侧-8= 0,求这个双曲线的方程 15.求直线Ax+By+C=0与下列各圆锥曲线相切的条件： ()鞘圆器+卡-1 (②)又曲线器-等-1： (3)抛物线y2=2pc. 16.设△ABC的周长是50，底边AB=24.今AB不动，并且在不 改变三角形周长的条件下，移动顶点C,求C点的轨迹 [提示：取AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点.] 17.求抛物线y2=64x与直线4c+3y+46=0的最短距离. [提示：求与直线4c+3y+46=0平行，并且与抛物线相切的直线，把问题转变为求两平行线间的距离.] 18.证明内接于抛物线y2=2x的三角形的面积是 s=|(nッ(-)(-이 (其中1，，是三角形的三个顶点的纵坐标). 19.就必的值，确定方程空+需-1的轨迹，并且当=一16，车16 16,20时，作出各轨迹的图形 20.证明，等边双曲线任意一点到两个焦点间的距离的积，等于这点 到中心距离的平方. [提示：设等边双曲线是ax2-y2=a2,则二焦点是（士√2a,0).] 复习题四B 1.已知圆22+y-8x-2y+12=0内一点P(3,0),求经过卫点的最长弦和最短弦的方程， 2.求圆心为01(5,4)且与圆2+y2一4x-5=0相外切和相内切的圆的方程 3.过定点M(xoo)的两圆都与两轴相切，它们的半径分别为1和 ·255◆ ==========第269页========== r2.试证r1'2=号+. 4.过椭腿需+学-1内一点P1,1)作-监线交稀的于4,3两 点，且使A=PB时的直线方程. 5.铅圆器+等-1上任意取一点乳，过点T的切线交：轴于江， 出T向x轴作垂线，垂足是N.求证JONJOM!=a2. 6,试证：双曲线y=m(m≠0)上任一点的切线与两坐标轴围成的 三角形的面积为定值 7.作椭国+等-1的内接正三舟形，使-个顶点在B0,b)处.求这个正三角形的边长， 8.过椭圆如2+2y2=2的焦点引一条倾角为45°的直线，求以这直线与椭圆的两个交点和椭圆的中心为顶点的三角形的面积 9.一个单位圆的圆心在x轴上移动，问当圆移动到什么位置时，岗和双曲线2一y=1的渐近线相切？并求圆在此位置时和双曲线的交点. 10.动点P(,y)与定点A(2,4)连线的斜率比与另一点B(一2,4) 连线的斜率多3，求P点的轨迹方程，并画出轨迹的图形. 山.P为椭圆二+器-1上的一点，两焦点是1和P,设 ∠F1PF2=a, 试证△乃PF,的面积为bg写， 12.抛物线y=2px上任一点P(,0)的 P(zo,yo) 切线是PT,OH⊥PT于H,点P和 H 焦点F的连线交H0的延长线于Q, 当点P在抛物线上运动时，求点具的 轨迹. 13.A和A'是等轴双曲线2-y2=2的 (第12题) 两个顶点，MN是双曲线平行于虚轴的弦，试证∠1AN和 ·∠MA'两角必互补 14.P是圆x2+y=2上的一点，作PDLx轴，垂足是D,以P为圆 心，PD为半径作圆交已知圆于E、F两点.当点P在已知圆上 运动时，求PD和EF的交点M的轨迹. ·256· ==========第270页========== 第四章测验题 1.根据下列条件，求以原点为中心，长轴柱x轴上的椭圆 (1)长轴和短轴的长的和为20，焦距为4V√⑤； (2)短轴上的两个顶点与两焦点构成一个正方形，长轴上的一 个项点与较近的一个焦点相距2， 2.试证对于任何实数9，直线cos0+yin0=r都和圆2+y2=2相切. 3.求过一定点且切于一定直线的圆的圆心的轨迹 [提示：以定直线为x轴，并使y轴过定点，设定点为A(0,a),圆心为C(,y).利用勾股定理列出等量关系.] 4.顺序连结两椭圆9x2+25y2=225和25c2+16y2=400的各焦点 得一菱形，求这菱形的内切圆的方程 5.已知A(0,0)和B(2,0)是△ABC的两个顶点，CA边上的中线 长是3.求顶点C的轨迹 6.已灯A(心1，y1)和B(2,y2)是抛物线y=20x上的两点，连结AB交x轴于P,由A和B分别向c轴作垂线AM和BN,M、 N是垂足.试证1OP是OM和ON]的比例中项 7。已知双曲线过点P(10,会)，它的两条海近线是y=土营，求双 曲线的方程 8.已知P为抛物线y=2上的一个动点，连结原点O与P,以OP 为边长作一正方形OPQR,求顶点B的轨迹 9,已知中心在原点、对称轴合于坐标轴的双曲线上一点P的两条 焦点半径分别为和号，双曲线在点P处的切线交如轴于 点(，이.求双曲线方程， 10.。给定双曲线-号-】.()过点4(2,1)的直线2与给定的双 L 曲线交于P1,P2两点，求线段P1P2的中点M的轨迹方程；（②） 巧 过点B(1,1)能否作直线m,使m与给定的双曲线交于1和2两点，且以B为1的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由 ·257· ==========第271页========== 5 坐标变换和二元二次 方程的讨论 本章讨论平面上直角坐标系的两种变换，就是坐标轴的平行移动和坐标轴的旋转.我们可以通过它们来变换一点的坐标.利用坐标变换化简一个方程，可以使我们既容易掌握这方程所表示的曲线的性质，又便于描绘这方程的曲线.本章主要就是研究如何化简-一般的二元二次方程，使它在形式上符合于某一圆锥曲线的标准型方程或其他便于掌握的形式的方程，从而进一步根据二元二次方程的系数来讨论它的曲线. §51坐标轴的平行移动 以前我们对方程 42+9y2+16c-18y-11=0 (1) 的形式，一时不容易看出它的曲线的性质，因此在描绘曲线时就感到有些困难，现在我们如果用 x=-2, (2) ly=y+1 代入原方程，就得到 4(x-2)3+9(y+1)2+16(x'-2)-18(y+1)-11=0,整理后得 42+9y2=36. (3) 在方程（③）中，就变数x,来说，一看就知道它是一个椭圆的方程.这样的代换，对研究方程的曲线是大有帮 ·258· ==========第272页========== 助的.关于(2)式的代换公式如何推导得来的，以及怎样利用它来化简方程等，就是我们下面所要解决的问题。 1.坐标轴的平移公式 在一个直角坐标系中，把原来两轴平行移动到新的位置，例如把心轴移过|个单位长度，y轴移过|个单位长度后（坐标轴的方向和长度单位都不变)，成为新的心 N+-INー·P 轴及轴，两新轴的交点O 作为新的原点，对原坐标系 1 L Af' 0'(h,k) 来说，O的坐标是（亿，）. 通过坐标轴的平行移动，坐4(-2,2) 标系的原点被移至O(,) H 作为新原点（图5·1)，就构成新坐标系a'Oy'. 图51 如果在平面上任取一点P,并设它在原坐标系中的坐 标是(，y),在新坐标系中的坐标是（心，y).现在来研究这两组坐标间的关系. 从图5·1可以看到： OH=k, OK=k 又 OM=x, ON=1, 0M'=',O'N'=, ∫OM=HMOH=OM'+OH, 令 L ON=KN+OK-O'N'+OK, 就是 gx='+h, (1) 或 0259· ==========第273页========== [x=x-h, ly'=y-k. (2) 如果变动丝标轴时，只改变原点的位置而不改变轴的方向和长度单位，这种变换，叫做坐标轴的平行移动，简称移轴.公式(1)和(2)表示同一个点关于原坐标系与新坐标系的两组坐标间的关系，叫它为坐标轴的平移公式（简称移 轴公式)，(，)表示新原点O对于原坐标系的坐标。 2.平移公式的应用 (1)已知一点对原坐标系的坐标，从公式(2)可以求到它对新坐标系的坐标；反过来，已知一点对新坐标系的坐标，从公式(1)可以求到它对原坐标系的坐标（见下面例题)、 例1 平移坐标轴，以O(一3,4)为新原点，求下列各点的新 坐标：0(0,0)，A(-4,2),B(0,4),C(-1,-2). [解] 把已知各点的坐标分别代入移轴公式(2) f=x-(-3), y=y-4, 便得到它们在新坐标系O'y中的坐标 0(3,-4),A(-1,-2),B(3,0),C(2,-6)(图52). 例2 经过怎样的移轴变换，可以 把点P(4,-1)变为P(-1,3)? [解] 因为 优=4，y=-1, 0(34 x=-1,y=3, A(-4,2) 把它们代入移轴公式(1) 100,0*3 4=-1+h, 0(-1,-2) 1-1=3+k, 得 h5,k=-4, 图52 就是说，只须以O(⑤，一④)为新原点的平移变换，就可以使 t280· ==========第274页========== 点P(4,一1)在新坐标Oy系中的坐标成为（一1,3）.平行移动坐标轴，以(2，-3)为新原点： 练习 1.在原坐标系中有A(4,5),B(-3,1),C(0,0),D(/3, -2√z),(2,-3),F(a,b)各点，求以上各点在新坐标系中的坐标，并在图上作出各点的位置. 2.以下各点在新坐标系中的坐标分别为K(2,8),G(一3,1)， H(0,0),P(-2,3),Q(a,b).求它们在原坐标系中的坐标。 3.经过怎样的移轴变换，点1M(-5,一3)可变为M(2,-2)? (2)在一个方程F(,y)=0中，以公式(1)或(2)进行代换，就是以变数x和代替变数心，y,就可以得到对于新坐标系的方程∫(x',y)=0,显然这两个方程是表示一个相同的曲线，公式(1)或(2)是说明两方程中变数间的关系.利用这种关系可以化简方程。化简的方法有两种： ①代公式法以移轴公式代入已知的方程F(c,y)=0,得新方程f(',y）=0,然后适当选取h,飞的值，可以使方程化简.从下面的例题我们来考察如何选取h和飞的值的问题. 例8 化简方程4+9y2+16c-18y-11=0并作出它的曲线. [解] 以 f心='+h, Ly=y'+ 代入原方程得 4(x'4)9+9(y-+)2+16(+)-18(r)-11=0,即 42-↓9y2+8(h+2)x'+18(k-1)y+(4h.+9k2+16h-18k-11)=0 (1) 如欲化去心，y的一次项，则新方程就成为我们所熟悉的标准形式了. 令，y的系数为0，即 。261● ==========第275页========== 「h+2=0, 1k-1=0, h=-2,k=1 代入（①）式得 4x+9则2=36， (2) 就是说通过坐标轴的平移，以(-2,1)为新原点，即得新方程(2)，也就是 9+ 291. 从第四章知道这是椭圆的标准方程，中心在新原点，即(-2,1).方程的曲线对称于新原点及两新坐标轴，对称轴在新坐标轴上，即在y=1,心=-2上，长轴的长为6，短轴的长为4（图53）.例4 化简方程2y2+5x+12y+13=0并作它的曲线. [解] 以 「x=x'+h, ly=y+k 代入原方程得 2(y+)8+5(x'+h)+12(则+)+13=0， 即 2则+5+4(k+3)y+(2k2+5h+12k+13)=0. 图53 图54 ·282● ==========第276页========== 消去项及常数项，新方程中只有y和心两项，它的轨迹是对称于心轴的抛物线，因此令 〔k+3=0, (2k2+5h+12k+13=0. 解这个方程组，得 k=-8,=1. 平行移动两坐标轴以(1，一3)为新原点后，它的方程是 2y2+5x'=0, 即 シー一'。 从第四章知道这是抛物线的标准方程。p=5顶点在新原点(1，-3)，对称轴是y+3=0(图5.4). 从上面两个例题中可以看到，在二次方程 Ax2+Cy2+Dx+E十F=0 (没有y项)中，通过移轴可以使方程化简，就是说假使A,0都不为0，则化去一次项就得一个新方程（有心圆锥曲线的标准型方程)，它的曲线对称于新坐标轴，也对称于新原点；假使A或C有一个为0（如设A为0），则消去y的一次项的系数及常数项，这样就得到抛物线的标准型方程，它 的曲线对称于轴，顶点在新原点（如C=0,则消去的 一次项及常数项). 观察上述两例，可以看到一个二元二次方程通过移轴化简，它的二次项的系数保持不变，受到影响的只是一次项的系数及常数项. 利用移轴公式，仿照上面例题化简下列各方程，并描它们的曲 练习 线 1.2-+y2-2x+6y-6=0. 2.x2-y2-2xc+6y-6=0. 3.9x2+4y2-18x+16y-11=0 ·263· ==========第277页========== 4.2c2+12c+5y+13=0. 6.y2-2x+4y-4=0 ②配方法对于缺少y项的二元二次方程，我们可以用配平方的方法来确定五，飞的值，从而化简方程.这种方法比上面的代公式方法来得简单.举例如下：例5 化简4w2+9y2+16x-18y-11=0. [解] 按照，y2项分别配成平方 4(x2+4x+4)+9(y2-2y+1)=11+16+9,即 4(x+2)-+9(y-1)=36, (1) 〔龙+2=x', 令 ly-1=y. fx=x'-2, 可得 (2) ly=y-+1. 以(2)代入(1)即得 4x2+9y2=36. 得到与上面例3同一的结果（见例3及图5·3）. 例6 化简2y2+5x+12y+13=0. [解] 按配方， 2(2+6y-+9)=-5c+5, 即 2(y+3)8-5(x-1), (1) 令 「x=心+1， y=y-3, 代入(1)式得 2则9=-5x. 得到与上面例4同一的结果（见例4及图5·4）. 在A,C都不等于零（或A,C不同时为0），并且没有 y项的二次方程A2+Cy+Dx+y+F=0中，我们都可以用配方法求出和的值，再行移轴化简。 ·264· ==========第278页========== 利用配方法化简下列各方程， 练习 1.x2+y2-2c+6y-6=0. 2.x2-y2-2x+6y-6=0. 3.9x2+4y2-18ax+16y-11=0. 4.2x2+12x+5y+13=0, 5.2gy2-5.x-12y+13=0. §5·2方程A2+Cy2+Dx+y+F=0的讨论 缺少y项的二元二次方程的一般形式是A心+Cy2 十Dx+y十F=0,对于这一类形式的方程，在前一节里我们已经通过具体例子，利用移轴进行化简了.现在我们来进行一般性的讨论，研究方程 Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 (1) 的轨迹 1.设AC≠0，分别就x、y各项配成平方，可得 A(x-h)9+C(y-k)=, E=CD+AE344CE）. 440 由移轴公式，可变换成 Ax+Cy-F, 它是有心圆锥曲线型方程，中心在(h,), (1)当A、C、F同号时，它的图象一般是椭圆（特殊 情况，当=0时是一个点). (2)当A、C异号时，它的图象一般是双曲线（特殊情 况，当F'=0时是两条相交直线) 2.设A、C中有一个为零（设A=0,C≠0.若A≠0， C=0,一样讨论)，经配方，可得 ·265· ==========第279页========== C(g-)3=-D(-), (其中h=- 4CD 8) 由移轴公式，可变换成 2y/2=-, D 它是抛物线型方程，顶点在（五，），对称轴在y=飞上（特殊情况是两条平行（或重合）直线). 例1 写出一个椭圆方程并描它的图，已知它的长轴的两端点的坐标是(-2,4)，（-2，一2)；又半焦距c=√5.[解] 由长轴两端点为A(一2,4)，A'(-2,一2)，可知焦点 在=一2线上，又 2a=4-（-2)=6, ∴.a=3,b=√a2-6=√月-5=2， 两对称轴为心=-2，y=1,中心在点（一2,1）.所以它的方程是 e+22+g-1)2=1, 4 (1) 9 以（一2,1）作为新原点，平移坐标轴，即以 x=心-2， y=y+1 代入(1)式得 (2) 照(2)式在新坐标系上作曲线，它的图象如图5·5.例2 已知一个双曲线的半实轴a=2,两焦点是(2,2)，(2， 一4)，求它的方程并描它的图. [解] 这双曲线焦点是F(2,2)和F(2,-4),所以 2c=2-（-4)=6, c=3。. ◆286◆ ==========第280页========== 3 2 =1 0'(-2,1) 01 图55 图56 已知 a=2, ..b=c2a2=/5, 实轴在x=2线上，虚轴在y=一1线上，中心在(2，一1).所以它的方程是 e-22+g+1)°=1， 5 (1) 以(2，一1)作为新原点，通过移轴，用 〔=+2， (y=y-1 代入（①）式得 +-1 (2)） 照(2)式在新坐标系描曲线，它的图象如图56.例9 已知一抛物线的焦点是P令，一8)淮线是心=13 Γ8 写出它的方程并描它的图.[解] 港物线的准线是x一8焦点在（得，-）厮以刀豆 (即焦点到准线的距离)，轴在y十3=0线上，顶点的坐标是(1,一3)，因为焦点在推线的左方，所以抛物线的张口方向 ·267● ==========第281页========== 向左，它的方程是+)ーー-7), (1) 以(1，一3)为新原点，通过移轴，将 化=心+1， y=则-3 代入(1)式得 gy=-2 它的图象同51节例4（见图54）. 〔注意) 对于例1,2,3这种类型的习题，应当从所给条件把已知的点或直线等先行作出，对照图象考虑问题，这样做比较便利，并且可以减少错误。 0 例4 已知一椭圆（对称轴平行 西一5 于坐标轴)内切于由四条直线 2 =8 花=-2，c=8,y=-5,y=1 图5·7 所围成的矩形，求这椭圆的方程及这椭圆的离心率和焦点的坐标 [解] 设椭圆的中心为O'(亿，)，则 乃=二2+8 2 k=1+（）=-2, 2 又椭圆的长、短轴分别是 2a=8-(-2)=10,a=5 26=1(-5)=6,6=3. 所以椭圆的方程为 (-3》2+《g+22=1, 25 9 ·268· ==========第282页========== 令心+3，对一2=y,方程可变换成 .a=5,b=3,.C=4, a5. 在新坐标系xOy中，焦点为F1(-40)和F(4,0).在原坐标系Oy中，焦点为F1(-1,-2)和F2(7, -2)； 根据下列所给的条件，分别求曲线的方程，并用一般式方程表示 练习 (不必作图)： (1)一圆，中心在(1，-3)，半径是4； 答：x+y2-2x+6y-6=0. (2)一椭圆，它的对称轴平行于坐标轴，中心在（一2,1），a=3,b=2,焦点在直线y一1=0上； 答：4x2+9y2+16.x-18y-11=0, (3)在上题中，设焦点在直线x+2=0上，那末方程又如何？ 答：9x2+4y2+36x-8y+4=0. (4)一双曲线，它的实轴合于x一1=0，中心在(1，一3)，又 a=1,b=1; 答：c2-y2-2c-6u-7=0. (5)在上题中，设实轴合于y+3=0,那末方程又如何？ 答：x2-y2-2c-6y-9=0 (⑥)一抛物线顶点在(-3,1)，卫-云准线平行于y轴，曲线向左伸展 答：2y2+5x-4y+17=0。 习 1.利用移轴公式化简下列各方程，并且描出它的图象：题 1~ (1)16ax2+25y2+64x-150g-111=0; 52 (2)22-4y2-4-24-16=0; (3)x2+4g2-2c+16y+17=0; (4)42-y-24x+16y+17=0; (5)x2+6x-8y+17=0. 2、利用配方法把第一题各方程化简， 3.用移轴法化简方程x2-6c+9=3-6y2+12y-8,并描绘它的 ·269· 4保1 ==========第283页========== 图象。[提示：两边先各自分解因式，再移轴] 4.写出抛物线方程，并且描出它的曲线，已知 （少顶点在1,3，P-”,准线平行于y轴，品线张口向右伸展；又如这曲线向左伸展则它的方程又如何？ (2)焦点在（一3,3），准线是y+1=0 5.写出椭圆方程，并且描出它的曲线，已知： (1)短轴两端的坐标分是(-2,3)，（-2，-1)，又c=√⑤； (2)长轴长是10，焦点相距是6，长轴合于直线x+2=0上，义 中心在（一2,3）. 6.写出下列各双曲线方程，并且描绘它的图象，已知： (1)焦点在(1+2√2，-3)，(1-2V2,一3)，又实轴的长度 与虚轴的长度相等； (2)实轴长2√3，两焦点在(0,0)和(0，一4). 7.求双曲线42一9y2+16c一54-29=0的焦点、离心率和渐近线的方程.[提示：先化成标准形式.] 8.求抛物线3c2-6x.+y=0的顶点、焦点和准线的方程 §53坐标轴的旋转 在前两节里，我们讲过坐标轴的平移，并学会用移轴公式化简不含有y项的二元二次方程、这一节里，我们将学习坐标轴的旋转.并讨论怎样用转轴公式化简含有则项的二元二次方程， 先看一个例子. 我们知道y=K是等轴双 曲线的方程，当K>0时，曲线在 第I和第II象限内（图5·8）.如 果我们把心轴和y轴绕原点按反时针方向同时旋转45°的角，长度单位不变，那末，在新坐标系 图58 ●270· ==========第284页========== F 1 心O则中，双曲线的方程就变成 x2-y8=K1 的形式，它的性质是我们所熟知的.同一个曲线在不同的坐标系中表示它的方程也不同. 从上例可以知道，如果坐标轴的原点和长度单位都不变，而只改变坐标轴的方向，即两坐标轴绕原点按同一方向旋转同一个角度，这种坐标轴的变换叫做坐标轴的旋转，简称转轴。 1.坐标轴的旋转公式 设平面内有一点P,对于原坐标系Oy它的坐标是(c,),把心轴和y轴同时按反时针方向转过同一个角度0,Ox转到Ox的位置， Oy转到Oy的位置， Ox'和Oy构成新坐标系x0y. 如图5·9，∠0.x =0,∠y0y=0. 设点P关于新坐标 系Oy的坐标是(x,y),今假定 IOP|=p,∠OP=中， 图59 则 ∫'=OM'=|0P|c0s中=pcog中，y-M'P=OP|sin中=psin中. (1) 又 e=O1M=IOP|cos(中+B)=p(c0s中c0s9-sin中8in0)=p cos ocoso-p sind.sin0, y=MP=0Psin(中+θ)=p(sin中cos0+cos中inB) -p sino.cos0+p coso.sin6. •271· ==========第285页========== 从(1)式pcos中=w,pim中=y,代入上式得 龙=c0s0-则sin0, (2) y=x'inB+ycos日. 这个公式是用点的新坐标（心，）来表示它的旧坐标(c,y)的.如果我们要用点的旧坐标（心，）来表示它的新坐标(，y)时，只要解方程组(2)就可以得到 〔2'=xc0s9+ysin9, y=-xsin9十ycos6 (2) 为了便于记忆，对公式(2)我们也可以作这样的解释：坐标系cO则是从坐标系O则旋转一0角而达到Oy的位置的，这时，(c,)是点P的旧坐标，(，y)是点P的新坐标，用-0代入(2)，即得 cos(-0)-y sin(-0), ly-asin(-0)+y cos(-0). 就是 ∫x=a cos0+ysinθ， Iy'=-a sin6+y cose (②)和(2)都叫做坐标轴的旋转公式，简称转轴公式，9叫做旋转角. 2.转轴公式的应用 (1)已知一点对原坐标系的坐标，通过转轴公式可以求到它对新坐标系的坐标.反过来，已知一点对新坐标系的坐标，通过这个公式也可以求到它对原坐标系的坐标（见下例). 例1 有一点(2√5，-3)，当两轴转过角 9=areg号 时，求这点对新坐标系的坐标. ·272· ==========第286页========== [解] 0=a0g受g0=是 √6，cs62 .sin 0=1 √5 由转轴公式(2)，可得 、()능-1 3 少-2/万.1+（ー =-2-了 2 、6 5 5 所以这点对新坐标系的坐标是(4一3 例2 在前题中，有一点对新坐标系的坐标是(43 6 6 -2-局)，求它对原坐标系的坐标。 [解] 由转轴公式(2)得 86 -2、6 x=wcos9-sin0=。Y万 VB 3 12 4… yi血0+ycos9=-，-4-十 /5 .x=2√/5，y=-3. 因此这点对原坐标系的坐标是(2√，-3).例3 坐标轴旋转多大的角度时，点M(一1,2)的新坐标为 (2,-1)? [解] 因为x=-1,y=2;x=2,则=-1.由转轴公式可得 -1=2cos6-（-1)sint 2=2sin0+(-1)co90. 解这个方程组，得血0-子c0=一青6所以旋转 ◆2780 ==========第287页========== 角6=（②n+1)x-a0i血号m是整数）. (2)在一个方程F(x,y)=0中，以转轴公式把变数,y变换成变数，y,就得到对新坐标系（两轴同时转过8角)的方程f(x,)=0,两个方程表示同一个图形.例4 在c=6中，把两轴同时按反时针方向旋转45°，求对新坐标系的方程。[解] /2,Cs5°=1 0=45°，.$in45°=1， 2代 入转轴公式，得 x'+- 代入原方程，得 -y心+ W/2√2=6, 就是 x2-y2=12. 这是我们所熟悉的等轴双曲线方程，见图5·8. 通过转轴，适当选取9角，可以把一个方程化简，见下例. 例5 在13ax2-10xy+13y2=72中，把坐标轴旋转过45°，求它的新方程并描它的图象。[解] 以 化=x'c0s45°-ysin45°=-2 2 y=x'i45°+gcos45°=+y (1) V2 代入原方程得 ()-0()+(整）°-2， ●274● ==========第288页========== 整理后得 13(-)210(9-y2) 2 2 +13(+2=72,(2) 子45 就是 4x8+9则2=36， (3) 如图5·10，它是一个椭圆. 图510 练习 1.设旋转角0=年，下列各点对新坐标系的坐标为(-8,1， √区，-》0,0分别求它们对隙业标系的坐标 2.设旋转角日=答，下列各点对原坐标系的坐标为（一2，）， (-1+2W③，-2+V③)，(0,0),求它们对新坐标系的坐 2 标 3.把点A(一2,3)的坐标变成新坐标（一3，一2），坐标轴要旋转 多大的角度（用通解表示）？ 4.按照所给的角日转轴，变换下列各方程并描第(2)及第(4)题的图： (1)x-y=0(0≈90)： 答：x+y=0. (2)13x2+10y+13y2=72(0=45°)；答：9x2+4y2=36. (3)3ax2-4W3xy-y2=6(0=60)；答：3ax2-5y+6=0. (④-g2=-8(0=￥） 答：x'y+4=0。 §5·4一般二元二次方程的讨论 二元二次方程的一般形式是 A+Bxy+Cy2+D+E则+F=0, 其中二次项的系数A,B,C不能同时为0. 1.在二元二次方程中经过移轴和转轴变换后，我们来考察所得到 ·275· ==========第289页========== 的新方程和原方程系数间的关系。 设旋转角为0(0一般可取任意值，但在方程化简过程 中，为了方便起见，限定它是锐角，即0<6<受，就是说新 轴是按照反时针方向旋转，并不超过一直角，也不等于一直角.因为假定9是一直角，那就等于心轴转到y轴，对方程 的化简毫无帮助.又假使9>受，如 -=+0(0<<受) 实际上转到9就可以了，没有转过大于罗角的必要)，由 转轴公式 g8了加反 代入原方程，得 A(a'cos0-ysin)2+B('cos0-y'sin (a'sin +y'cos0)(a'sin0-y'cos)+D(x'cos0-y'sine) +E(x'in0+yco89)+F=0, 整理后得① A cos30 -2A sin 0 cos0 ' +B sin0 cos0 +B(cos20-sin20) +0 sin20 +20 sin0 cos +A sin20 1y3+D cos -B sin0 cos0 +sin0 +C cos20 -D sinly+=0,+cos 0 ①一竖“”，作括号用。 ◆276· ==========第290页========== 设所得的这个新方程的形式是 A'x2+Bay'+0'g2+D'a+E'y'+F=0, 这里 A=A cos20+B sin6 cos0-0 sin26, (1) B=-2(4-C)sin6 cos0+B(cos20-sin20), (2) C=A sin26-B sin0 cos0+0 cos20, (3) D'=D cos0++E sin, (4) =-D sin cos0, (5) F不变. 由(1)+(3)，得 A+C=A(cos26+sin20)+(sin20+cos0)即 A'+0=A+0. (6) 又 24'=2A cos20+2B sin0 cos 0120 sin20,根据三角公式 cos6-1+c0s29,in°9=1-c0s20 2 2一 sin 20=2 sin 0 cos0, 代入上式得 2A'=A(1+c0s28)+Bsin20+C(1-c0s28)=(4+C)+(A-C)cos20+B sin 20]. (7) 同理可得 2C'=(A+C)-[(A-C)cos20+Bsin20]. (8) 从(7)×(8)，得 4A'0'=(A+C)3-[(A-0)cos20+Bsin28].(9)由(2)2，得 B2=[-(A-C)in28+Bcos20]2. (10) 从(10)一(9)，得 ·277· ==========第291页========== B9-4A'G=(A-02(sim920+c09320) +Ba(c0s220+sin920)-(A+C)9 =(A-C)8+B8-(A+C)9, .·.B8-4A'C=B3-4A0. (11) 如B'=0,新方程就成为缺少y项的二次方程 A'x240'y3+D'a'+E'y'+F=0. 这时(11)式就变为 -4A'C″=B2-4A0 又从(6)式和(11)武，说明在一般二元二次方程F(x, 》=0中，通过转轴(0<9<受)，得到新方程f(x,)=0, 它们的系数A,B,C分别变为A',B,C,但是A十C及 B2-4AC之值始终未变，所以我们称它们为二元二次方程 的不变式.通常是用H表示A+C,用△表示B2一4AC, 即 H=A十C=A'+C, 4-B2-4AC-B2-4AC 〔注意〕 1.以='+h,y=y十代入二元二次方程，通过移轴所得到的新方程的二次项系数不变，即原方程和新方程中的二次项系数完全相同，因此我们可以说，通过移轴或转 轴，A+C,B2-4AC的值都是不变的. 2.利用不变式H,可以作为检验一个方程经过转轴 变换后所得到的新方程的二次项系数是不是正确的一种方 法，因为A'+C”应当与A+0相等的.（但是我们要注意 即使A'+C”与A十C相等了，未必A',C就无错误。只 是因为这种方法运用简单，所以介绍于此，仅作参考.) 3.不变式人=B2-4AC与一元二次方程aac2+b十c=0的判别式=b2一4C的形式一样（性质不同），很容易记忆. •278· ==========第292页========== 1.证明A'-C=(A-0cos28+Bin20 练习 2.试从B=0,推到Bg9+2(A一C)g日一B=0,并解此方程求gθ的正值. 3.为什么说上题中g8的根(1)一定是实数；（②）一个是正，一个是负；(3)只要取正根而负根不合？ 4.通过转轴试证x2+2=x+y”,并说明它的几何意义. 2.一般二元二次方程类型的判定 利用上节不变式4，从一个含有匹，y的二次方程的系数而不需要变轴化简，就可以直接判定它是属于什么类型的曲线的方程，今分别叙述于下： 设所给的方程是 Aa2+Ba+Cy2+Da+Ey+F=0, (1) 其中B≠0，把坐标轴转过适当的角，使新方程中y的 系数B为0，从本节1中的第(2)式，就必须 -2(A-0)sin6 cos0+B(cos20-sin0)=0,即 -(A-C)3in28+Bc0s20=0, 即 ctg20=A-0① (2) B 所以9=子a心ctg4,0,就是说，两轴转过这样一个角度 后，新方程中就没有xy项了. 再从三角公式得 C0s28=·etg 20 A-0 ±W1+ctg320士√B+(A-O豆， 因为规定0<日<受，故0<26<，29在第I或第Ⅱ象限 ①用ctg20比用g29好，因为在A=C时，g20无意义，而ctg20=0,又以B是假定不为0的（否则就不用转轴了），所以cg28的值总可求得。 ·279· ==========第293页========== 内，c0s29与ctg20的符号相同. 又从三角公式推到 8in0= .-cos 20/1+c0s20 2c089= 由于0规定取锐角，所以gin0,cos0都是正值.把im9,cos9的值代入转轴公式 =x'cos6-y'sinb, ly-x'sin0+-ycos0 中，再代入原方程(1)中，就得到新方程 A'a340'y+D'a'+E'y+F=0 今有不变式-4A'C=B2-4AC, 所以 =-4A'C” (1)A≠0，就是一4A'C”≠0，也就是A',C均不是 0,从5·2节的结论，可知它是有心圆锥曲线 ①4<0即A'C>0,即A',C同号，它的图象是椭圆 型 ②4>0即A'C”<0,即A',C异号，它的图象是双曲 线型. (②)当4=0，就是-4A'C=0,也就是A',C必有 一个是0时，它的图象是抛物线型. 关于一般二元二次方程 Ax2+Bay+Cy2+DoEy+F=0, 所表示的曲线可以归结为下表： 条 件 类型 殷情形 特例（退化圆维曲线）1,点（点椭圆） 4+0 1<0椭圆型 椭 圆 2.无轨迹（虚椭圆） (有心圆锥曲线) 3>0 双曲线型 双曲线 两相交直线 小=0 1,两平行线 抛物线型 抛物线2,一直线（两条重合直线） (无心圆锥出线) 3.无轨迹（两虚直线） ●280。 ==========第294页========== 对于一般二元二次方程，只要根据=B3一4AC的值 为负为正或为0，就可以直接判定它是椭圆、双曲线或抛物线型的曲线方程.这些曲线都是圆锥截面所割成的曲线.所以二元二次方程所表示的曲线是圆锥曲线，因此我们称 代数的二元二次方程为圆锥曲线方程，又称1=B-4A0 为二元二次方程的判别式. 〔注意〕 1.圆锥曲线的特例也叫退化圆锥曲线， 2.从上面许多例题看来，一个代数的二元二次方程，经过轴的变换，这方程的系数有变动（有的为0了），但因为不论移轴或转轴，在它的变换公式中，原来的变数与新的变数（即x,y与x',)间的关系是一次对一次的变换，所以通过轴的变换，所得新方程的次数不会提高；当然也不会降 低（即最高次数项的系数不能全为O),因为假使降低了，那 从新方程反转变换过来（即还原到原方程），它的次数就要升高了，这是不合理的.所以 一个代数方程，通过移轴或转轴，它的次数是不变的。这是解析儿何中的一条重要的性质.正因为如此，所以曲线是以方程的次数来区别的，如 二元一次方程为直线，二元二次方程为圆锥曲线等.因此我 t这8=2 们也就叫直线为一次曲线，圆锥曲线为二次曲线了 例1 作4y-3x+4=0的图象. [解] 今=B2-4A0=43-4 图511 ×(-3)0=16>0,所以方程的图象是双曲线型.现在先转轴，设旋转角是9，则ctg28=4-C=-3-0==3 B 4 ◆281· ==========第295页========== 所以 o920--(o920与电20同号》. 1+3 sin 0-v1-c0s20 5 2 又 9 1-2√5 cos=/1+cos201 2 √6 代入转轴公式，得 2=w'c0s0-gin8=0-2 √5 y=a'sin 0+y'cos0-2x+ √5 代入原方程，得 4(2)-()-44(2m9-3xy-2y)_3(-4g+4y）=-4, 6 经过化简，可得 9-4y2=-4, 即 + 1 这是双曲线的标准方程，它的实轴长度是2，虚轴长度是4，焦点在y轴上，在新坐标系xOy中，两渐近线为x2 -4y2=0,即x'士2y=0. 例2 用转轴化简方程4a2+4acy+y2+6a-12则=0，并且描出它的图象. [解] 今4=4一44=0，它的图象是抛物线型，原方程是 (2+y)2+6x-12则=0. (1) ,'ctg28=40=4-1=3 B44 ◆282· ==========第296页========== 又 tg28=2tg0 1-tg20 2tg04 .1-g可8· 去分母 2g20+3g9-2=0, 即 (tg9+2)(2tg8-1)=0, ·g自=是(：0<9<费，.g>） 万c0s0=2 .sin0=_1 转轴公式是-2,y=+2， V5 W/5 又2%+gy==√5， √5 代入(1)式，得 (W6x)9+6.2x'-y -12.心+2义=0， √5 即，9-6√5 5y. 图5.12 它的图象是抛物线，顶点在原点，对称于则轴. 1.应用判别式决定圆锥曲线13ax2+10xy+13y=72的类型，并利 练习 用转轴消除项（不必猫图）. 2.cy=4,应用判别式先决定它的图象类型，再利用转轴消除y项化到它的标准型方程 3.利用转轴把x2-4y+4y2+12+6y=0化简，并描出它的图象. (第1题的新方程是9x”+4y=36,图形与5·4节例2相同，只是长轴合于y轴上.第2题的新方程是x一y2=8,第3题的 嘉方程是yP=-号√厅出，它的图形与本市例2相同，只是以2轴为对称轴，向心轴的负向伸展.) ●283◆ ==========第297页========== §5·5化简关于数字系数的一般 二元二次方程的实用方法 关于二元二次方程的化简方法在本章前几节里曾经举过许多例子.但一遇到转轴，在计算上就比较麻烦，并且容易发生错误.一般的二元二次方程（具有吧项）的化简是要经过移轴和转轴两个步骤的，那当然就更繁了.对于只具有数字系数的方程有没有比较简单的化简方法呢？又对于移轴和转轴两个步骤哪一个先做是比较适合呢？这是值得再深入一步讨论的.我们的原则是对于不同情况，应当采取不同的办法，上面所推导出来的公式应当尽量加以利用，使便于计算.现在把化简方法分类叙述于下： 1.对于有心圆锥曲线方程可以先行移轴再行转轴 就是以它的中心为新原点，通过移轴消去心，y的一次项，再行转轴消去它的y项.如在方程 Ax2+Ba+Cy2+-Dx+Eq+F=0 (1) 中，如果△≠0，则这方程是有心圆锥曲线的方程 设它的中心坐标是（飞，），以它作为新原点，用移轴公式 x='十h, y=y+k 代入方程(1)，得 A(+h)9+B(x+h)(y+)+C(y+)+D(x+h)+E(则+)+F=0, 即 Aac2+Baly+0+(2Ak+Bk+D)a+(Bh+2Ck+F) +(Ah2+Blk+0%2+Dh+Ek+F)=0 (2) ◆284· ==========第298页========== 因为（飞，）是这曲线的中心（就是对称中心），所以， ·则项系数（即一次项系数）应当等于零，就是 2Ah+Bk+D=0, (③) Bh+20k+=0 即 2Ah十Bk=-D, Bh+2C%=-E. 解这方程组，得飞，.以五，飞的值代入(2)式化简，则得新方程为 Ax”+Bax'y+Cy3+F=0. (4) 这里 E=Ah+Bhk4Ck21-Dh+Ek-1-F -号(24M+8跳+DA+(BA+20E+D)& +(Dh+Ek+2F)], 由(3)式就可以得 克(Di+E张+2F). (5) 观察(3)和(5)式，可以发现，h和飞的系数恰好分别与 一个三阶行列式 2A B D B 20 E D E 2F 里第一行第二行和第三行的元素相同.如（③）式关于h、飞的方程组中，第一个方程的每一项的系数和第二个方程的每一项的系数，依次是行列式里第一、第二行的元素，即 2Ah+B+D=0,し Bh+2Ck+E=0. (5)式中关于五、飞的每一项的系数依次是行列式里第三行的元素，但计算的结果必须除以2，即 ·285· ==========第299页========== F=(Dh+Ek+2的. 这个三阶行列式各元素的排列是很有规律的，只要把 二元二次方程的系数A、B、C、D、、F依次取(A)、(B, l 4 C)、(D,E,)排成为 B C 的形式，然后以主对角 DEF 线的元素A、C、F为轴，对称地补上三个元素B、D、E, A B D 成为BOE,最后，主对角线上的三个元素A、C、F DE F 都乘以2，即得上面介绍的三阶行列式. 利用上面介绍的(3)和(5)式进行转轴变换，求下列有心圆锥曲 练习 线的中心(，)和F的值 (1)2x2+4+5y2-4c-22+7=0;答：(-2,3)，-22. (2)2x2-7y+6y2-y-2=0; 答：(-7，-4)，0. (3)32-10cy+3y2+26c-22y+35=0.答：(-1,2)，0. 例1 化简22+4xy+5y2-4-22则+7=0并描它的图象. [解] 今1=B2-4A0=48-42.5=16-40=-24<0,可 知曲线为椭圆型. 假定它的中心是（亿，），从公式 2Ak+Bk+D=0, Bh+20k+=0, 4h+4k-4=0, 得 14h+10k-一22=0. 就是 「五+k=1, (1) (2h+5k=11, (2) 解得 h=-2,k=3, 就是说中心是(-2,3).今移轴，以(-2,3)为新原点，那 0286● ==========第300页========== 末新方程是 2c8+4x'则+5则a+F'=0. (3) 从公式 F-是(Dh+E6+2, 得 受ー4·(-2)+（ー2）-8+-14-2 (3)式方程就是 2a2+4x'y+5y2=22. 把轴转过角8，使 ctg20=40-2-5--3 B 4 则得新方程为 A'x9+C'y9=22. (4) A'+0”=A+C, 从不变式 -4A'C=B3-4AC, 得 o2洗 (6) (6) √/（⑤）+（⑥），得 A'-0”=±5。 之 g=受aree(- -3-210 123 图5·13 ·287◆ ==========第301页========== ∫A'=6, 10=1.(因B>0,则A'>C,所以只取一组值)① 所以(4)式为 618+y"9=22, 就是 11221. 3 这是椭胸方程，a=V②=47，-√写≈1.0，熊点右创 轴上（图513）. 例2 作方程3a2-10w则+3y+26m-22y+35=0的图象. [解] 今4=（-10)9-4.3.3=100-36>0，可知曲线是双曲线型，把原点移到（亿，）作为新原点，由公式 2Ah÷Bk+D=0, Bh+20+=0, 得 6h-10k+26=0, -3 1-10h+6k-22=0, 2 就是 0123 3h-5k=-13, (1) 5h-3k=-11, (2) 解得h=-1,k=2. 图5.14 以（一1,2）为新原点，通过移轴得新方程 39-10x'y+3y+=0. (3) ①从5.4节，A-C'=(A-C)co28+Bsin28, 今 ctg28=(4-C)/B,0≤28C时，如B>0,则ctg29>0,cos28>0,又sim20>0故A>C';如B<0,则ctg2e<0,co82B<0,又sin29>0故A'0,则ctg29<0,cos20<0,又in29>0故A'>C";如B<0,则ctg20>0,cos26>0,又sin28>0故A0时A'>C,B<0时A'0时，A'>O;B<0时，A'1时，它的轨迹是双曲线（因为2,2的系数符号相反) 又在本节中所定义的 焦点F,离心率6，与第 N 四章所定义的是完全一致的.再在第四章里，我们知道抛物线有准线，读了本节可知焦点、推线等是 图5.17 一般圆锥曲线所具有的共同性质，就是说椭圆和双曲线都有准线.根据对称性质可知，有心圆锥曲线有两个焦点；相应地，椭圆和双曲线也各有两条准线、例1 求椭圆器+二-1的淮线方程 [解] 在图5·17中，设准线D'N'的方程是 ·295● ==========第309页========== 优=入， 令D,A',F1的坐标分别是D(,0),A'(-a,0),1(-c,0),所以 A'F1=-c-(-a)=a-0,DA'=-a-入. 因为 F=6 DA (使A'F,DA'方向相同)， .A'F1=6D'A),即a-c=6(-a-), ..λ=-0 即准线DN'的方程是 (.'ga=c). 根据对称性质，它还有一条准线是 (-) *例2 在方程(1-8)0+y2-2px+p=0中，当6<1时，已知它是椭圆方程了，它所定义的焦点及离心率和第四章所定义的是一致的，试证明它.[证] 今以淮线为纵轴，焦点是F(p,O),当01-82)，所以得到 09 メ39 其中 (1-699,9-92p3a-- ep 1-3, 所以 c2=a2-b2=64D2 (1-831 。 62p 1-82· 故这椭圆的两焦点对新坐标系的坐标是 (-이，()。 用F1的坐标代入(1)式，则F1对原坐标系的坐标是 则=0 这就说明根据第四章所定义椭圆的焦点与本节所定义的是 一致的 其他一个焦点F对于原坐标系说，它的坐标是 (는2 N 又如第四章规定离心率为 (设음-)，则 d'=c= 1-6=6. 4oDA F a1-8· 这也就说明根据第四章所定义椭圆的离心率与本节所定义的是一致的 图518 〔注意) 1.照例2同样的方法，可以推证第四章与本节对于双 ·297· ·正啡 ==========第311页========== 曲线或抛物线的焦点、离心率的定义也都是一致的. 2.用与例1同样的方法，可以求到双曲线的两条准线也是 (见图5·18) 3.在椭圆中（图5·17），假使P点在B处，从1FB引 :BH=a:OD'|,更容易求到准线的方程.据上所述，在圆锥曲线的统一轨迹方程 (1-62)x2+y2-2gpc+p2=0 中，它所表示的曲线可以归结如下表的内容： e=1 FP引=NP 抛物线 顶点在（空，0 只有一个 只有…条 焦点 准线 e<1FPI1 FP>NPI双曲线中心在(”e〉有两个焦点有二条准线 下面是圆锥曲线方程的各个相应准线方程：曲线方程 准线方程 y2=2pa =号 a2 =1 =士=0 a2=2py 2 =1 e 例8 写出下列各圆锥曲线的准线： (1)2y2+5心=0； (2)5x2+3y2=15; (3)-9x2+4y2-36=0. [解] (④g一，它的焦点在x轴上，今卫”，张日向 ●298· ==========第312页========== 左，所以准线是一点 +贮-1，今a=√万，名=√，焦点在y轴 上，c=√a-=√2，又准线是 士-士号z()-무용-고，：， =，6-2， 9 √⑧，所以推线是y-±3√露.例4 一椭圆，已知它的中心在原点，又两焦点间的距离是 4√5，两准线方程是。一土骨√区，求它的方程. [解] 因为2c=4√3，所以c=2√3，焦点在y轴上，又 용-，-16 b3=a9-c2=16-12=4, 因此这椭圆的方程是， +器-1 3 例5 证明过抛物线的一个焦点半径的端点的切线，与过焦点且垂直这焦点半径的直线相交于这抛物线的准线上[证] 设抛物线方程是2=2心，又设FP是一个焦点半径， 再设P点的坐标是(1,1)， 则过P点的切线是 y1y=p(x+1). (1) ·FP的斜率是 P(1,1 kpp=-1 2y1 号 201-p F(号) 过F作FQ⊥FP,交过P 点的切线于Q点，用点斜式 图519 ·299● ==========第313页========== 可求得FQ的方程是 g-22(。-.2y1 就是 2yg=-(2-p）t+号(21-p）. (2) 由(1)，(2)，得 2p(e-+a)--(a:-pa+rr-를就是 +2)x=-号p+2, =- 2 (因P点的横坐标不会等于-号，所以2+”≠0.) 这就是Q点的横坐标，所以说Q点在这抛物线的准线上 (因为准线方程是：=一号). 例6 卫知P是椭圆答+长-1o>>0上的点，4、， 是椭圆的焦点.分别求当PF1和PF:之积取最大和 最小值时P点的坐标，最大值和最小值各是多少？ [解] 设P(,)是椭圆上的一 点准线为一二，离心率为。 P(a, -:|PQ!为点P到准线的距 离.根据圆锥曲线的定义，得 PFsL-e, P 图520 IP=용-이--여l 00，所以当x=0,P点的坐标为(0，b)或(0，b)时，|PF·PF2=a2为最大值； 又因为1x≤a,所以当x=士a,P点的坐标为(a,0)或(-a,0)时，PF1PF2=a2-ga2=a2-c2=b2为最小值. 练习 1.6r士=3的准线方程他可写成4一士名，为什么？ 2,写出下列圆锥曲线的准线方程： (1)y2=7U; (2)2=-7y; (3)4x2+9y2-36=0; 答-士号V5 (4)9x2+4y2-36=0; 9 答g=土后V5. (5)9x2-4y2-36=0; 4 答：=士菇V区. (6)9x2-4y2+36=0. 9 答：g=±gVB. 习题 1.求下列圆锥曲线的焦点、离心率及准线方程： 56 ()=2p(+号)方 (2)4(x-3)2+9(y+2)2=36; (3)4(x-3)2-9(y+2)2+36=0 2.在方程(1-e2)x2+y2-2x+p2=0中，以它的焦点(2,0)为新原点进行移轴，证明新方程是 （1-e2)x2+y2-2e2px-g2p2=0. 3.在+~1中一끊·推到准NPI 和1的方程是x=士g(见图517). [提示：如图5·17,1FP|=eP1,1F2P引=e{NP| .1P{+I2P|=e{N'P|+e|NP|, ·301· ==========第315页========== 即 2a=e[210D1], 0n1--号…1 4,照本节例1的方法，试推出双围线云-普-1的准线池是 又你能不能照第3题的方法推出来？ 5.写出抛物线方程，已知 (1)焦点在(3,0)，准线是x=一3； (2)顶点在(1,1)，准线是y+2=0; (⊙)盒点在，-），准线是-子 6,写出下列有心圆锥曲线方程，已知 (1)椭圆：焦点在(2,0)，(-2,0)，一条准线是=4.5； ②)双曲纹实轴长是6，一条准线是号，中心在(-3，；(3双曲线：商近线是30士纱-0，准线是g-土9.?.经过抛物线的一个焦点半径的端点作它的切线，证明它和准线的交点与焦点的连线必垂直于这焦点半径. [提示：设抛物线方程是y2=2px,(2p2,2p)是抛物线上的一点.] 8.在抛物线中，经过通径的两端作切线，证明它们的交点在准线~上 [提示：设抛物线方程是y2=2px,则过焦点又垂直于轴的弦的端点是 ()(,- 通径是过焦点又垂直于抛物线轴的弦.] 9.证明a+y=的图形是抛物线的一部分. 10.设P1(c1,h)为y2=2px上的一点，从焦点向过P1点的切线作 垂线，证明这垂线与过P1点而平行于抛物线对称轴的直线相 交于准线上， ,●302。 ==========第316页========== §5·7圆锥曲线系 在一个二元二次方程中，如果它包含一个不定的常数，就是说这常数的值我们可以任意给的，这样对于每一个值，它就表示一条圆锥曲线，但是这许多曲线都具有某一种共同的性质，所以我们叫它们为圆锥曲线系. 对于曲线系的名称，我们是不陌生的，在直线里及圆里已经接触过多次了，如 y=3a+k, (1D A1+B1y+C1+入(Ac+B则+C2)=0, (2) C'(,y）+元(c,)=0 (3) 等等.(1)式表示具有相同斜率“3”的一组平行线系；(2)式 表示过两直线A1+B1则+01=0和A心十B则+C2=0的 交点的直线束；(3)式表示过圆C:心2+y2+D十y十F=0 和直线1：A心十B则+C=0的交点的圆系. 现在我们来讨论常见的几种圆锥曲线系，举例如下： 例1 讨论一y=k的图象.9 [解] 原方程即一=1，它是双曲线型方程，中心在 (0,0),对称轴是两坐标轴，当 (①)>0时，曲线是双曲线，焦点在c轴上. (2)飞=0时为两相交线，就是这许多双曲线的公共渐近线，就是3x士4=0. (3)<0时也是双曲线，焦点在y轴上， 所以这方程所表示的曲线是双曲线系（图5·21），它有 (1)同一中心； (2)相同的对称轴； (3)>0,焦点在心轴上，k<0,焦点在y轴上； ·3030 ==========第317页========== K=-9 K=一 4 图5.21 (4)有相同的渐近线. 图上的图形是当飞=16,9,4,1,0，-1，-4，一9时画出的 例2 讨论5+=1的图象。 [解] 设k≠25，k≠9，则 (9-k)2+(25-)y2=(25-(9-). (1) 它是有心圆锥曲线型方程，中心在(0,0)，对称轴是两坐标轴，当 (1)k<9时，它的图象是椭圆，因为c2=2一-b=(25 -)-(9-)=16=4,所以焦点是F1(-4,0)和F2(4, 0). (2)k→9时，从上面(1)式看到它是y=0,退化为一直线即化轴 (3)9<飞<25时，图象是双曲线，因25-k>0,9一k<0,故c2=a2+b=(25-k)+(k-9)=16,所以焦点是 F(-4,0),F(4,0),它与椭圆的焦点相同. (4)-→25时，从上面(1)式看到它是2=0，退化为一直线即则轴. (5)k>25时，则25-k<0,9-k<0,方程无实数解， ●304● ==========第318页========== 所以方程无轨迹. 从以上的讨论可以知道原方程所表示的图象是有心圆锥曲线系（椭圆或双曲线，图5·22)，它具有： (1)同一中心； (2)同一的对称 轴； (3)相同焦点所以我们称它为同焦点有心圆锥曲线系， 例3 已知二次方程ax3+bx+c=0(a,b,c为 图522 实数，a≠O)的判别式的值等于1，二根之积等于K.若以(b,©)为点P的坐标，求点P的轨迹，并作出表示点P的轨迹的图形. [解] 因为(b,c)作为点P的坐标，故必须求出关于b和0的函数解析式，然后在坐标系Oc中作出方程f(b,c)=0的图形 设1,2是方程的两个根，依题意，有 0・2=K,4=1,a≠0 就是 용-K, ~-4a-1. (1)当K≠0时，从上面两式中消去a,得 b9、4c3 =1, 就是 当K>0时，点P(b,c)的轨迹是双曲线（其图形如图 5·23所示，图中K=4) ·305· ==========第319页========== K=-16 K=-4 K=-1 0 图5.23 当K<0时，方程变成 09+c2、1， 4 点P(b,C)的轨迹是椭圆(<一4，焦点在c轴上，一4<飞<0,焦点在b轴上，K=一4，是圆，其图形如图6·23所 示，图中K=-16,-1,-4). (2)当=0时，c=0,则 6=1,b=+1. P(b,c)表示的是两点(1,0)和(-1,0).例4 设方程f1(,y）=0和f2(x,y)=0的次数不超过二次，如果它们的曲线有交点，那么，对于实数入，方程 f(,y)+f3(,y)=0 表示过两曲线交点的曲线系方程。证明这个结论，并用它求过两直线1：心-y=0,2:x+y-4=0和圆0：x2+y -4x一2y一4=0的四个交点的抛物线方程.[解] 设Po(o,o)是两曲线f(化，y)=0和f(x,y)=0的 一个交点，那么f1(o,o)=0,f(o,0)=0.于是对于实数，都有 f1(co,Vo)+Af3(xo,40)=0. 这说明曲线f1(,y)+入fa(心，y)=0过点P.对于入的不◆306· ==========第320页========== 同取值，f1(,y)十入f(,)=0表示过两曲线交点的不同曲线 由两直线1：一y=0,2:x+y一4=0，可知二次方程(一y)(十y-4)=0也表示这对直线1和2.根据上述 结论，设过1、12和圆C的四个交点的曲线系方程为 (x-y)(+y-4)+入(2+y-4x-2gy-4)=0[或(2+y2-4x-2y-4)+入(-)(x+y-4)=0],整理后得 (+1)x2+(-1)y2-4(1+1)花-2（入-2）y-4元=0.这是一个二元二次方程，表示抛物线的条件是小=0，即0-4(入+1)（λ-1）=0， λ=士1. 因此所求的抛物线为 (x-2)2=-(y-6) 或y2-3y-2=0(退缩为两平行直线) 图524 例5 求过A(1,-1),B(2,3),0(2,-5),D(5,7),E (-2,一9)五点的圆锥曲线的方程.[解] 可以用两种方法解这个问题：(一)设所求的圆锥曲线的方程为 ax2+by+cy+do-ey+f=0 (1) 把五点的坐标分别代入(1)，得方程组 a-b+c+d-6+f=0,4a+6b+9c+2d-+3e+f=0,4a-106+25c+2d-56+f=0,25a+35b+49c+5d+78+f=0,4a+18b+81c-2d-98+f=0. 就b解这方程组，得 ·307。. :i. ==========第321页========== g=-2b,c=-4b,d=可6， -푸，/-1 ·代入(1)式化简，即得所求的圆锥曲线的方程 28x2-14y+y-114x+30y+101=0. (二)记过A、B两点的直线为Z4B(x,y)=0(即4一y -5=0), 同理： B0(,y)=0(即x-2=0),lcD(a,y)=0(即4c-y-13=0),n4(x,y)=0(即2x-y-3=0). 与例4相同，我们可以证明过A、B、C、D四点的圆 锥曲线系方程为 AB(,y)·leD(x,y)+·lc(x,y)·DA(,y)=0,(2)就是 (4x-y5)(4 -y-13)+(-2)(2a—y-3)=0. (3) (3)式是一个二元二次方程，它过点(-2，-9)，所以 (-4)-(-12)+(-4)・(2)=0， 入=6， 把入=6代入(3)式化简，即得过五已知点的圆锥曲线的方程为 28.x2-14c+y2-114x+30y+101=0. 〔注意) 过A、B、C、D四点的圆锥曲线系的方程(2)的形式 不是唯一的，因为过四点中的任意两点的直线有各种不同的组合方法，因此我们只要使(2)式左边的各项分别都含有 A、B、C、D四点就可以了，如设过A、B、C、D四点的曲 线系方程为aC(,y)·lD(x,y)十入lcB(心，y)AD(,y)=0也可以得到同样的结果。 ·308· ==========第322页========== 1.求下列各题的圆锥曲线方程，已知它分别经过五点： 练习 (1)(1,1),(-1,5),(2,4),(0,3),(3,1): 答：6.x2+5y+y2-29x-13+30=0. (②)(0，a),(a,0),(0,-a),(-a,0),(,a). 答：x2-y+y2-a2=0. 2.求一抛物线的方程，已知它经过四点(1，一1)，(2,3)，(2，一5)，(5,7). 答：y2-16xc+-2y+17=0, 或两平行线4c-y-5=0,4x一y-13=0. 本章提要 1.对于同一点或同一条曲线在不同的坐标系中，点的坐标或曲线的方程是不同的.因此可以利用坐标轴的平移或旋转（或既平移又旋转）使坐标轴置于圆锥曲线的对称轴上，原点置于图形的对称中心或顶点上，将曲线的一般方程化成标准方程，以利于对曲线的性质进行研究。坐标变换是化简方程、研究曲线的重要工具 对于一般的二元二次方程 Aa2+Bay+Cy+Dx+Ey+F=0, (1)若B=0,利用坐标轴的平移就可以把它化成标 准方程. (2)若B≠0，先利用判别式 才=B2-4AC 判别曲线的类型.是有心圆锥曲线型时，先移轴再转轴；是无心圆锥曲线型时，则先转轴再移轴.经过这样的变换，就可以把圆锥曲线的一般方程化成标准方程（具体方法和步骤如§5·5所述). 2.第四章里，我们曾分别给椭圆、双曲线和抛物线下过定义。在学习坐标轴的变换后，我们又给圆锥曲线下了 ·309· ==========第323页========== 一个统一的定义，并由此导出圆锥曲线的统一方程.·从统 一方程中，我们可以根据6<1,6=1，e>1来认识它是属于什么曲线型.因此我们必须理解圆锥曲线的各自定义和统 一定义是等价的.前者是为了对圆锥曲线的几何性质进行深入的研究，这样做，对自学有利.后者是为了使自学的同志了解圆锥曲线的统一性，以加深对圆锥曲线的认识和理解。 复习题五A 1.用移轴法化简方程： (1-e2)x2+y2一2pxc+p2=0. 当=Y (2)当e=1时， 2.用移轴法化简下列方程，并作它们的图： (1)'y=asin(+); (2)y=asinx+k 3.求42+9y+8x一36+4=0的中心、离心率、焦点和准线方、程。 4.求9c2-4y2-54c一32则一19=0的中心、离心率、焦点、准线和渐近线方程。 5.求抛物线y2-5c+6y-1=0的顶点、焦点、轴和准线方程。 6.利用轴的变换作方程 2-6V3y-5y2+(2+12V/3)x+(20-6V3)y -15+12V3=0 的图象 7、证明下列各方程的轨迹都是圆锥曲线的特例，并且说明它们各自的图象： (1)）c2-6cy+9y2+4x-12y+4=0: (2)1.4c2-4xy+11y-88ac+34y+149=0; (3)9x2+242y+162y2-36x-481+61=0; (4)2+3ay-3y2+6x+9y+9=0. 8.写出下列圆锥曲线的方程 0810• ==========第324页========== (1)椭圆：长轴的两端是(，一)，（一3，一），又一个焦点在(V3kーh, -k); ②双曲线它的中心是(-1,2，离心率是1，实轴平行于 轴，它的长是4； (3)抛物线：它的焦点在原点，准线是x+k=0. 9.通过移轴或转轴，证明两点间的距离公式是不变式。 10.讨论下列各曲线系的性质，并照给出飞的值作图： (1)(xー)2+(y-i)2≈h2 (li=1, -1, 2,-2); ②需+号=k-4,21,量司为 (3)2=2x(6=-1,1,-4,4); (4)y=形(=-4，-1,0,1,4)5 (5)x2+y2-16+(x2-y2-4)=0 (=0,1, -1,3,-4,-5,-)0825+”g-1-2,26,18,10:9-9=1(k=29,26,0,5,8). (7)6-25-k-9 复习题五B 1.说明下列坐标变换是哪一种变换（旋转角0∈[0,2m)). g=就'+3， + (1) (2) y=y-2; J--V3x41 2 父=， 1-竖--3，2 (3) (4) y=一C; y=x+竖y+2.2 2.(1)将坐标轴旋转u角，求直线a cosa-+yina一p=0的新方 程； (②)经过转轴变换，证明方程2+y=2的形式不变 ·311◆ ==========第325页========== 3.在方程2c2+wy+22-7g+vy+3=0中，选择系数u和v的 一组值，使方程的曲线为一对平行直线 4.坐标轴旋转多大的角度时，才能使点M(1,2+√3)在新坐标 系中的横坐标和纵坐标相同，并求出点M在新坐标系中的坐标， 5.求以x=1和y=1为渐近线，并且经过点(2,2)的双曲线. 6.椭圆和双曲线的中心在原点，有公共准线y=士4，它们的离心率之差为1，直线4c士3y=0是双曲线的渐近线，求椭圆和双曲线的方程和离心率 7。已知椭题的离心率g=子，一焦点为3，O),和P相应的准线 为+y1=0,求椭圆的方程，并通过坐标变换把它化成标准方程。 8.已知动点P和定点A(一4，O)和B(4,0)的连线的斜率成反 比，求点P的轨迹方程，并且讨论和作出表示其轨迹的图形、 [提示：设kP4krB=K(K为不等于零的任意常数)，得 .16x=1,就>0，K<0进行讨论.门x2 y2 9.有相同的准线和轴的两抛物线相交于P1和P2两点，其中一抛 物线的顶点为A,焦点为F.另一抛 物线的顶点在F上.作P1M垂直于 准线，垂足为I,连结AP1和AM, P 试证 1AP112=4}A·AM. 10. 已知方程组í2+y2-y=0,aw3+bay+r=0有、且 仅有三组不同的实数解，试求 (1)实数系数a和b所满足的条件： (第9题) (2)将(a,b)作为坐标系aOb上点的坐标，画出满足上述条件的 点的轨迹 第五章测验题 1.把坐标原点移至0（会，0处，求直线2x+到-3=0在新坐标 ●812• ==========第326页========== 系'O'y中的方程 2.将坐标轴旋转多大的角度时， (1)点M(1,2)的新坐标是(2,1)； (2)点A(2,0)在新坐标系中的两个坐标相同？ 3.已知方程x2+2ry-y一2入x+4y+1=0(入是任意常数)， (1)判别方程的曲线的类型； (2)求曲线的中心的轨迹 4.试证are tga+are ctgy=w所表示的曲线是等边双曲线，并通过转轴变换，求它的标准方程。 5.双曲线的中心在原点，实轴在优轴上，它的两条准线将焦距三 等分，又双曲线过点P(12,16).求双曲线方程，离心率和准 线 6.求抛物线2y2+5x+12y+13=0的焦点坐标和准线方程，并作图. 7.4、B,C是梢圆+-1上横坐标成等差数列的三个点，F 是椭圆的一个焦点，试证{AF、BF|和1CF也成等差数列. 8.讨论方程Kx2+y=4所表示的曲线，并作出表示曲线系的草图 9.已知方程x2-4轨c+4y+8入-12=0. (1)证明：无论入取何实数，方程的曲线都是过一定点的抛物 线，并求出这个定点： (2)求各抛物线的顶点的轨迹方程 10.直线11过点P1(4,0),2过点P2(0,4),已知的初始位置与 P1P重合，而且飞1L.若1绕点P1按反时针方向旋转角9， 12同时绕点P2按顺时针方向亦旋转角日求11和2交点的轨 迹的方程，并把所求的轨迹方程化为标准形式。 日 3 ●813· ==========第327页========== 参数方程 参数和参数方程在解答某些数学问题时起着很大的作用.。参数方程的引入，大大丰富了我们的解题方法.因此在学习这章时，希望能注意做到下面几点： 1.理解参数方程中参数的几何或物理意义（如果它具有的话)，学会把参数方程化为普通方程和把普通方程化为参数方程的方法，并学会作参数方程的图形. 2.学会选择适当的参数求点的轨迹的参数方程 3.学会应用参数方程研究几何图形（曲线）的性质 §61参数方程 对有些几何轨迹问题，在应用直角坐标系求它的方程时，由于曲线上一点的两个坐标花，y的直接关系难于找到，因此方程就不易求出，我们可以适当地引进一个与心，y都有关系的辅助变数，通过它作媒介，求得,y的间接关系，即心，y对于这同一辅助变数的函数式，同样地可以解决这轨迹问题.。先看下面的例题。 例1 一个长为2a的刚体 图61 棒，两端各在固定的两根互相垂直的杆上滑动，求这棒中点 ●3140 ==========第328页========== 的轨迹 [解] 图上AB代表这根刚体棒，长是2a,它的中点是P,则BP=PA|=a.把两根垂直杆作为坐标轴，假定A在c轴上，B在y轴上滑动.设P的坐标是(，y),又设 ∠OAB=中，由于AB在滑动时的不同位置，相应地中就有 各种不同数值.作NP⊥于y轴，MP⊥c轴，则∠NPB ∠OAB=中，所以 -OM-NP-BP coS,y-ON-MP-PA]sin. ∫x=aCos中， 就是 ly=a sino, 这就是所求P点轨迹的参数方程. 例2 一物体与地面成一定的倾角“向前射出，初速为o米/秒.求此物体在空间所运行的途径的方程①[解] 物体射出后，根据牛顿运动定律，假使无其他外力干扰，它朝着一定方向以匀速作直线运动.但在地球上它受到地球引力作用，所以它运动的路 P(,y) 线就不是直线了. 设发射点在地面，以它为坐标的原点，又设包含物体运行路线的垂直平面与地面的相交 图6.2 线为：轴，当然y轴是在垂直平面上而与地面垂直 图上OG表示物体抛射的方向，它与地面成倾角&，按 照物理学规定，凡是斜向上抛的物体，它的运动是由两种运动所合成的，一种是抛射的定向匀速直线运动，一种是地球 ①物理学上叫它抛射线或叫弹道。 0315● ==========第329页========== 引力所生的向下自由落体运动.物体射出经过t秒之后，如无外力干扰，它是照着OG直线运动经过ot距离到达Q 点，但以地球引力拉它向下到达P点，所以物体实际上所 运行的路线（不计空气的阻力）是一条曲线(OPA), 设P点的坐标是(，y),按照图上 x=OM, y-MP=MQ-PQ 但 OQ=vot, OM=0Q cos a=vot cos a,MQ=00 sin a=vot sina, 又 (这表示自由落体经过t秒后下落的距离，其中9米/秒”是重力加速度)，由此可得 a=vot COS & 1 y=2心0tsin&-29t. 这方程组所表示的曲线，就是本题所求物体抛射在空间所运行的路线， 从上面两个例子看来，求一轨迹方程，有时可以引入一个辅助新变数，在例1为一个角的量“中”，在例2为时间的量“”，独立地表示它与x及y的关系，使c,y分别是同一个新变数的函数，它的形式如（假使辅助变数是） ∫=f(), ly=fa(t). 在这方程组中，对于t的同一个数值，所得到相应的,则数值是曲线上一点的坐标.由于t的数值变动，相应地一点的坐标也跟着变动，也就是这一点沿着一定的曲线移动.因此叫这方程组是这曲线的参变数方程（简称参数 ◆8t6· ==========第330页========== 方程)。称为参变数（简称参数）. 在有些几何轨迹问题和物理学（尤其是力学）中，经常是利用参数以求方程的. §6·2将参数方程化为普通方程 在参数方程 x=f1(), (1) Ly=f2(t) 中，设法消去参数卡就得到关于伍、y的方程 F(,y)=0. (2) 相对于参数方程面言，我们称方程(2)为参数方程(1)的普通方程.对于同一个值代入()，可得对应的一对实数,y(一点的坐标)的值，把它们代入(2)式，也必然适合.所以(1)式的图象与(2).式的图象一般是一致的（个别情况有时不一致，见§6.4例3).消去参数方程中的参数从而求得它的普通方程的方法叫做消去法。 消去参数的方法是多种多样的.但常用的是两种基本方法，一是代入消去法，一是利用三角恒等式（如mx+c0s2&=1,Sec2c-g2a=1,tg a.ctga=1…等)的消去法。如果方程比较复杂，消去参数就无通法可循，必须运用代数和三角的综合知识以及恒等变形的技能技巧才能达到消去参数的目的 请看下面例题： 例1 消去下列各参数方程中的参数（无、中是参数）： =光-1， x=2, (1) (2) y-t2+2t-8; y=2; ft=ac09中， x=48e0p-3, (3) (4) y=b sini y=5g中+1. 、317· ==========第331页========== [解] (1)从第一式得=心十1，代入第二式并化简得 y=2+4x-5. (②)从第一、第二式得=受和积一是，可得()-()，就是=受 (3)从第一、第二式得 =cos中，号=sin中， e 上面两式平方相加，得 化91. (4)从第一、第二式得 心+3 4 =e0中，1=g中， 5 上面两式平方相减，得 (a+3)2-y-1)”-=1. 16 25 例2 在上节例2中求它的普通方程（即消去）。 [解] 从第一式得 化 t=Uo coSa 代入第二式化简得 则=tgc%一99 2'c0s2a6· 可见它的图象是抛物线 上式当y=0时解的值，则除1=0外，还有 =2号sin2a g 它是物体的落地点与射出点间的距离，一般叫它射程。例3 设曲线的参数方程(0为参数)为 ◆318◆ ==========第332页========== a-cos 30+sin 30, (1) y=c0s6-sin0。 (2) 求它的普通方程[解] .·c0s30=4c0s30-3c090,sin 30-3 sin 0-4 sin30, 所以 x=4(c0g30-sin30)-3(c0s0-sin0)=4(cos0-sin0)(1+sin0 cos6) -3(c0s0-sin08) -(cos6-sin0)(1+4 sin0 cos). (3) 由(2)的平方得 =1-2 sin6 cos0, 所以 sind cos (④) 以(2)和（④）代入(3)，即得 c=y(3-2gy), 就是 x-3y-+2y=0. 消去下列各参数方程中的参数（花，中，P是参数）： 练习 c=2p2, I=aC0S中， x=a see, (1) (2) (3) ly=2pt; y=6 seco; ly=bigp; [=x14-p cosa, c=1十aC0sp, (4) (⑤) ty=v1+p sina; ly=y1十asip (6)J=a$ec中-rg中， y=bsec中+ytg: a-bct8电， 2 (T) = b一atg中 2 ◆319•. ==========第333页========== §6·3描绘参数方程的图象 从参数方程描它的图象，首先列一个表，就是说在允许值范围内先给参数（如）一系列的值，分别计算对应于同一个t值的一组无，y的值，作为一个点的坐标，在直角坐标系中定出各点的位置，然后顺次平滑地连结各点，就可描出它的曲线.举例如下：例1 描绘下面参数方程的图象： x=2#, 则=2t. [解] 列表： 垃 士1 ☆3 2 士 0.5 2 4.5 co y 0 ±0.3 士2 土7 士16 土∞ i 图63 这方程的图象如图6·3，它是半立方抛物线。 如消去参数，它的普通方程是 ●320· ==========第334页========== (见上节例1(2) 例2 作下式的图象： c-3 cosy=2sim中. [解] 列表： 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 3 2.6 1.5 0 -1.5-2.6 -3 -2.6ー1.5 0 0 1 1.7 2 1.7 1 0 -1.7 -2 图64 消去参数得到它的普通方程（见上节例1(3）)是 폭-고 §6·4将普通方程化为参数方程 有些较复杂的方程，要描绘它的图象比较困难。但若引入一个适当的参数并把它化为参数方程后，它的图象就不难作出. 下面举几个将普通方程化为参数方程的例子。 例1 描出方程a8+y3一3axg=0的轨迹. ●321● ==========第335页========== 解] 这方程中，y的最高次数都是三次.设定了的值很难求出和它对应的y的值，但若令 y=(过原点的直线)， (1) 代入原式得 3+8-3atx2=0, (2) 就是 x2[(1+)cーSat]=0. 除c=0,y=0外，可得它的参数方程 Bat 1+, Bat Bat 1+8,以 1+代(1)式的) 列表： -5 -3 -2 -1 0 1 2 e 3 2 00 1 9 6 2312 54 24264a 00 0 a 3 8 8a a7 2 75 9 12 0 3 2 27 6 187 a oo 124 13 2 3 28 a 1g a 它的图象叫做柳叶线（图6·5(1）). (,) (1) (2) 图6.5 〔注意〕 解题思想是这样的：因为y=c是过原点的直线，它 与曲线除原点外，一定还有一个交点P(图6·5（②）)，而且 ·322◆ ==========第336页========== 只能有一个交点.这是因为则=龙是一次的，方程(2)是三次的，解由(1)和(2)组成的方程组应有三组解.就是说，直线和曲线应有三个交点，但由解的过程看，=0，得y=0, 说明原点O是一个二重交点，故除原点外直线与曲线只能 有一个交点，并且这点的坐标分别都是参数t的函数，即∫=f1(),由此可见t和交点P有着一一对应的关系，y=f3(t). 给t以不同的值，便可得到对应的P点的坐标(，y),于是方程的图象变得容易作了.例2 描出方程y2(2a-x)=x3的轨迹。 [解] 令 斐=t蛇 (1) 代入原方程得 t2(2a-c)=x3, 即 x2(1+t2)c-2at2]=0. 除化=0，y=0外，得 2at 1+ 2at =1+护·(以：代入(1)式) (2) 列表： t 0 士1 土2 士3 ±7 0 1.6a 1.8a 1.9a 土a ±3.2a ±5.4a 士13.3a 当t→土∞，心→2a,同时y→土∞，它的图象叫做蔓叶线（见图66）. 323· ==========第337页========== 在直角坐标系的方程中引入参数化为参数方程时，方法是多种多样的，因而它的参数方程也可有多种形式。怎样得到一个简单而又便于作图的方程，是无一定法则可以遵循的.有时可以先假定心=f1(),代入式中求到y=f2()，或则令y=+(k为常数)代入原式求心=f()，再设法求 图6.6 y=于().方法很多，不可能一一列举，今只举儿个简单例子如下， 例3 化椭图方程号+驾-1为叁数方程4 [解] 第一法：令心=3cos中，代入原方程，得 cos+军=1， 即 y=1-co82d=in中， ∴.y=2sin中(取正号)。 由此可得参数方程 =3c0s中， (1) ly=2sim中. 参数是中，它是椭圆的离心角（参考4·8节）. 〔注意) 1.令x=3cs中，主要是使方程中号这一项的分母 变为1，求对应的y值就简单多了. 〔花=3c08中， 2.上面如取y=一2sin中，那么 也是 y=-2in中 该椭圆的参数方程。 第二法：令 y=tな+2， (A) ●324· ==========第338页========== 代入原方程，得 (4+92)x2+36tx=0. 除=0，y=土2外，得 36t 4+92” 8-18t (2) tW=492· 将-36t 4+95代(A)式的) 这也是椭圆 一=1的参数方程，参数是。4 例4 将y=1+22化为参数方程。 [解] 第一法：令x=C0s中，则 y=1+2c0s2中=2+(2c0s2中-1)=2+c0s2中做得参数方程为 花=C0sp, Ly=2-+c0s2功. 第二法：令y=+1,代入原方程，得 =23, 除化=0，则=1外，得参数方程为 2 2 y2+1 图67 〔注意〕 方程y=1+2为一抛物线，曲线在第I和第1I象限内无限伸展.但在第一法的参数方程中， |x≤1,1≤y≤3 却是抛物线的一段.而第二法的参数方程中，却无这种限制.因此在引入参数时应尽可能避免出现第一法的情况。从例3和例4可以看出，曲线的参数方程的形式不是唯一 。325。 ==========第339页========== 的.但参数选择得恰当与否，直接影响参数方程的繁简，这点应引起充分注意， 1.描出下列各参数方程的图象(，中是参数)： 练习 x=C0s中， x=5C0S0+2, (①) (2) y=sin d; y=2sinΦ-3； 「x=t, r优=2， (3)(y=2-t: (4)v-2 Le, (⑤) . yて 2.根据所给的条件，把下面方程化成参数方程（Θ、t是参数），并描出它的图象 (1)4x2+y2=16,c=2c0s0; 答：y=4sin6,椭圆， (2)y=2c2-1,y=tc-1, 管答=京抛物线， §65直线和圆锥曲线的参数方程 1。直线的参数方程 设点P1(1,y1)是直线1上一个定点，？的倾角为， P(,)是这条直线上的任意一 点.那末这直线的点斜式方程是 y-y1=k(-1), (1) 以P(,) P(x4,y1) 而 ke=tg a=sin a C0Sx’ 代入(1)式，得 图6,8 一到1三化二心sin aCOS· 我们引入一个参数，并设 ◆326· ==========第340页========== 则一班=北一1=花， sin acos a 则 「化一1=tC0S, (2) (y-一y1=tsino. 就是 c=C1十tc08a, ty=41+tsina. 这就是直线？的另一种形式的参数方程，t是参数.取（②）式的平方和，得 (c-c1)2+(则-y1)2=2, 两边开平方，得 이=√(a-a1)3+(y~-g1)3. 可见参数t是表示动点P到定点P1的有向距离.当P 在P1的向上方向时，>0，当P在P1的向下方向时， <0.这就是参数t的几何意义.充分理解这个儿何意义，在解有关直线上两点间的距离问题时，往往会带来意想不到的方便 一般地说c=x1十at, y=g1+bt是直线的参数方程，它是过定 点(，斜率为名的直线.当。2+B2-1时，参数才 具有上述的几何意义.例1 ()）求经过点（②，-3）倾角为的直线的参方程， (2)求经过点(-4,0)、且和直线1：3x-十2则-5=0垂直的直线的参数方程.[解] =2+tcos-2n 3 (1)g=-3+ti2 ●827 ==========第341页========== 就是 0-2-子 =-3+Y3(t是参数)， 3 (2)因为直线飞的斜率=“2，所以和？垂直的直线的斜率化一ga会又e∈0，. 2 3 .8in0= cos a =W13 所以过点（一4,0）且和？垂直的直线的参数方程是 化=一4十3 W/13 2 则=13 (t是参数). 例2 已知7是经过点P(-2,3)、倾角为的直线. (1)求飞被直线1：3x -y一2=0和14：x-2y-4=0所截得的线段的长. (2)设1和圆2+y2=4P(-2,3) 相交于M、N两点，求PM· IPN的值和弦MN的长， [解] (1)直线飞的参数方程是 图6.9(1) f=-2中tC0S.3π y=34t sin3元 =-22 就是 8+3:2 (t是参数). ●328◆ ==========第342页========== 设A是？和1的交点，所以？上点A的坐标 (-8-竖8+要) 必满足的方程.就是 8(-8)-(8+)-2-0 t-11W② 4 根据参数的几何意义，可知 |PA=利=11yg 设B是，和的交点，用同样方法，可求PB的长 1,就是 (-2-受）-2B+r）-4-0 =-42, 趣 1PB引=||=4/2. 所以 4B-PB-PA-- =-4W2+y区- 4 4 ②)将=-2-受y-3+号4优入方据安叶 2=4,得 (--受+(6+号 +5W2t+9=0. 方程的两个根：和就是？上定点P到与圆的两个交点 M和N的有向距离PM和PN,根据韦达定理，得 t=9,i+tち=-5√2。 所以 }PM·PW=|tt=9. ·3296 ==========第343页========== 弦MN的长是 MN|=1-=(1-t2 =√(1+t2)2-41起=√(5√2)2-4×9 =W/14. 〔注意) 上面的解法，是利用直线参数方程中的参数的儿何意义，这样就减少了先求两曲线的交点坐标，再利用两点间的距离公式求线段的长。这是利用参 P(-2,9w 数方程解题的优点.例3 已知半径为10的圆和直线 Z:3c+4y-70=0切于点A(10,10),求这个圆的方程（图6·10）. 图6.9(2) [解] 求圆的方程关键是求圆的圆心的坐标。而圆心C必 在过切点A且垂直于？的直线上，又CA{=?=10,.若 的方程是参数方程，那末AC=t=10,AC'=-=一10， 由此可求得圆心C和 C的坐标 43x+4y-70=0 因为？的斜率 3 k-- (10,10 所以！的斜率 4 lo'-tg a-3 图6.10 則 4 3 8in a=5cosa=5 (a∈I0,m) 因此直线的参数方程是10+용 y-10+号4 ●830● ==========第344页========== 若圆心C是？在A的向上方向时（图6·10），°A0=10,即 t=10。则点0的坐标为 =10+三×10=16， y=10+-×10-18， 若圆心C”是？在A的问下方向时，AC”=一10，即节= 一10，则点0的坐标为 3 龙=10+×(-10)=4, 4 y=10+5×(-10)=2. 由此可求得圆的方程为 (x-16)9+(-18)2=100, 和 (-4)9+(y-2)=100. 例是 设过抛物线y=2x(p>O)的焦点的弦是AB,焦点 半径FA和FB的长分别是m和%，求证】+1-2， n2 [证] 设弦AB所在的直线的参数方 程(t为参数)为 p 2+t00s,y=t sina. O 它和抛物线y1=20心，相交，则 (sia2=2n(号+tcos, 图611 就是 (sin3a)-(2p cos a)t-p2=0. 方程的两根1和t对应于两条焦点半径FA和FB的长。所以 9m十n=AB1=t1-, m.n=FAFB=tita ●海 ==========第345页========== 又 王+1-m+n=- 22mn 面 t1ーt= (tュ+ta)2-4t1 t=2p sin =2sin2a sin2a 所以 1+1=2g.in2a-2 sin2&38 1.根据下列所给的条件，求直线的参数方程： 练习 2 (过点P8,-2),倾角为警； (2过点Q(-5,0,斜率=-是 (3)在y轴上的截距为4，且平行于直线x一2y+13=0. 2.已知直线2过点M(1,-3V②)，傾角为号，并且与另一直线 x-y-2V3=0相交于N.求MW的长.[答：4+2V3.] 2.圆的参数方程 设一圆的中心是C(1,y1),半径是T,又设P(,y)是圆上任意一点（如图6·12）. ∠e0P=9, P(化，》 则 CQ=OP cos=r cos0,QP=OP sin 0=r sin.今 CQ=DM=-1, .∴.e-1=rC080, 又 图6.12 QP=MP-MQ=y-41, ∴。y-=rin0. 由此可得 ◆382◆ ==========第346页========== g=1十个C88, (④) y=41+r sin9. 这就是已知圆心及半径的圆的参数方程，圆心角9为参数。从（①）消去日，即得圆的标淮方程： (-1）2+(g-y1)9=r2 (2) 当圆心在原点时，圆的参数方程变为 =r cosb, 〔注意) 圆的参数方程 「c=G1+rc090,(0为参数，表示圆心角) Ly=g1+r sin0 和直线的参数方程 f @=1+t cosa,(:为参数，表示定点到动点y=911t sin a 的有向距离 在形式上相仿，但参数不同，其儿何意义亦异，不要混淆.例5 在圆2+y-4x一2y-20=0上求两点P和，使它们到直线4+3则+19=0的距离分别为最长和最短.[解] 将圆化成标准式(2-2)2+(y-1)9=25知圆心为(2,1)，半径？=5. P(6,4) 所以圆的参数方程为 =2+5c0s0, (1) Ly=1+5sin0. (-2,-2) 又直线的法线式方程为 红43y+19-0 42+3则+19 -5 =0,、(2) 图613 圆上任一点(2+5cos0,1+5in0)到直线的距离 ·283◆ ==========第347页========== 4(2+5cs8)+3(1+5ih)+19 -5 =4cos0-+3sin9+6=5sin(0-+中)+6l. (其中m中-台s中=号) 当i血(9+)=1，B+小=受时，=1为最长，此时n=s中-是6s台=-如中台代入（国式得恩周上 相应的点P的坐标为 -25x-6,=1+나5x음-4当血(-+)ーー1,6+ー要时-1为最短，此 ---음，=--ーー듬代入 式，得圆周上相应的点Q的坐标为 -2+5×(一)=-2，ッニ1+5×（ー）-2。 所以圆上的点P(6,④)到直线的距离最长，点Q(-2,一2) 到直线的距离最短，这两个距离分别为11和1.· 〔注意〕 根据平几中直线和圆的位置关系，P、Q两点必在过 圆心且与4十3y十19=0垂直的直线上，因此可设PQ的参数方程为 ÷2-5 =1+是t, 代入圆的方程求出t=士5.同样可求得P(6,4),Q(-2, 一2).然后分别求P、Q到已知直线的距离。这种解法可 能更简捷些 ●等84● ==========第348页========== 3。椭圆和双曲线的参数方程 +1的参数方程 以O为圆心，a和b为半径分别作两个辅助圆，设 P(花，)是椭圆上的一点， 过P作x轴的垂线，交大 圆于N,交心轴于Q.连 N 结ON,设∠QON=中（参 P(,) 考§48的2)，那么x=OQ={ONcosφ =uC0s中， 代入精國圆器+=1，得 y=bsin中. 图614 因就橘圈三+装-1的参数方程是 i=ac08中，ly=6 sino. 其中2a和2b是椭圆的长轴和短轴的长，中是参数，叫做 点P的离心角， (倒双曲线宁紫-1的参薰方程 以O为圆心，a和b为半径分别作两个辅助圆.设P(c,)是双曲线 上的一点，过P作轴的 垂线，交轴于Q,从Q作 大圆的切线OV,切点是 N,·设∠OW=中，那么 图.615， ◆335● ==========第349页========== 心=0Q=l0Nse0p=ase0中， 代入双菌线器-号-1，得 y=6tg p. 因北双曲线二y2 9=1的参数方程是 =0中， y=bg中. 其中2a和26是双曲线的实轴和虚轴的长，中是参数， (3)抛物线y=2p的参数方程 我们应用§6·4中将普通方程化为参数方程的方法，设过原点的直线为 =划（使是参数）， 代入抛物线y2=2p,得 y=2pty, 则除y=0,心=0外，·得y=2p比，=2p2,因此抛物线y2=2pe的参数方程是 x=2p,t y 2pt. 例6 求椭圆中面积最大的内接矩形 [解] 设椭圆的方程是 (1) 它的参数方程是 x=aC0s中， (2) ly=bin中. 它的半长轴及半短轴的长是 图616 ·836 ==========第350页========== 6及b。内接矩形各边必然分别平行于两对称轴，当然这 矩形也就对称于椭圆的对称轴.如图6·16，PQRS是椭圆 的一个内接矩形，并且这内接矩形PQRS的面积等于矩形 PWOM的面积的4倍，即PQS的面积=4(OM·MP). 因为P是内接矩形的一个顶点，它在椭圆周上，从（②） 式设它的坐标是(acos中，bsin中)，也就是说 OM=acos中，MP=bsin中， 所以内接矩形PQRS的面积=4abin中cos中=2 absin2p因为a,b都是已知正数，假使它的面积极大，必须sin2中为极大，但sn2中≤1，即sin2φ的极大值是1，此时2中 =90°，..币=45°.故当P点的离心角为45°时，所得的 矩形的面积为最大.图上的矩形ABCD是内接最大矩形， 它的面积是2ab. 例7 试证双曲线上任意一点到它的两条渐近线的距离的乘积是一个定值 [证] 设双由线行普-1的参数方程是 x=aSec中， ly=btg中. 它的两条渐近线的法线式方程为 b±u则 士W/a2+丽=0, 所以双曲线上任意一点(aso中，bg中)到两条渐近线的距离分别为 d1=ab sec中-十abg中 ab seo中-ab tg p /a2+62 Va2f63 di'd=a2b2(sec2-g2）aba 02-63 a249(定值). 〔注意〕 对比习题4.9~4·12第6题的证法，领会参数方程在解题中的作用。 ·837。 ==========第351页========== 例8 过抛物线-2c顶点任作两条互相垂直的弦交抛物 线于A和B两点，求AB的中点的 轨迹. [解] 设抛物线y2=2px的参数方程是 M(x,y) 7=2pt2, ly-2p. 点A的坐标为(2p,2pt),则 图6.17 4=2pt._1 2pt=， 因为OA⊥OB,所以x=一t,由此可得OB的方程是 g=ー。t 代入抛物线方程y=2心，可得交点B的坐标为 -梁) 设AB的中点为M(,y),则 p-는)2p 2p 2- 则 -(-). 这就是AB的中点的轨迹的参数方程（优为参数）， 但 +名=(-}+2， 代入上式，消去参数t,即得轨迹的普通方程 ー()+2，就是-p(a-30)所求的轨迹是以（②2印，0）为顶点，c轴为其对称轴的抛物线。 ●838● ==========第352页========== 1.引入适当的参数，把下列普通方程化为参数方程： 练习 (1)4x2+9y2=36; (2)5x2-3y2=15; (3)x2=22p; (4)y=2: (5)x2+y2+4-2y+3=0: 2.设C是圆(x一a)+2xu(a>0)的圆心，P为圆上的任一点根据下列给定的参数，分别求圆的参数方程： (①)以圆心角∠XCP=6为参数； (2)以圆周角∠XOP=中为参数. 1,描绘下列各个参数方程的图象(t,日是参数)，并且消去它们的 61 参数求普通方程： 65 (1)x=2-t,y=2+} (2)x=t,y=2; (3)a=3 cse0,y=2 ctg0; (4)x=10tcos45°，y=10:sin45°-490t2 2.(山)写出经过P(-2,3),又倾角为是年的直线参数方程 (2)根据上面参数方程，求出P1到这直线与另一直线3x一悲 一2=0的交点间的距离； (3)第(1)题的直线交圆x2+y2=25于两点4，B,求P14, PB两个长度的积和弦AB的长； (4)过圆2+y=25内一点P1作这圆的弦.证明这弦被P1所分成的两设长度和t!的积为定值. 3.瓶y(c2+4a2)=8a3的图象. [提示：先令x=2ag0求它的参数方程再描图.] 4.描知十g-a的图象 [提示：先令x=acos49,化为参数方程，再行描图.] 5. 3 描~za 一的图. [提示：先令y=杠，求得它的参数方程，再描图.] 6.已知A(-√3,1)、B(0,一2)和C(1, -√3)是圆2+2=4上的三点，在0 上求一点D,使四边形ABCD的面积最 大。 60婚1 ==========第353页========== [提示：设D(2cos9,2sin),求△ACD的最大值.] 7.求过抛物线92=-2x的焦点，且倾角为罕的弦长。 8.过椭圆器+器-1的焦点，0)作弦P9,试证 威*+器1 9.已知￥径为5的圆与直线1：4c一3划+5=0相切于T(一2，-1)，求圆的方程。 10.求过抛物线°=4的焦点的弦的中点的轨迹方程. §66参数方程的应用 上几节里，我们已讲到一些参数方程的应用，在本节中要进一步应用参数方程解决儿种比较复杂而又常见的轨迹润题。现在分两种情况来讨论： (①)第一种仍照前儿节的方法引入一个参数，分别求,y对于这参数的函数式（就是参数方程）. (②)第二种也是引入一个参数，从而求出两组直线，使得轨迹上的每一点就是两组中的相应两直线的交点。今分别举例于下： 第一种：利用参数求点的轨迹的参数方程， 例1 在线段AP上，B为AP间的一定点.A,B两点 分别在相互垂直的两直线之一上滑动.求P点轨迹的方 程. [解] 用相互垂直的两直线为坐标轴，假定A在！轴上滑 动，B在心轴上滑动.设 AP=a, BP=6, 又AP与心轴所成的角为B,P点的坐标为(，).如图 6.18(a),则 ●340 ==========第354页========== P(,9) B人日 (a) () 图6.18 2-OM=AQ-APc0s6, y=MP-BPsin0, 即 ∫=aC0s8,l y=6 sin0. 上面是本题所求P点轨迹的参数方程。消去得 -， + 这是一个椭圆，半长轴的长是心，半短轴的长是. 〔注意〕 利用本题的性质，可以制造一种画椭圆的工具.方法如下：用两根木条（或其他刚性物体）钉成十字形，木条中间 挖一道槽.在另一活动木条PBA的P处钻一小孔，可以 容纳铅笔尖，A,B是两个螺旋钉，可以放松移动以配合 AP|=a,{BP=b的长度，当A,B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆（图6·18(b).例2 已知线段AB=a,它的两端分别在两条互相垂直的 直线上滑动，过A、B分别作这两条垂线的平行线交于点 P,求点P在AB上的射影点Q的轨迹 [解] 取相互垂直的两直线为坐标轴.设点Q的坐标为(， y),过点Q分别作两轴的平行线QM和②W(图6·19)，则 ●341。 d-.: ==========第355页========== a-OM-NQ,y-MQ, 可以看出，化，y和G这三个量分别是 相似直角三角形QNB、AMQ和BPA 的边，通过等角（∠MAQ=∠NQB= ∠ABP=∠APQ)的三角函数关系可 建立变量心，y和已知量&之闻的关 系.为此我们设∠OAB=B为参数， 0 则 ☒619 a=OM=NQ-BQCOS6=(BPc0s0).cosBPcos20=(ABcos)cos0-a cos36y=MQ=AQsin6=(AP sin6)sin -AP!sin0-(AB sin6)sin0-a sin30. .点Q的轨迹的参数方程是 fw-a cos*0,y=a sin0. 消去参数9，得轨迹的普通方程是 +y-0 例8 一个大小一定的圆，沿一条直线滚动.求这圆周上一 个定点P的轨迹的方程 [解] 用这条定直线作为x轴，又以P点接触此直线之处为原点。 设圆的半径是？（如图6·20（①）)，滚到这样一个位置， 0为圆心，A为圆与：轴接触处（当然相切于A),P(,) 是轨迹上的一个位置.又设∠QCP=0(弧度)，则 (x=OM-0A-MA, ly=MP=AQ-AC-®C 但 OA-AP-7:0,MA=PQ=r sin0, 又 AC={0P|=r,Q0=rc088, ●342● ==========第356页========== 图8.20(1) 代入上两式得参数方程为 =r0-r sine, () {y=m-rc0sθ. (2) 这就是所求P点轨迹的参数方程。从(2)，得 cs9=, (3) 所以 0=ar0c08二，si9=1V2rg—g.代入(1)式，得 化=ra1r心co89二1-W2rg-. 公. 这就是P点轨迹的普通 方程，它表示的曲线叫做旋轮线（也称摆线）. 摆线是齿条中常用的齿面轮廓线（图6·20(2）).例4 一根绳子紧紧围绕着一个圆，当此绳子拉紧而逐渐剥离 图620(2) 时（这时剥离部分的绳为圆的切线），求绳外端P点的轨 迹。” ◆包4碧0 ==========第357页========== [解] 以圆心为坐标的原点，使心轴经过圆上A点，A点为 绳端P合于圆上时的位置，AB是围绕圆的一段绳子，现 在拉到BP的位置，因为绳子是拉紧的，所以BP切圆丁B 点.设P(,)为轨迹上的一点，联OB(如图6·21(1)， 设圆半径为，又设∠AOB=0,则∠QBP也是8. x=O1M=OD+DM=OD÷QP, y=MP=DQ=DB-QB. 但 OB=,BP=BA=70, ..OD=r cos0,QP=BP sin6=r0 sin6, 图621(1) 艾 DB=?sinθ，B=BP cos0=r0c0g0. 代入上式得 渐开线 花=rc0s9-+r0in0,ty=r sin0--r0 cos0. 这就是所求P点轨迹的参数 基 方程，表示它的曲线叫做圆的渐开线。圆的渐开线是齿轮中最常用的齿轮面轮廓线（图 6.21(2)). 图6.21(2) ●844◆ ==========第358页========== 第二种：利用两组直线的交点求点的轨迹的方程：它是引用一个参数，求出两条相交直线的方程，再从这两个方程求出轨迹的普通方程或者参数方程.例5 一个三角形的底边长一定，高的长也一定，求它的垂心的轨迹的方程. [解] 设三角形的底边长是2a,高是b,以底边所在的直线为：轴，底边的中点为原点，所以底边上的两顶点是 Ct,A) A(a,0),B(-a,0),它的第三个顶点一定在直线y=h 上.因此可以设C点的坐标 是(t,h),t是参数（图6.22）. B(-,0)O 高OD所在的直线的方程 是 花=t, (1) 又垂心是三个高的交 图822 点，也就是CD与另一个离BE的交点P,因AC的斜事 是，力。，校BE的斜率是“。，所以高B五所在的直线 的方程是 y(ata). (2) 所以△ABO的垂心P的轨迹的参数方程是 =t, a-t(化十a). 消去参数t,即得轨迹的普通方程为 y=-, 这是抛物线的方程。 ==========第359页========== 例6 求椭圆的两条垂直切线交点的轨迹的方程（图6·23）. [解] 设椭圆的方程是+-1， c2 它的一条切线的斜率是m(m是参数)，从4·22节可知这 一条切线的方程是 y=mac+√a2m2+6 (1) 与它垂直的一条切线的斜率是-1所以另一条切线的方程是 1 y=- (2) m 从(1)得 g-m.c=√a2m2+b, (3) 由(2)得 m+g=√a2+b'm, ④) (3)+(4)3得 (1+m2)(2+g)=(1+m2)(a2+b), 因为1+9m2>0,所以 2+y=a2+b2 这就是所求的两条切线的交点轨迹的方程，这个轨迹是一个圆 丑（他，） 图6.23 图6.24 ●86· ==========第360页========== 例.已知椭圆=2o8上一点P处的切线PQ交裤 y=sin 于，O是坐标原点.当点P在椭圆上运动时，求△OPQ 的垂心丑的轨迹，[解] 设△O.PQ的垂心是H(,y),点P的坐标为(2oos0,sin),则椭圆在点P处的切线是 c090 2 +ysin=1, cos,0）. 令y-0,得点Q(2 sin 6 c0801 2c080-2 2sin0 cos 0 .∵.kg=2tg0, 则PQ边上的高OH的方程为 y=2w tg 0, (1) 又OQ边上的高D丑的方程为 =2c080, (2) (2)代入(1)得 y=4 sin6, 所以△OPQ的垂心的轨迹的参数方程为 x=2c0g9,ly=4 sin0. 前去日，即得轨迹的普道方程为兰+需-1.这题也可以先把椭圆的会数方程化为普通方醒军 +=1,设P(a,1),则切线PQ为c+4划g=4,令 y一0，得Q(手，0）参照上述解法也能求得同样的机连方 程。 上面介绍的儿个例题，都是引入适当的参数(：或)， •灯● ==========第361页========== 然后分别建立动点坐标（化、）与这个参数的函数关系式以求轨迹的方程的.这种求轨迹的方法叫做参数法。连同第 四章介绍的直接法和间接法，都是解儿中求轨迹时常用的几种方法。求轨迹时，要先对轨迹条件进行分析，然后采用适当的方法加以解决. §6·7圆锥线的直径 连接圆锥曲线上任意两点的线段叫做圆锥曲线的弦，现在我们来考虑一个圆锥曲线中一组平行弦中点的轨迹. 先从圆谈起，在图6·25()中是圆的一组平行的弦，由平面儿何的知识可以知道它们的中点的轨迹是圆的直径.这个性质对于一般的圆锥曲线是否适用，还须要我们来探讨和证明.下面先来探求椭圆的一组平行弦的中点的轨迹方程 P (e) () 图625 椭圆的直径设椭圆的方程是 B2x+a29y2=282. (1) 又设一组平行弦的斜率是定值龙，那末这组平行弦的直线系方程是 ◆348● ==========第362页========== y=e+t(t是参数) (2) 从(1)，(2)两式消去y并加以整理，得 (as2%2+β)+2ax2tk+x2(t2-82)=0. (3) 方程(3)的两根心1和即弦的两个端点的横坐标，由韦达定理可知 c1十x2=2a%kt a2%2-+B, 设P(心，)是弦的中点，则 1+0a= a3kt 2 a2k2+B’ 把它代入(2)，即得 B3 a22+・ 所以这组平行弦中点的轨迹的参数方程是 a'kt 化aジ÷β1 B a62+B2 消去t,即得这轨迹的普通方程 =ー8 ck化. 这是一条过椭圆中心，斜率为一的直线，但依题意， 所求的轨迹只是直线被椭圆截得的一段。我们称这一线段为椭圆B2x3+a2yr=xB2的宜径. 如椭圆4+9=36的平行弦的斜率为2，则其相应 的直径是g=一是g,即2z+g=0,又如箱圆+切 一6的平行弦的斜率为2，其相应的直径是y=一 4X2, 即9x+8y=0. 圆锥曲线的平行弦中点的轨迹，叫做圆锥曲线的直径。， g· ==========第363页========== 照上述方法，设双曲线2x2一ag°=aB的平行弦的斜率为飞，可求得相应的直径是 3a2吧(图6.26(a)). 同理，设抛物线y2二2p心的平行弦的斜率为飞，其相应的直径是 y-물(图6·26(b). (对于2=2p则，平行弦的斜率为飞的相应直径是=p.) (a) 图6.26 1.填列下表（根据公式直接写出直径方程）： 练习 方 程 平行弦的方程或斜率 直 轻 4219y2=36 无=2 92÷422=36 h=2 92-42=36 2-y÷G=0 42-9a2=36 9就-8利÷G=0 y2=8e h=-3 2=4y 6=3 2.(1)已知有心圆锥曲线的方程为A2+By=1,求斜率为k的 平行弦中点的轨迹方程； (2)已知抛物线x2=2,求斜率为飞的平行弦中点的轨迹. ●850· ==========第364页========== 习瓶 1.:一刚体棒AB,两端A,B各在相互垂直的两杆上滑动，'今在 66w AB间有一点P,已知PB,.PA的长度各为a,b.求 67 (①)P点的轨迹的参数方程； (②)假使a,b相等时，P点的轨迹是什么？ Q(a,b) B (第1题) (第2题) 2.过一定点？作直线分别交x和y两轴于A,B两点，求AB中 点P的轨迹的方程。 [提示：令过Q(a,b)点的直线方程为y-b=k(g一).今k是参数，再分别令y=O,x=0求得A,B两点的截距.设P点的标是(，y),斑 g=号（0A.g-0B,] 3.由圆外一点(a,b)向圆2+y2=2作割线交圆周于A,B两. 点，求AB中点P的轨迹的方程， 4.在双曲线B2x2一axy2=x32中，一组平行弦的斜率是飞，求平分这组弦的直径方程 5.在上题中，设双曲线的一组平行弦的斜率是B（即上题直径k 的斜率)，求它的对应直径的方程 6.一动圆在x轴和y轴上分别截得定长为2a和25的弦，求动圆的圆心的轨迹 7.过点P(2,一1)引椭圆5心2+8y2=40的弦，且这弦在点P处被平分，求这弦的方程. 8.在椭圆安+苦-1(ab0)上有一动点，短辑上两个顶点 为B和B.求ABMB的重心的轨迹、 •540 ==========第365页========== 9,过抛物线=2py的顶点0任作两条互相垂直的弦OA和OB. 连结AB,求弦AB的中点的轨迹 10,设点B是圆x+(y一a)=g2(a>0)上的动点.连结OB并延 长交直线y=2a于P,作PD⊥x轴于D,求点B在DP上的射 影点Q的轨迹的方程 [提示：取∠DOP=日作为参数.] 4 (第10题) (第11题) 11.一个小圆半径是一个大圆半径的四分之一，今小圆在大圆内沿 大圆周滚动，求小圆上一个点P的轨迹的参数方程和普通方程。 [提示：如图上小圆半径CB=Y,大圆半径OB=4,∠AOB =中.又设P(,)为小圆上一点.以大圆心为原点，x轴经过 大圆周上A点，此A点为滚动开始时P与大圆周相合之处，所 以 B=BA. 但 =r(∠PCB), 又 BA=4r…中， .r(∠PCB)=4r中， 故 ∠PCB=4中. 今 1然=OM=OD-+DM=OD÷EP, (1) y=MP=DE-DC-EC. (2) ●.8520 ==========第366页========== 0D=0C1cog中=3rco8φ(..O0=0B-CB=3r), ∠PCE=∠BCE-∠PCB=(中+90）-4φ=90°-30， EP=|Cpin(∠PC)=rsin(90°-3p)-rcos3φ，DC=O0Isinφ=3rin中， E0=1CP1cos(∠PCE)=rcos(90°-3)=rsin3肿， .代入(1)，(2)两式得 c=3rc0s中+C0s3p, y=3rsin中-rsin3φ. (3) 这是所求轨迹的参数方程，参数为中.从三角公式， cos3φ=4cos3中-30s巾，sin3φ=3sin中-4sin3中， ".3cos中+c0s3φ=4c0g3中，3sin中-sin3p=4sin3中，代入()得 手就=4rC033中， ly=4r3in3巾. 这曲线是内摆线的一个特例，因为它有四个歧点，所以叫它是四歧点内摆线.] 12.图中OB是一根曲棍，它围 绕O点旋转；AB是一根联 (第12题) 杆，A点在Oc线上滑动，今OB长Y,|ABI={OBI,设P为AB上的一点又IPB|=b,PA|=a.求P点的轨迹的方程。 本章提要 1.参数方程的一般形式（设t是参数） ∫w=f1(), y=f(). 6953常 ==========第367页========== ()将参数方程化为普通方程，常用代入消去法和三角恒等式消去法。消去参数专即得普通方程 F(,y)=0或y=中(). (2)将普通方程化为参数方程，应先确定一个参数与c(或)的函数关系式 =f1(t)(或y=1(t)), 代入原方程，求得 型=f() (或x=9(t)). 2.直线和圆锥曲线的普通方程和参数方程对照表 普通方程 参数方程 y一1=不(6一1） =1+tC080 直线 (化为参数) :=tga,x∈[0，) y=414tsina =a十"C0s0 國 (x-a)3+(y-b)3=r2 (9为参数) y=b片rin9 x=C0S中 椭國 +器-1 (中为参数) ly=bsin中 1 x=a3eC中 双曲线 28 (中为参数) (y=btg中 y-2pa x=2p2 (化为参数) ye2pt 抛物线 2一2py x=2pt y=2pt2 (参数方程的形式不是唯一的，表中所列的是常用的几种形式.) 3.参数方程的作用 (①)有些轨迹问题，很难或不能找到曲线上点的坐标之间的直接关系时，适当引进一个参数，问题就较容易解决 (②)有些较复杂的曲线，适当引入一个参数，化为参数方程后，就容易描绘它的图象。 ●854· ==========第368页========== (3)·有些问题引用参数方程解答，要比通常的解题方法既快又好。 复习题六A 1.根据所给条件，把下列各方程化成参数方程（日，是参数h1)是+gy=a中，当心=a0osg: (②)2+4g2-6x+5=0中，当x=3+2c0s6: (3)x3+y3-3ay=0中，当y=tc 2.消去下列各式的参数（花，中，日或）： (1)∫x=-3+Uc5C中， 优=C0S中， (2) [y=4+6ctgo; y=2+c0s2中： 「x1+入2 366 化一 (3) 1+入， (4) 生+982 g= 8-182 4+92 x=acos4台， (5) [提示：化成cos2θ=….门 y=a sin40: (6)r=中-sin中，[提示：从第二式得0s中=1-，ly=1-cos中..中=arc cos(1-y3又in中=….] 3.设椭圆方程是2x2+cy2=2B2,它的平行弦的倾角是定值Y,试从平行弦的参数方程心=x'+p cosy,y=y+piny(p是参数)，求它的相应直径的方程. [提示：以弦的参数方程代入椭圆方程，并照P的降幂次序排列 得 (82 cos2y-+a2 sin2y)p2-4-2(B2a'cos y+ay'sinr)p +(8x2+ay2-a2B2)x0, 今P1=一p2,那末 p4+p%=-2(82xce0y+3in22=-0. B2 cos2y+asin2y 即82ax'cosy+y'sin y=0,即B2x'+a2gyy=0,即82x+a=0,如P(c,y)以动点P(g,y)代替，则前式可改写为x+a2y=0,这就是所要求的直径方程.门 籍重 ==========第369页========== (e't-e-)cos0, 4,已知方程 号e-gn9. (①)若t为常数，日为参数时，方程表示什么曲线？ (2)若日为常数，t为参数时，方程表示什么曲线？ (3)试证这些曲线都是同焦点 的有心圆锥曲线 5.距离山脚A点1000米处有炮 兵阵地O(设点A和阵地在同 一水平线上)，向倾角为15°的 16 山坡上目标P发炮，经过20 秒钟命中目标.已知发射角 (第5题) 0=45°，g=9.8米/秒，不计空气阻力，求(①)发射的初速度Vo (②)目标P与炮兵阵地的水平距离 6.已知抛物线的轴和准线相交于A,过点A引一直线交抛物线于 B、C两点；又过焦点F引一条直线平行于BC且交抛物线于 P、,试证1AB.AC1=pF.FP}. 7.求双曲线的两个垂直切线交点的轨迹[提示方法同§6.6例6.] 8。求抛物线的两个垂直切线交点的轨迹 [起示用切线y=r+品，=一会-尝，再设法消去，同时也把为消去了] 9.作(1)椭圆；(2)双曲线； (3)抛物线的切线，从焦点向所作切线作垂线，求垂足的轨迹的方程， [提示：用斜率为的切线式] *10,一直线截一双曲线及它的 渐近线，证明夹于渐近线与曲线间的线段相等。 (第10题) 4358· ==========第370页========== [提示：设双曲线为 b2x2-a2y2=a262, (1) 则它的渐近线是 b2e2-2y2=0 (2) 又设任意一直线 y=kx+r, (3) 交(1)于P(1,y1),Q(,y4)两点，文交(2)于(，)，8(,3)两点. 以(3)代入(1)得 (b2-a272)x2-2a2rc-2(r2+b2)=0. (4) 它的两根为1，x, 2a2rle .1+4b-a2限 5⑤ 又以(3)代入(2)得 (b2-ae22)x2-2a2rac-c&2g2=0, (6) 它的两根为2，， 2arlo 。2+=-a液· 7) 从(5)，(T)得 1十北4=化2十3， 设P9的中点为M,RS的中点为M',由上式可得知M和M 重合，所以 PR=SQ.] 11.设一圆锥曲线的方程是A:x2+By+Cy2+Dx+y+F=0,它 的一组平行弦的斜率是，求证它相应的直径的方程是 (2A+B)c+(B+2C)y+(D+Ek)=0: [提示：按照67节1的方法求直径方程，门 12.等边双曲线的方程是y=入，入+0，它的一组平行弦的斜率是， 求证它相应的直径的方程是x+y=0. 复习题六B 1.求下例两曲线的交点(，为参数) 和85y6 ==========第371页========== 1龙=2c08月，： ∫三3戏， ty=2 gin6, 和(y=3; 心=2c0s9, (2) y-2sin0,和 龙=一V2t, y=2+元 [(1)提示：方法一：化参数方程为普通方程，求方程组 c2+2=4, 【3y=x2 的解，得交点为（±√3,1）； 2c0s0=3t, 方法二：由2in8=3消去t,得2cos29-3sin日=0，解 三角方程，得如9-=安Q侧9=士写，得交点为 =士√3， =1; 方法三：从上式消去9，得9+9a-4=0解得2=（=一 吾舍去人士怎，也可得到交点为 a=3×(±)-tV, lg=ax(+}-1 2.当a、b应满足什么条件时，对于任意实数m来说，直线（工）：x可t =1十acos0 ty-otmi 虎参数和椭園CE:{n9 (a≠0,8为 参数)总有公共点？ 提示：参考第1题，有多种解法，如消去心、y和，可得in0 -am0os0=b+m,、sin(8-)=√am年7b平 其中c08中= va)(0-)に11合6+m <,… 3.过抛物线x2=2y(p>0)的焦点引一条倾角为a的弦，求这条弦的长 4.由椭圆b2c2+ay2=a262的两个焦点乃1和F3分别作椭圆的切线的垂线P和F2(P、?为垂定).试证|P1F1=b. 5.(1):过点P(一1,2)作一直线分别交x和y轴于A、B两点。求 当}PAPB取得最小值时的直线的方程；，· ◆8580 ==========第372页========== 2)过抛物线y=c的焦点F作一直线交地物线于A、B两 点，求当PAPBII取得最小值时的直线方程. 6.若动直线yーそ(aーー)(4为参数)和抛物袋一如相交于两 点，求两交点间线段的中点的轨迹的方程。 7.动点P在直线y=2上，点Q在OP上，且IOP0?1=1.求 点Q的轨迹的方程 8.求下列两直线1和2的交点的轨迹的方程： (1)1:c-则-3k+2=0,:x+y+1=0(k为参数)；(②)11：aax一y+=0,1:一y一1=0(k为参数，a为常数)； 3)mx+测=Vgin(g+） gx-测=V豆in(日-平）(9为参数，m、n为常兼，m…2卡0). 9.已知点A(0,2)和两条直线1：y=2-2,l2:y=一2c-2,求过点4的直线被11和2之间截得的线段的中点的轨迹. 10.三角形的一个顶点A的位置不动，不改变其对边BC的长度，使 BC在一条已知直线上滑动，求这个三角形的外心的轨迹 [提示：以已知直线为x轴，并使y轴过定点A,设BC边上的高为h,BC的长为a,引入参数古，设B(花，0)，则C(a+,), A(0,),求BC和AB的中垂线的交点P(,),…]. [x=C0S中， 11.已知曲线：1y=2+c0s2φ(中是参数). (①)试证方程的图形是抛物线弧，并求出它的焦点F的坐标和 准线飞的方程； (2)验证点A(1,3)是否在曲线？上，并求出经过点A且和曲 线？相切的切线AB的方程； (3)过F作FB⊥FA交切线于B.证明不论点A在曲线上的 位置如何，交点B恒在准线，上. 「=2+13cos8, 12.△P?R的两个顶点P和？是椭圆y=-1+5in0的两个熊点，顶点R是抛物线y=2+1上的动点：求△P?R的垂心的轨迹。 ==========第373页========== 13.双曲线c-y=的一条推线与：轴交于点A.过点4引一 条直线与双曲线交于M、N两点，又过焦点F引一条垂直于 MN的直线交双曲线于P、P两点.求证 IFP·Fe!=2AM|·1AN}. 第六章测验题 =引+号》 1.参数方程 表示什么曲线，并作出这曲线的草图 -{6-） (t是参数) 化=t-1, 【c=2cos9, 2.求直线 和曲线的交点坐标(t、日为参y=t+1 y=1-sin 数) 3.将方程-2√acos9,(0为参数，“为常数)化为普通方程，并 =√2sin0 就常数α的取值范围过论这曲线的性质. 4过双曲线-=1的焦点F(c,0)作双曲线的弦AB,试证a2-b3 TA可十T丽为定值. 5.平移直线y=2c-1,使之与曲线划=t2相交，并且被曲线截得 的弦长为6V√⑤.求平移后的直线方程。 6,4、只Q、D依次是椭圆需+需-1内接泗边形的四个凰点， 已知点A的横坐标为4，点C的纵坐标为5，求当四边形取得 最大面积时顶点B和D的坐标，并求出四边形的最大面积 过点2，-10)引曲线{二2为参数，且>0)的切线 切线方程和切点的坐标 8.求直线y=心一b(石为参数)被截在两直线11：2m+y一1=0和飞2+2y一2=0之间的线段的中点的轨迹. ·380· ==========第374页========== 9.已知长方形ABCD的边AB和AD上各有一点E和至，且BE: BA=AF:AD,连结CE和BF交于点P,求点P的轨迹. D B (第9题) 10.已知B是圆x2+(y一4)2x上的任意一点，过原点的直径为OA,连结AB并延长使之交x轴于点C,过C引：轴的垂线 交OB的延长线于点P,求点P的轨迹。 三 0361● ==========第375页========== 极坐标 前面我们学习了用直角坐标系来确定平面上点的位置和建立曲线的方程的方法.在这一章里，我们将介绍另一种坐标一极坐标.有些曲线用直角坐标来研究比较困难，但用极坐标来处理却比较简单.因此极坐标也是一种重要的坐标法，它在研究曲线的性质时有着一定的作用， 通过这一章的学习，要求理解极坐标的概念，掌握极坐标和直角坐标之间的互化，，初步学会描绘极坐标方程的曲线和求轨迹的极坐标方程的方法，并掌握等速螺线和它的极坐标方程 §7·1极坐标的意义 在平面直角坐标系中，是用一对买数表示两个长度来确定平面内点的位置的.除了这种方法以外，我们还可用 一个长度和一个角度来确定平面内点的位置.例如，炮兵射击目标时，就是根据目标的距离和方位角来确定它的位置的 在平面内取一个定点O,从O点出发作一条射线O, 并规定一个长度单位和角度的正方 P(p,) 向（通常取逆时针方向为正方向），这 样就组成了一个极坐标系.O点叫做 极点，射线O心叫做极轴（图7·1）. 图7.1 设点P是平面内任意一点，连结 OP,线段OP的长度叫做极径，通常用p表示.以Ox为 ●8B2• ==========第376页========== 始边，OP为终边的角叫做极角，通常用0表示.我们把 (P,)叫做点P的极坐标.极坐标为P,O的点P,可表示 为P(p,). 如果P=0,那末不论8取什么值，(0,8)都表示极点。 例1 在极坐标系中画出下列各点： 4(8 품)， B(4, 25°)， (8，-)， D(б， m).[解] 90 120 60 10° 30● 6, -180 B(4,225) 210 330 3 240 300 270° 图7·2 如图7-2所示。作射线04，使∠a0A-晋，在射线 OA上取OA=3,就得到A点.用同样的方法，可以作出 B,C,D各点 为了研究方便起见，我们还允许极径p取负值，当p<0时，点P(p,) 0A8 le' 的位置可以按下列规则来确定：作射 P(,) 线OM,使∠OM=-9,在OM的反 p<0 向延长线上取P点使OP=IP,那 图7·3 末点P就是当p<0时，极坐标为(P,)的点（图7·3）。例是 在极坐标系中，画出下列各点： 。363。 ==========第377页========== 4(-4,풍)。B (-6,) 0(-8,-)D(-5,20). [解] 90° 120 60 63 150 30 180 210 330 4 240° 300 270° 图74 如图74所示，作射线0A1使∠：04一受，在04， 的反向延长线上取OA=4,就得到A点.用同样的方法， 可以作出B,C,D各点. 从例1和例2可以看出：在极坐标系中，每一个极坐标 (P,)都可以在平面内确定一个点P.但是反过来就不是， 因为对于极角来说，终边相同的角有无穷多个，对于极径来说，可以取正值，也可以取负值，因此，平面内任意一个点可 以对应无穷多个极坐标.例如，图7·2中点A的极坐标可 以是：（包，）(-3，晋+)也可以是（但，晋+2x)(8.중-2),(-8,품+8x),(-3,중x)等筝 一般说来，如果一个点的极坐标为(P,),那末， (p,8+2nr)和[-p,8+(2m+1)π]都是它的极坐标（这 ·864◆ ==========第378页========== 里%是整数). 但如果约定P>0,且0≤0<2π（或一π<9≤π），那末 除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了.例3 写出图7,5中A、B、C、D、E、F各点的极坐标 (p≥0,08<2r). 90° 120 602 150 30 180 103 210 330 240° 300 270 图7.5 [解] A(,),B(2,1), C(,)D,0), (4),p(5,). 例4 写出图76中点A的极坐标，使得 (1)p>0,0≤8<2m; (2)p>0,-π<0≤r; (3)p<0,0≤8<2m; (4)p<0,-2m<0≤0. [解] ④A(6, 2)A(6,-) ·385● ==========第379页========== (a)A(-6,2) ④4(-6，-) 90 120° 60° 150° 30 180 10 210 330° 240° 30° 270 图76 .例5 在极坐标系中画出下列各点： P.(5.품) P(5) Pa (-,품)。 P.(-5,). 并分别说明P2、P、P4各点和P1点之间的关系. [解] 如图7·7所示，P2点和P1点关于极轴对称，P点和 P1点关于过极点且垂直于极轴的直线（以后我们简称它为 极垂线)对称，P点和P1点关于极点对称 由此可见，(p,)和(p,一0)两点关于极轴对称；(p,)和(-P,一)两点关于极垂线对称；(p,)和(-p,)两点关于极点对称 由于点的极坐标的多值性，所以点（ρ，）关于极轴、极垂线或极点的对称点的极坐标也都有无穷多个，它们分别是： ●866· ==========第380页========== 90 120 60° 150 30° 180 210 330° 240 300 270 图7·7 (①)点(p,9)关于极轴的对称点的极坐标为： (p,2mr-0) 和 [-p,(2n+1)m-9]; (2)点(P,9)关于极垂线的对称点的极坐标为： （-P,2元-A) 和 C0,(2n+1)元-]； (8)点(P,)关于极点的对称点的极坐标为： (-p,2mr+9) 和 [p,(22+1)m+]. (这里%都是整数.) 在极坐标系中，平面内的一条曲线，可以用含有P、O 这两个变数的方程 F(p,0)=0 来表示，这个方程叫做这条曲线的极坐标方程。反过来，含 有P、0两个变数的方程 F(P,9)=0, 表示平面内极坐标适合于这个方程的点组成的曲线，这条曲线叫做这个极坐标方程的曲线。 ◆367· ==========第381页========== 1.写出图中A、B、C、D、.F各点的极坐标(P≥0,0s日<2m) 练习 90 □ 120 60° 15 30 180 02 210 330 240° 300° 270° (第1题) 2.在极坐标系中，画出下列各点： 4(4.중) B(3,-240),c(2,) D(-8,)(-6,0), (-5,-60). 8.已知4点的极坐标为（色，）写出4点的其他极坐标，使得： (1)p>0,-π<0≤； (2)p<0,0≤8<2r; (3)p<0,-2x≤0<0； (4)p<0,2m≤8<4r. 4.在极坐标系中，画出下列各点，并分别说明它们之间的关系： ①4，經〉B(6,) C(5,匹)， ②4(6，)B包，等)，o(-3,》 D(6,)(4，) A3晋〉(3，-若 四A(-6)B(6,-) ⑨4(4，〉(-4，) ◆368· ==========第382页========== 6.分别写出点（亿，）关于极辅、极垂线和极点的对称点的坐 标。 §7·2极坐标和直角坐标的互化 前面我们学习了直角坐标系，本章我们又介绍了极坐标系，这是两种不同的坐标系，但它们在一定的条件下可以相互转化. 如图7·8，使直角坐标系的原 P(,》 (p, 点和极坐标系的极点重合，x轴的正半轴和极轴重合，并且在两个坐 0 0 M 标系中取相同的长度单位.设P 是平面内任意一点，P点的直角坐 图7.8 标是(，y),它的极坐标是(p,).过P作PM⊥Ox,则 OM=4,MP-y,OP=p,LaOP=0, 由此可得由极坐标化为直角坐标的公式： a=pcosg. (1) y=psin 反过来，从公式()可以得到由直角坐标化为极坐标的公式： p2=心+y2, g0=型 (2) 公式(2)中，在一般情况下，P取正值，由吧8确定8角 时，根据点P所在的象限取最小正角. 应用公式(1)和(2)可以将点的坐标和曲线的方程由极坐标的化为直角坐标的，也可由直角坐标的化为极坐标的。 ●309.◆ ==========第383页========== 例1 把P和Q两点的极坐标（⑧，）和(-4，一225)化 为直角坐标 [解] 设P和Q两点的直角坐标分别为(c1,y1)和(，y2),由公式(1)，得 1 2=8008풀=8×-4， -8si풍-8x-4v3.2 所以P点的直角坐标为(4,4√3). 同理， 为-4(-25)-4×(-)-2Vg,%=-4i(-225)=4×厚。-2√%. 2 所以父点的直角坐标为(22，一2√2).例2 在直角坐标系中有M〔-3√3,3)和(-4，-)两 点，求它们相应的极坐标.[解] 设M和N两点的极坐标分别为(P1,91)和(Pa,9),由公式(2)，得： P1=√(-3√3)2+3=6， g91=3 -3/33 因为M点在第II象限，所以 0晋 因此M点的圾坐标为(6，). 同理， p阳=√(-4)+（-3)=5， 忽，=二骨-0.6 ·370· ==========第384页========== 因为N点在第三象限，所以 02=217°， 因此点的极坐标为(5,217).例3 把下列直角坐标方程化为极坐标方程： (1)c24y2-4=0;(2)/3x-y=0 (3)y2=6c; (4)x2-2y2=25. [解] (1)将公式(1)代入方程，得： (p cos)(osin )3-4pcos0-0, p2-4p cos6=0,p(p-4cs0)=0, p=0,p=4c0s0. 这里p=0表示极点，而极点的坐标也满足方程 p=小c0s9. 所以得到的极坐标方程为： p=4c0s9. (2) y=3,-3, 由公式(2)，得 tg0.=/3, “日-营 (3)将公式(1)代入方程，得： (p sin 0)2=6o cos 0,p2sin20-6p cos6, 就是 (psin20-6 cos0)=0, 与第(1)题同样道理，可得 psin20-6 cos0, 就是 p=6ctg 0csc0. (4)将公式(1)代入方程，得 (pc0s6)2-(psin6)2-25, 371。 ==========第385页========== p3(c0s0-in8)=25, 就是 pc0820=25, 例4 把下列极坐标方程化为直角坐标方程： (1)p=10in9; (2)p2=a2c0s20; 4 (3)p=1-3c0s6 (4)p-asec0+6. [解] (1)由公式(1)可知： sing=y 代入方程，得 p=10.义 0 就是 p2=10y, 又 p3=x2+y,· .'.x2+y2-10gy=0. (2)原方程化为： p2-a(cos20-sin30) 则 -(层) 就是 p1=a2(ac2-y2), 将公式(2)代入，得： (2+2y)3=a2(x2-y2). (3)原方程化为： p-3pc0s0=4, 将公式(1)代入，得： p-3a=4 就是 p=3.x-14, 两边平方，得： p2=(3a十4)2， 将公式(2)代入，得 x2子y2=(3+4)2, ·372◆ ==========第386页========== 就是 8x2-2y2+24x+16=0. (4)将公式（①）代入得： p=a卫+b,pc=ap-bx, 0bo 2-a, 两边平方，得 将公式(2)代入，得 ー() 就是 (x2+y2)(-a)3=b23 1.化下列各点的极坐标为直角坐标： 练习 (10.),(8,-)(，)，(-13，)，(-3，-등) (-5,135). 2.化下列各点的直角坐标为极坐标： (-2,2),（-5,-5V3),(0,0),(5,-12),（-4,0), (0,8). 3.化下列各直角坐标方程为极坐标方程： (1)=4; (2)y+3=0; (3)x+y=0; (4)xcosa+y sina-p=0; (5)c2+y2=16; (6)x2+y2-6x=0; 4.化下列各极坐标方程为直角坐标方程： (1)p=3; (2)0=풀 (3)p=2cos9; ④psin(0-）=名 (5)p=4csc; (6)p2sin28=4. 习颠 1.求A、B两点之间的距离： 7.1w (1)A(8,30°)和B(8,210)； 72 ②)A(3,空)和B(亿，) ·873◆ ==========第387页========== ()A(色，)和a(1D,)片 (4)A(p1,01)和B(p2,02)(p1>0,P2>0).[提示：应用余弦定理.] 2.已知三角形的三个顶点的坐标分别是(p1,1)、(P,02)和(0,0)(p1>0,p2>0,)求证三角形的面积是 in(0) 1 8= 3,化下列各直角坐标方程为极坐标方程： (1)y=10; (2)x2=2pg; (3)(x2+g2)2-a(x2-22);(4)x2+2+Dx+y+F=0 4.化下列各极坐标方程为直角坐标方程： (1)p(3cos8-48in0)=5;(2)p2=a2gin29: 5 (3)p=1-sim9 (4)p=10(1-cos9). §7.3描绘极坐标方程的曲线 要描绘极坐标方程的曲线，也可以应用描点法，但是为了简化作图过程，通常对极坐标方程先进行讨论，掌握曲线的性质，然后再画出曲线。 讨论的内容如下： 1.曲线的周期： 根据点的极坐标具有多值性可以知道： (p,2mr+0)和[一p,(2m+1)+9]都与(p,0)表示同一点（这里m、都是整数）. 在极坐标系中，（P,8)是方程F(p,)=0的曲线上的任意一点，如果对于某一非零整数n(或整数m),点(p,2nr+)(或[-p,(2+1)π+])也在这条曲线上，那末曲线就重复出现，我们把2mπ（或(2m+1)匹）叫做这条曲线的周期。曲线的周期中的最小正数叫做曲线的最小正周期。 0374· ==========第388页========== 显然，如果存在某一个正整数%，以2m元+6代0，方程不变，这说明当点(P,9)的坐标满足方程F(p,)=0时，点(，2+8)的坐标也同时满足这个方程，即 F(p,2x+0)=0. 也就是当点(P,)在方程F(p,)=0的曲线上时，点(,2mπ+0)也在这条曲线上，所以曲线的周期是2肌x.同样，如果存在某一个非负整数m,以一P代P,同时以(2m十1)π+0代0，方程不变，则曲线的周期是(29m+1)r. 由此我们可以得到求极坐标方程的曲线的周期的方法，列表如下： 条 件 曲线的周期 以2n+日代0，方程不变 2ng 以-p代P,同时以(2m+1)40代6，方程不变 (2说十1)匹 表中的%和m都是整数. 以后如果没有特别说明，我们所说的周期都是指最小正周期. 例如，方程p=ac0s8,以一p代P,同时以匹+B代9，得一p=ac0s(π十)，即p=ac0s9,方程不变，所以这条曲线的周期是兀. 又如方程p=asin28,以2π+9代9，得 p=asin 2(2+0), 即p=asin20,方程不变，所以这条曲线的周期是2π. 〔注意) 1.在求曲线的周期时，如果以(2m十1)m+0代0时，必须同时以一p代P,方程不变，·才能说曲线的周期是(2m+1)元，而如果只是以(2m+1)元+0代0，不同时以一p代P,方程即使不变，也不能说曲线的周期是(2m+1)元，例如方程p=asin28,以匹+0代0，得p=asin2(π+)， 375· ==========第389页========== 即p=asin28,方程不变，就不能说这条曲线的周期是心.同样的，如果以2r+9代8时，就不能同时以一p代P,否则即使方程不变，也不能说曲线的周期是22元.例如方程p=ain多，以2m+9代，同时以-p代P,得 -p=asin2w十0 2 即 p=asin, 方程不变，但不能说这条曲线的周期是2.正确的求法是，以4匹+0代8，得 p-a sin43-1-9 2 即 p=asin2 方程不变，这条曲线的周期是4π. 2.极坐标方程中三角函数的周期不一定是曲线的周期，应注意区别这两个概念，不能把它们等同起来。在有些情况下极坐标方程中三角函数的周期正好等于曲线的周 期，例如方程。®血号中，m号的周期是红，曲线的 周期也是4元.但在很多情况下，极坐标方程中的三角函数的周期不等于曲线的周期，例如方程p=asin20中，sin20的周期是元，但曲线的周期却是2元. 2.曲线的对称性： 从§7·1我们知道，在极坐标系中： 点(P,)关于极轴的对称点的极坐标为 (P,2mc-9)和[-p,(2m+1)m-9]； 点(p,B)关于极垂线的对称点的极坐标为 (-p,2nπ-9)和[p,(2n+1)r-8]; 点(P,)关于极点的对称点的极坐标为 0376· ==========第390页========== （-p,2nr+8)和[p,(2n+1)m+]. 这里凯都是整数. 仿照第二章§2·4方程的讨论中判定曲线关于心轴、 轴和原点对称的方法，可以得到由极坐标方程F(P,)=0 判定曲线关于极轴、极垂线和极点对称的方法.现将它们列表如下： 条 件 曲线的对称性 以2r-日代P,方程不变 关于极轴对称 以一p代p,同时以(2+1)-日代日，方程不变以(2m+1)一日代0，方程不变 关于极垂线对称 以一p代p,同时以2nr一日代6，方程不变以(2凯+1)匹+日代6，方程不变 关于极点对称 以一p代p,同时以2+日代0，方程不变 上面表中%都是整数.这是一般的结论，但是在大多数情况下，只须取n=0,也就是： 条 件 曲线的对称性 以一日代日，方程不变 关于极轴对称 以一p代p,同时以x一6代B,方程不变 以优一日代日，方程不变 关于极垂线对称 以一p代P,同时以一9代6，方程不变以+9代0，方程不变 关于极点对称 以一p代p,方程不变 以后我们经常用到的是后一表格中的结论。 〔注意) 1.这里所说的对称只是指曲线关于极轴、极垂线和极点对称而言，至于曲线是否关于其他点或直线对称，没有 .•377· ==========第391页========== 加以讨论 2.如果曲线在关于极轴、极垂线和极点三种对称性质中具有任意两种，那末它必定具有第三种 3.表中所列的每一种对称性质的两个条件，如果其中 一个不满足，并不说明它一定不具有这种对称性质，假如它满足另一个条件，同样可以判定这条曲线具有这种对称性质.例如，方程p2=acos6中，以一p代p,同时以π一0代9，得(-p)2=ac0s(π-)，即p2=-ac0s0,方程政变，但不能肯定这条曲线关于极轴一定不对称。因为如果以 -0代9，得p=ac0s(-8),即p2=ac0s0,方程不变，所以这条曲线关于极轴对称 例如，方程p=ac0s29中，以-0代8，得 p=ac0s2(-8), 即p=acos28,方程不变，所以这条曲线关于极轴对称；如果以π-0代0，得p=ac0s2(π-0)，即p=acos20,方程也不变，所以这条曲线又关于极垂线对称.由此可得，这条曲线关于极点也对称 又如，方程p=asin39中，以一p代p同时以一8代0,得一p=asin3(-),即p=asin38,方程不变，所以这条曲线关于极垂线对称. 在很多情况下，根据曲线的周期和对称性，可以确定B 角的取值范围，然后列表描点作图，最后根据曲线的对称性，画出整个曲线.这样通过讨论以后再画图，既可以避免重复和遗漏，又可以省略许多繁复的计算.大大地简化了作图的过程 下面我们举例说明如何通过讨论描绘极坐标方程的曲线 例1 描绘方程p=a(1+c0s)的曲线. [解] 在方程p=a(1+c0s8)中，以2m+0代0，得 :378· ==========第392页========== p=a[1+cos(2x+8)], 即p-a(1+cos9),方程不变，曲线的周期是2x,所以0只要在[0,2π]内取值就可以了. 又因为以-0代8，得p=a[1+co9(-)],方程不变，所以曲线关于极轴对称.这样，0只要在[0，匹]内取值，再由对称性就可以画出整个曲线 为作图方便，设a=5,方程是p=5(1+cog9),列表： 9 0 6 平 중 2x 5π 4 6 10 9.3 8.5 7.5 5 2.5 1.5 0.7 0 将表中P和9的对应值作为点的极坐标，在极坐标系 中定出各点的位置，顺次连结这些点得到极轴上方的一半曲线，再根据对称性，作出在极轴下方的一半曲线，就可以得到所求的曲线（图7·9）.这条曲线叫做心脏线。 909 120 60 150 0 180 210 330° 240 300 270° 图7·9 从上面的例子，我们可以得到描绘极坐标方程的曲线的步骤： •379• ==========第393页========== 1.解方程：将方程F(p)=0化为p=f() 2.讨论：确定曲线的周期，判别曲线的对称性，并根据它们确定8的取值范围. 3.列表：在0的取值范围内，取一系列的值，求出对 应的P的值，列成表格. 4,定点描图：将每组日和P的值作为坐标，定出各点 的位置，再根据曲线的对称性，描得整个曲线.例2 画出方程p=a2c0s20的曲线. [解] 在方程p2=a2c0s20中，以一p代P,同时以π+8代0,得(-p)3=e2c0s2(π+0)即p2=2c0s20,方程不变，所 以曲线的周期是匹，B只要在[0，匹]内取值就可以了，义以 一9代8，或以一p代P,方程均不变，所以它的曲线关于 极轴、极垂线和极点都对称。这样，9只要在[0，受]内取 值，再由对称性就可以画出整个曲线 由方程p=a2c0s28,可得： p=±a√c0s20, 则 c0s28≥0， 在0到2x之间，可得： 0<29≤受，3t≤20<2r. 就是 0<0≤界3r≤0≤元. 这说明0在受到8之间没有曲线，所以0只要取0到年之间的值，就可以画出整个曲线。 为画图方便起见，设a=10,方程是 p=土10Wc0s20. 列表： ·380· ==========第394页========== 0 死 12 罗 晋 4 0 土10 ±9.3 土8.4 土7.1 0 根据表中p和B的对应值，在极坐标系中画出各点，再由曲线的对称性，可以画出整个曲线（图7·10），这条曲线叫做双纽线（也叫双叶玫瑰线）. 903 120° 600 135 45 150 30 180° 0 2103 330 2253 3150 240° 3009 270° 图70 例3 作出方程p=1-n的图形。[解] 在方程p=1-n中，以2m+9代9，得P p P-1sin(2+0)' 即 p =1-sin6 方程不变，所以曲线的周期是2π.0只要在[-心，元]内取值就可以了，又如果以x一θ代日，得 p1gin( ·381● ==========第395页========== 即 p 1-sin0’ 方程不变，所以这条曲线关于极垂线对称.这样，B只要在 [-受]内取值，再由对称性就可以画出整个曲线。 当0-→时，im9-→1，则1-sim6-→0，当p>0时，p-→十∞，曲线向上无限伸展，当p<0时，p-→一∞，曲线向下无限伸展 如设p=2时，方程是 2 01-sin8· 列表： 死 2 3 早 o 晋 4 晋 2 1.1 1.2 1.3 6.8 15 -oo 906 120 609 150 309 1809 210 330% 240° 300 270° 图711 描出对应的点，再根据曲线的对称性，画出整个曲线(图7·11).这个方程的曲线是抛物线 ●382 ==========第396页========== 1.画出下列各极坐标方程的图形，并说出图形的名称 练习 (1)p=12; 29-受； (3)pco30=4; (4)p=-3csc9; (5)p=5cos0: (6)p=asin; (7)p2-3p-70=0.[提示：分解因式后，分别描图.] 2.不作出图形，比较下列各方程的曲线有什么区别？ (9=营和c0s9-云： 和sin9V③ (2)c0s9=1 (3)9=号和g0=V3; (4)p=10,p=-10和p2-100=0. 3.不作出图形，比较极坐标方程p=sin8和直角坐标方程y=in龙的曲线有什么区别？ §7·4求曲线的极坐标方程 有些点的轨迹问题，在求它的直角坐标方程时；比较困难，而在适当地应用极坐标法后，求它的极坐标方程时，却比较简单.求曲线的极坐标方程的方法和求直角坐标方程的方法基本相同，它的步骤是： 1·定坐标系：根据题意，选取适当的极坐标系； 2.设点：设P(p,9)是曲线上任意一点 3、列式：根据轨迹的条件列出等式表示曲线上点的性质； 4.代换：用P、B来表示这个等式，得到一个方程 f(p,A)=0: 5.化简：化简和整理后，得到所求的极坐标方程.下面我们举例加以说明 例1 求经过A(α，0)点，且和极轴垂直的直线，的极坐标 方程（图7·12）.· ·383· ==========第397页========== [解] 设P(ρ，)是直线？上的任意一点，因为飞⊥O%,所 以在直角△POA中， OP cos∠AOP=OA, 即 pcos9=a, 这就是直线，的极坐标方程。 P(p,) P(p,) 00 A(a,の~ 图7.12 图7.13 例2 已知一个直角三角形斜边的两个端点为定点，求直角顶点的轨迹的极坐标方程[解] 设直角三角形的斜边为OA,它的长度为2r. 以O点为极点，OA所在的射线为极轴，建立极坐标系 (图7.13). 设P(P,)是轨迹上任意一点，则 ∠0PA=90°， OP=0Ac0s∠A0P, 因为0P=P,0A=2r,∠A0P-9,所以 p=2r cos 0. (1) 这就是所求的轨迹的极坐标方程 〔注意) 应用§7·2的公式，可以将它化为直角坐标方程：将c0s9=元代入方程(1)，得 p=2r…g,02=2rx, 0 即 +y2-2rg=0. ·384· ==========第398页========== 它是一个圆心在(r,0),半径为的圆 例3 O是极点，O况是圆p=acos9 P(a,) 的弦（图7·14），延长0Q到P,使 (p,i) QP=a,当Q点在圆上移动时，求 0 P点的轨迹的方程 [解] 设P点的坐标为(P,8),Q点 的坐标为(p1,0),则 图714 1=0-风， (①) 01=0, (2) 因为Q(p1,01)在圆p=ac0s9上，所以 01=a cos 01. 将(1)(2)代入(3)，得 3/ a>b P y a-b a0); [提示：在方程p=&cos39中，以一p代P,同时以需+6代 ◆386◆ ==========第400页========== 日，得一p=acos3(r+0),即p=accs39,方程不变，曲线的周期是w.又以-6代日，得p=acos3(一)，即p=acos36,方程不变，曲线关于极轴对称，这样，日只要在 [,]内取值，禹由对称性就可以画出整个曲线 列表： 0 尔6 翠 雾 5c 2 12 a 0.7 0 -0.7 -G -0.7a 这条曲线三叶玫瑰线，] 900 900 12° 60 150 30 150° 300 / 180 -180 210° 330 2103 330 240 30 270° 270° (第1(4)题) (第1(5)题) 90 8go 135 45 135o 45 2250 315 25 315 (第J(6)题) (第1(7)题) ()p=asin39(a>0):(三叶玫魂线) (6)p=asin29(a>0):（四叶玫瑰线) :,:·.(T)p=ac0s29(a>0);(四叶玫瑰线) ●387· ==========第401页========== 2.过一个直径为2a的定圆上一个定点0，作这圆的弦OQ,在 O9上取P点，使OP.C0=a2,求P点的轨迹的极坐标方程，并且画出它的图形. 3.已知一个定点O和一条定直线1的距离为a,从O点向直线？作射线OQ,交直线！于点，在O观上取一点P,使P=a,求 P点的轨迹的极坐标方程.并且画出它的图形. 4.长为2的线段，其端点分别在两个直角坐标轴上滑动，过原点 O作这条线段的垂线，垂足为M,求1点的轨迹的极坐标方程 (以Ox为极轴)，再化为直角坐标方程. §7.5直线和圆锥曲线的极坐标方程 在这一节里我们来研究直线利和圆锥曲线的极坐标方程 1。直线的极坐标方程 已知直线1，设极点O到直线？的距离OD为p,∠OD=w, P(e,)是直线，上任意一点（图7·16）. P(o,の 连结OP, 0“ OP=P,∠0P=B. 在直角△ODP中 图7.16 ∠POD=ω-9，cos∠P0D=OD OP 就是 C0s(ω-0)= p 所以 p cos(0-)=p. 这就是直线的极坐标方程. 〔注意) 1、如p=0,方程变为 ·388● ==========第402页========== pcs(0-w)=0, 6-w=受 (或9-w-受，与上式表示同一条直线)， 就是 日=w+受（为定值)， 这说明直线经过极点而与极轴成w+受角。 2.如p÷0,ω=0，方程是 pcos0=p, 说明这直线垂直于极轴，与极垂线的距离是”. 3。如20，仙-受，即直线平行丁极轴，这时方程为 pos(g-）=n 就是 psing=p. 说明这直线平行于极轴，而与极轴的距离是2， 2.圆的极坐标方程 设圆心在C(p1,0),半径为T. P(p,0)是圆上的任意一点（图7·17）. 连结OC,OP和CP,则OC=P1,OP=P,CP= ∠0C=6,∠a0P=0,∠C0P=9-01. 在△OCP中， CP2=0P8÷0C2-2OC.0Pc0s∠C0P,m2=p23+p3-2p1pc0s(0-91), 即 p2-21pc0s(0-01)+pi-m2=0. 这就是圆的极坐标方程。 ●389· ==========第403页========== Pip, C(p,01) 06@9 (a) (b) 0 (c) (d) 图7.17 〔注意) 1.如中心C在极点，此时p1=0,即（图7·17(6）) p2=2, ..p= (0=一？或p=T表示同一个圆，所以只取正号). 2.如圆经过极点，并且中心C在极轴上.如(，0)， 即（图7·17(c)) P1=T,01=0, 则 p2-2rpc0s9=0, 就是 P=2r cos 0 （参阅上节例2) 3.如圆经过极点，并且中心在极垂线上，如(，)， 即（图7·17(）) pa=r:=受. 则 p2-2 pc(9-）-0, 就是 p=2rsing. ●890· ==========第404页========== 3.圆锥曲线的极坐标方程 从第五章§5·6圆锥曲线的统一定义我们知道，一个 动点P到一个定点F和一条定直线1的距离的比是一个 常数6，P点的轨迹是圆锥曲线.定点F是焦点，定直线飞 是准线，常数e是离心率 以焦点F为极点O,过 极点作准线1的垂线，和1 相交于H,取OH的反向延 长线0x为极轴（图7·18）， 人0 =0) 建立极坐标系 设焦点F到准线，的距 离|H이=p. 图7.18 P(0,)是圆锥曲线上的任意一点，连结OP,作 PD⊥l,PQ1O,则OP=p,∠OP=9. 根据圆锥曲线的定义 OPI PDI=6, 而 PD=QH=HOOQ1=p+PCo80,所以 0 p+pcosg=6, 即 80 0=1-8c0s8 这就是圆锥曲线的极坐标方程. 〔注意) 1.从上式得 p(1-ec0s8)=p, 即 p=6(十p), ∴.p2=62(x+p)2。 由此可得它的直角坐标方程是、 881● ==========第405页========== (1-g2）x2+y2-282px-82p2=0. 2.从第五章§56，我们知道当0≤6<1时，这个方程表示椭圆；当6=1时，这个方程表示抛物线；当6>1时，这个方程表示双曲线 例1 已知圆锥曲线通过4(0，)，B(38)两点，求这 圆锥曲线的极坐标方程，并判定它是哪一类圆锥曲线？[解] 设所求圆锥曲线的极坐标方程为： p= p 1-6c0s01 (1) 因为点A(,)和B(3,)在曲线上，所以 en 1-8c08g ep 3= 3r· 1-ecos 解这个方程组，得 4 31 9 p=4· 代入方程（①），得到所求的圆锥曲线方程为： 3 0=1-4cos0 3 471, 6= ∴。这条圆锥曲线是双曲线。 ·392· ==========第406页========== 例2 求证经过抛物线焦点和抛物线的轴成角B的弦长等于 印为焦点到推线的距离).2p Po,6の [解] 取抛物线的焦点为极点，抛物线的轴为极轴，建立极坐标系（图 Q(p,8+x) 7·19),则抛物线的极坐标方程为 p p=1-c0s0· 图7.19 设PQ是经过焦点O和抛物线的轴成9角的弦，P点 的坐标为(p,),Q点的坐标为(p1,π+)，则 PQ=OP+0Q=P+PL 2 1-c0s6+1-c0s(o+) P =1-cos9十1+08月 2p 、2p 1-00820in29。 1.写出下列直线的极坐标方程 练习 (1)经过板点，和极轴成证的角； (2)经过：(-3，)且垂直于极轴： (3)和极点的距离为6，且和极轴成”的角 2.写出下列圆的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径等于9； (2)圆心在(7,0)，半径等于7； (3)圆心在(4，受)半径等于4：4)心在(6，)半径等于3 3.以圆锥曲线的焦点为极点，焦点到准线的垂线的反向延长线为极轴，写出下列圆锥曲线的极坐标方程()焦点到准线的距离等于6，离心率等于3； 393· ==========第407页========== 根比(特 (2)焦点到耀錢的距离等于瓦，离心率等于： (3)焦点到准线的距离等于7，离心率等于1. 4.说明下列方程表示什么曲线，并画出图形： 6 (1)p=4-3cos百 (②）p=1-c0s6 (3)p=2-3cos0· §76等速螺线 在许多机械装置中，常常应用凸轮把旋转运动转化为从动杆的直线运动.如图7·20，当凸轮绕定轴旋转时，它推动从动杆作上下往复的直线运动 从动杆 凸轮轮廓线是根据从动杆运动的规律画出来的.从动杆运动有各种不同的规律，其中有一种是作等速运动，它的凸轮的轮廊线是等速螺线 凸轮 什么是等速螺线呢？ 当从0O点出发的射线OM绕着0点 图7·20 作等角速转动时，动点P在射线QM上，作等速直线运动， 我们把动点P的轨迹叫做等 速螺线或阿基米德螺线（图 P(p; 721). O Po(poy 0) 下面我们来求等速螺线的极坐标方程。 取O点为极点，以射线 图7.21 OM的初始位置为极轴O心，建立极坐标系（图7·21）. 设动点P的初始位置为Po(o,0),射线OM绕O点 转动的角速度为，点P沿射线OM运动的速度为U.经 过时间t,射线OM转过角度9，动点到达点P的位置，设◆'894● ==========第408页========== 点P的极坐标为(P,)。:因为射线绕着0点作等角速转 动，所以 (1) 又点P沿射线OM作等速直线运动，所以 p=p0十t, (2) 由(1)式，得 t=w' 代入(2)式，得 p-po+0. ) 因v和w是常数，故设”=a(a≠0)，则 p=po+ag, 这就是等速螺线的极坐标方程， 当Po=0时，等速螺线的方程变为 p=a0. 这时极径p和极角&成正比例. 〔注意〕 1.等速螺线的极坐标方程p=po十a0中，如果a>0,那末极径随着极角的增加而均匀 P M 增加（图7.21）.如果a<0,那末极径随着极角的增加而均匀减 Po 少（图7·22）. 2.从方程p=p心十a8,可以 图7.22 知道，当射线OM转动一周（即2r弧度）时，点P在OM上移动（即极径的增加或减少）的距离为2ra,我们把2ra叫做等速螺线的螺距，用d来表示，则d=2ra{,{al-= 这样，等速螺线的方程也可以表示成p=p0+2日，或 ◆395· ==========第409页========== 其中d为等速螺线的螺距，p二po十2B和p=0一2分别表示极角增加时，极径增加和减少两种情况。例1 作p=88的曲线. [解] 因为一p=3(-),所以曲线关于极垂线对称 当0的值增大时，ρ也随之增大，所以曲线伸展到无穷远. 列表(8用弧度)： 士花 6 3 士受 メ 士死 6 0 ±1.6 土3.1 ±4.7 士6.3 土7.9 土9.4 4 3 공 十2死 土11 士12.6 ÷14.1 士15.7 士17.3 ±18.8 曲线如图7·23，实线表示P,9的值均是正时所对应的曲 线部分；虚线表示ρ，B的值均是负时所对应的曲线部分。 2 6 1 3 图7.23 ·396· ==========第410页========== 例2 一条等速螺线共有三圈，它的起点A和终点B分别与 射线端点O的距离为20om和35cm,求这条等速螺线的方程， [解] 以O为极点，OA为极轴建 立极坐标系（图7·24），设所求的等速螺线的方程为 p=Po十ad, 图724 因为 P0=20, 所以 p=20-+0, 又点(35,6x)在曲线上，所以 35=20+w×6m, 解这个方程，得 5 a=2G· 因此这条等速螺线的方程为 p=20+0(0≤0≤6m). 2 例g 某机床的一个凸轮，它的轮廓线由三段不同的曲线组成（图7·25）.设计的要求如 (35,） 下： 凸轮按顺时针方向绕着O 5 点作等角速转动，开始时从动 25,0- A(25,2s) 杆接触点为A,0A=25cm. ()当凸轮旋转受时，将o(,) 图7.25 从动杆自A点向右方等速推出10om; ②凸轮继续旅转时，从动杆保持不： (3)凸轮再旋转答时，从动杆等速退国到原米位登 A点. ·397· ==========第411页========== :手正球.点牙求这三段曲线的极坐标方程 [解] 以O为极点，OA为极轴，建立极坐标系（图7·25）. 因为曲线AB是等速螺线，设它的极坐标方程为 p=po+ag (1) 因为 P0=25, 所以 p=25+a0. 又点B(85,)在曲线上，所以 35-25+a×受， 解这个方程，得 Q=.20 代入方程(1)，得到曲线AB的极坐标方程为 p=25+206(0<6≤罗) 因为曲线BC是圆弧，所以它的极坐标方程为 0=35(受≤9<) 由于曲线CA是等速螺线，设它的极坐标方程为 p=p%+a'8. (2) 医为点0(35，智）》和点4〔25,2m)都在曲线上，所以 5=以+a×誓 25=p0+a'×2x. 解这个方程组，得 p%=55,a=、15 元 代入方程(2)，得到曲线CA的极坐标方程为 =-9(0<2人 ●8g8· ==========第412页========== 1.如图，已知一条等速螺线的起点在中4织，圆上，终点B在中102圆 练习 上，起点到终点要转警职熙，在以Q为板点。Q4为极轴的及 坐标系中，求这条等速线的方程： 65 0130 42 B (第1题) (第2题) 2.某自动机床上有一个凸轮，它的轮廓线ACB是一段等速螺线 (如图)，A点到旋转中心O的距离Pp=60mm,轴心角∠AOB=30°，工作时曲线ACB能把从动杆推出5mm,求这段等速螺线的极坐标方程。3,画出下列等速螺线的图形： (1)p=50; (2)p=-39; (3)p=2+39 4.求极径和极角成反比例的点的轨迹的极坐标方程 可：题 1.一个彗星的轨道是抛物线，太阳位于这条抛物线的焦点上，已知 75w 76 彗星距太阳1.6×103公里，极径和轨道的轴成号的角，求这个 彗星轨道的极坐标方程，并且求它的近日点离开太阳的距离 2.经过圆锥曲线的焦点F作任意的弦P1P,求证配十P7 是一个定值. 3.一凸轮如图所示，当它按箭头方向等速转动时，要求： (1)从动杆接触弧ABC时，从动杆不动； (2)从动杆接触弧CDE时，从动杆等速向右移动. 试按图中尺寸写出该凸轮轮廓线ABC和CDE的极坐标方 程。 ·399· ==========第413页========== 11 (第3题) (第4题) 4.由于某种需要，设计一个凸轮，轮廓线如图中所示，要求如下： 凸轮依顺时针方向绕点O转动，开始时从动杆接触点为A,OA =4Gm, (1)当从动杆接触轮廓线ABC时，它被推向右方作等速直线运 11 动.凸轮旋转角度分r时，有最大推程14©m; (2)当从动杆接触轮廓线CA时，它向左等速退回原位， 求曲线ABC和曲线CA的方程. 本章提要 1.极坐标的概念 (①)极坐标系的建立和极坐标的表示方法； (2)极坐标的多值性 2.极坐标和直角坐标的互化 (1)极坐标化为直角坐标 a-pcos0, ty=osin. (2)直角坐标化为极坐标 p2=22-+y2, {tg日型 0400· ==========第414页========== 8.描绘极坐标方程的曲线可分成下列几个步骤： (1)解方程，化为p=f(): (②)讨论曲线的周期和对称性，确定0的取值范围， (3)列表： (4)定点描图 4.求曲线的极坐标方程可分成下列儿个步骤： (1)定坐标系； (2)取点； (3)列式 .(4)代换； (5)化简. 5.直线和圆锥曲线的极坐标方程 (1)直线pC0s(9-w)=p; (2)圆p2-2p1pc0s(0-91)+p子-r2=0 (3)圆维曲线p=1-68sf ep 6.等速螺线的极坐标方程p=pu十a9. 7.本章研究的思想方法和平面直角坐标一样，首先通过极坐标系建立平面上的点和极坐标之间的对应关系以及平面上的曲线和极坐标方程之间的对应关系，然后解决两个基本问题：已知曲线求极坐标方程和已知极坐标方程画曲线.在此基础上研究各种曲线.要注意将极坐标和直角坐标进行对比，掌握它们的异同相互转化. 复习题七A 1.在极坐标系中，平面上的一个点和它的极坐标是不是一一对应 ·401· ==========第415页========== 的？为什么？ 2.已知4点的极坐标为(4，罗)，如果极点0在直角坐标系O, 中的坐标为（一1,2），极轴平行于x轴，且方向相同，长度单位 也相同，求A点的直角坐标 3.化下列极坐标方程为直角坐标方程： 1y:p= 2 1+sgin日 (2)p=a8in39; 提示：化sin39=3sin0-4sin36,p=g] 0 (8)p=sin20; (4)o=acos3 [示：용은人9-4g용-3o] (5)p=asin0+6; (6)p=-4ctg日csc9. 4.化下列直角坐标方程为极坐标方程： (1)g2=x3 24-x (2)(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0; (3)y2+4ax-4ax2=0. 6、在9=票85-1，血9-等三个方程中，它们所表示的曲线 是不是相同的？为什么？ 6。-个三角形的顶点是4(6，哥〉(8，吾C(-3,言》， 求证ABC是一个等边三角形 提示：IAB|=BC|=CA|=7.] 八求证抛物线的焦点弦的两个端点到抛物线的轴的距离之积是一 个常数 [提示：·设两点极坐标为(p1,θ)和(2,9+m).] 8.证明经过点P(p1,01)和极轴成a角的直线方程是 psin(0-a)=pisin(01-a). 9.画出下列各极坐标方程的图形： (1)p= 8 1T-2c0s日 (2)p=a(csc0+1); (3)p=a cos-号9 (4)p=匹(双曲螺线)： (5)p=g9(对数螺线)。 ◆402◆ ==========第416页========== 135 90° 2a D (第9(2)题) (第9(3)题) (第9(4)题) (第9(5)题) 10.过圆上一定点O作直径0A,再过A点作这圆的切线ZK,从O 作一任意直线交圆于D,又交工区于E.在OE上取一点P,使 OP二D形，·求P点的轨迹的极坐标方程，并把它化为直角坐标 方程。 11.从极点0引一直线和圆p2-2 apcos(0+a2-r2=0相交于一点,P点分线段OQ成mn的比，当Q点在圆O上移动时，求P点的轨迹的方程，并画出图形. 12.极坐标平面内，动点P(p,0)移动时，P与co号成反比例通数关系： (1)已知动点P(P,日)的轨迹经过(1,0)点，确定轨迹的极坐标 方程； (2)把极坐标方程化为直角坐标方程，并指出轨迹是何种曲线。 ·403● ==========第417页========== 13.我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球的中心为一个 焦点的椭圆，轨道的近地点（即距离地球最近点）离地球439公里，远地点离地球2384公里，求轨道的极坐标方程（地球半径为6371公里). 14.求证：如果P(p1,91)和P:(p2,02)是等速螺线上的两点，那末p一p1和一9：成正比例. 15.某自动机床上一个凸轮的平面 图如图所示，它的轮廓线ABC 65° 部分和ADC部分是对称的， 从动杆接触ABE段时，从动 D 杆不动；从动杆接触C段时 (∠OG=65°)，从动杆被等速 (第14题) 推出，求凸轮各段轮廓线的极坐标方程（其中0C=33mm). 复习题七B 1.在极铺上求一点P,使与A(-3,-罗)和B(8区，-受)两 点等距离 2.极点不动，把极轴反时针方向转过角，设一点P的坐标原为 (p,9),经过转轴后对新极轴的坐标为(p',8),则有关系： p'=p,0'=8-%, 亦即 p=p',0=04a. 根据这公式，说明下列每组极坐标方程的图形间的关系： (1)p=acos0,p=asin0,p=cos(0430); (e)p=1-80osgp1+8cg?p-I-gsin03ep ep 鲤 (3)p=a(1-cos8),p=a(1-8in8). 3.求下列两曲线的交点： p=2-2c0s8, (1) 1 p=1-eos0· 提示：2+20o39=1-0s日， ●04o ==========第418页========== (1) 135 45o 35o (第3(1)题) 即 1-6ae0-京， 即 in2g-牙.sing=主. 2 2 故 0=±45°，±135°. 代入第一式得四个交点 (2+V2,土5)，(2-V②，±135).】 p=:4sine, (2) (3){peos9-=4, p=2 tp=4cos0. 4.求经过两点A(p1,1)和B(P2,02)的直线的极坐标方程， [提示：设P是直线AB上任意一点，O为极点，则SA4oB= SA0P十SAFOB.] 5.正三角形ABC的顶点A为定点，顶点B在定直线？上运动，求 顶点C的轶迹 ep 6.已知双曲线的极坐标方程为p=一es,求证它的渐近线的夹角是are cos2-e2 e2. 7.求证：圆锥曲线通过焦点的弦的中点轨迹也是圆锥曲线。[提示：设圆锥曲线的极坐标方程为 ep M(p,θ) p=Iーe cos6 7 如图PQ是过焦点F的弦，则 ep IP-1-ecos0 (第7题) ◆05。 ==========第419页========== e008(1600s0 ep ep P?的中点M的极坐标为(P1,), eEM=FP-MP=FP_FQ+FP 2 -四≥9-是(1-8ep ep 2 14ecos e2pcose1-e cos2F・ 再把它化为直角坐标方程，即可证明.] 8.已知两个定点A、B的距离是2a,动点P满定关系：PA·PB= α2，求P点的轨迹的极坐标方程，并且描出它的曲线 [提示：取AB的中点O为极点，OB为极轴，应用余弦定理，] 9.在上题中，如果PA·PB=b2,求出P点的轨迹的极坐标方程. 10.已知A为定圆0内的定点，0B为⊙0的任意一条半径，连结 AB,过A作APL.AB,交OB于点P,求P点的轨迹的极坐标 方程。 第七章测验题 1.已知P点的极坐标为（(10，)写出P点的其他极坐标，使得 (1)p<0,0≤9<2； (2)p>0,.-2m<0≤05 (3)p<0,一m<9≤r 2.(①)化点A的极坐标(-8，-3亚)为直角坐标： (2)化点B的直角坐标（一3V2,3√6）为极坐标. 3.(1)化极坐标方程p2cos29=9为直角坐标方程； (2)化直角坐标方程2+8y=0为极坐标方程. 4.画出方程p=a(1-sin0)的图形. 5.已知方程p= 5 3-4c0s0: (1)说出它表示什么曲线； (2)画出它的图形； (3)把它化成直角坐标方程. ●40B◆ ==========第420页========== 6.已知定圆的直径OA=2,从点0狂作定圆的弦OB,过B作 BOLOA,C为垂足，，又过O作CP上OB,P为垂足，求P点的 轨迹的极坐标方程， 7.通过椭圆的一个焦点F,引互相垂直的两条弦AB和CD,求证 而+动是一个常数 8.在极坐标平面内，动点P(,)移动时，p与im号成反比例函 数.已知点P的轨迹经过(1，π)点.求轨迹的极坐标方程，并 把'它化为直角坐标方程的标准形式 ●407● ==========第421页========== 总复习题A 1.证明连结A(一4,0)，B(12,2)两点的直线的垂直平分线必经过P(5,一7) 点 2.已知一个矩形的三个顶点分别是A(2,2),B(4,6)C(6,5),求： (1)它的第四个顶点D的坐标： (2)矩形的面积； (3)对角线的长； (4)对角线的父点M 3.求证以(，1)，(，)和(3，)为顶点的三角形的三条高所在的直线 的方程是 (x-1)(2—『3)+(9—91)(eー3)=0，(c-x2)(3一x1)+(y-y2)(一y1)=0,(c-x3)(1-2)+(y-y3)(1一y2)=0. [提示应用直线方程的点斜式.门 4.用解析法证明 (1)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离的和等于一腰上高的长： [提示：取底边所在的直线为x轴，底边上的高为y轴.] (2)等边三角形内任意一点到各边的距离的和是一个常数 5.设P点与4(4，一3)，B(2,-1)两点的距离相等，并且到直线4c+3y一2 =0的距离等于2，求P点的坐标 [提示：求两轨迹的交点.门 6,两直线(3-2)x+(1一4a)y+8=0和(5a-2)x+(a+4)y一7=0，当参数a为何值时，互相垂直？ 7.求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P(3,2),并且在两轴上的截距的绝对值相等； (2)经过两直线2x一y+4=0,x一y+5=0的交点，并且和点P(2,一1) 的距离等于5个长度单位： (3)在y轴上的截距是一2，并和直线x+y=0的夹角是135°； (4)经过两直线3+2y一6=0和4c一3y-12=0的交点，并且和两坐标 轴所围成的三角形的面积是3. 8.已知三条直线心十b则+1=0,2c一y+5=0,一1=0相交于一点，求， ·408 ==========第422页========== 6之间的关系式 9,已知三角形的三个顶点是A(12,48),B(10,108)和C(9,18).求它 的面积 提示，应用公式S=号aisinC..] 10.已知4，A,C的极坐标分别是(5，罗)(8，g)和(3,7)， (1)求A,B,C各点的直角坐标； (2)用两种方法（在直角坐标系和极坐标系下）证明△ABC是等边三角 形. 11:已知A(0,1),B(1,0),C(2,1)是三角形ABC的三个顶点，求它的外接 圆的方程，外心的坐标和半径的长 12.求证以定点P1(,1)和P(c2,)为直径两端点的圆的方程是 (x一1)(c-2)+(yーy1)(ー2)=0。 [提示：设P(x,y)是圆上的任一点，则2，kPP,=一1.] 13.求以C(5,4)为圆心，并且外切于圆x+一4红-5=0的圆的方程， [提示：两圆半径的和等于它们的连心线的长.] 14.设三个圆2+y2+1D+Ey+F-0(i=1,2,3)两两相交，证明每两圆的 公共弦（有三条）共点. 15.设以C1(a1,b1)和C(w2,bg)为圆心，r1和r2为半径的两个圆有公共点P, 证明 os∠C,P02=+8-[(21-a2)2+(61-b2）1 2T172 当∠C1Cg=加时，两园外切，当∠C1PC=0时，两圆内切，又当∠C1PC,=受时，这两圆称为直交，) 〖提示：先写出两圆的标准方程，然后用余弦定理证明.] 16.(1)从原点向圆（一8）+y2=64作弦，求这些弦的中点的轨透的方程； (2)P(E,y)到P1(x1,y1),P:(2,y2)两个定点的距离的比是一个正数m,求P点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1或m≠1两 e 种情况) 17.(1)一动点P(,y)把圆2+y=25上各点的纵坐标分成2：3，求这动点 弹 的轨迹的方程； 云 丙 [提示。设相应P点在圈上为心，y),则e=d,y=号，∴d=多 ·09· ==========第423页========== 可=号y代入圆方程…] (2)P'(x',y)点在圆x2+y2=a2上移动，P点和P'点的横坐标相同，它们的纵坐标之比是b:a(a>b>0),求证P点的轨迹是椭圆 b2x2+a2y2=a2b2, [提示哥名把y=云y和女=代入+y=即得.] pl(c',y P(x,) (第17(2)题) (第17(3)题) (3)经过圆2+g2=a2和椭圆器+器1上横坐标相同的各点，作坐标轴的平行线，得到如图所示的一系列的矩形： ①证明属于椭圆和属于圆的相应的矩形的面积之比是b:α，[提示：根据第17(2)题的结果.门 ②证明椭圆的面积是S=πb; [提示：圆和椭圆的面积，可以看成是相应的矩形（矩形数增至无限时)面积的和的极限，在极限情况下，椭圆的面积与圆的面积之比也是b:a,但圆的面积是πa2,由此可证得椭圆的面积是S=rab.了 (4)根据第17(3)题的结果，求下列各椭圆的面积： ①4如2+9y2=36, ②2+2y2=12, ④45x2+20y2= 18.已知经过P(5,-1)点的椭圆的两个焦点是乃(2,3)和2(2，：-5).求这 个椭圆的方程. 19.菱形的边长是5，高是4.8，以它的两个相对的顶点为椭圆的两个顶点，另两个相对的顶点为焦点，用菱形的对角线作坐标轴（取长的对角线为心轴）， t410◆ ==========第424页========== 求这个椭圆的方程 [提示：设菱形为PRQS,今对角线P?>3.“P,Q在g轴上.作 0K⊥PR.则0K=2.4.今0P8+02=25,又QP.0R=5×2.4=12.故 OP=4,OR=3。先以P,?为两焦点，可求得一个椭圆，又以五，8为两焦 点，又可求得一个椭圆.] 20.地球的子午线是一个椭圆，长轴和短轴的差与长轴的比（即8。）等于,求它的离心率 提示 8g-V-(g】 a-b=1 21,从椭圆的短轴的一端看两焦点间的线段所成的视角是直角，求这个椭圆的离心率 22.求与两定圆 C1:x2+y2=4,C2:2+y2一12ac一64=0 相切的圆的圆心的轨迹，并说明轨迹是什么、曲线（要求作图）， 23.证明 ()从双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长： (公k是不等于零的实数，丙直线bc+a侧-k和bx-4y=子的交点必定在 一双曲线上. [提示：消去k,可得一双曲线方程.] 24.设1和，e2:分别是双曲线… 器1和-器-1 :的离心率，证明e好+=e吃. 提示：i=,=亏，又2+2=以，] 25.求下列双曲线的离心率 (1)渐近线间的夹角是60°； (2)从焦点看双曲线虚轴的线段，视角为60°， 6.(1)已知双曲线的离心率e=2,求它的两条渐近线间的夹角； .:(②)已知双曲线的两条准线间的距离的4倍等于焦距，求它的离心率。 提示：准线间的距离是22 7.证明： 0411● ==========第425页========== ()经过双曲线上任何一点，分别作平行于渐近线的两条直线，这两条直线与两条渐近线所圈成的平行四边形的面积是一个常数；[提示：这个常数是子b.] (2)双曲线的任何-一条切线，与两条渐近线所周成的三角形的面积是一个 常数. [提示：这个常数是ab.] 28.已知双曲线准线间的距离等于6，焦距等于10，求双曲线的标准方程 29.求以原点为一个熊点，直线3x+划一12=0为准线，离心率为3的双曲线 的方程 30.在双曲线上可可否作任何方向的切线？如果不可能，那末这双曲线的切线的 斜率应有什么限制？ 31.一只探照灯的凹面镜边像的直径是0.8米，深度是0.3米，求它的焦点的位置 32.抛物线的顶点在y轴上，它的对称轴平行于如轴，且通过（登，3）和(2,4)两点，求这抛物线的方程 [提示：设(y-b)2=2p,求6，义.] 33.证明： (幻)抛物线上任意一点到它的对称轴的距离是这点在轴上的射影至顶点 的距离和通径的比例中项；[提示通径=2p.] (2)抛物线y2=2x的任何切线截心轴负方向的线烫的长等于切点的横坐 标，而截y轴上的线段的长等于切点的纵坐标绝对值的一半； (3)抛物线的对称轴与它的准线相交于A,抛物线的通径的两个端点是B 和C,则BAICA 34.(1)求抛物线=2px上各点的纵坐标的中点的轨迹； (2)求抛物线y2=2x上各点的焦点半径的中点的轨迹 35.证明： a2+42 (1)椭圆=1上任意一点P(,o的两条焦点半径的长是a士ero; ②双曲线器-二-1上江意一点P,,0)的两条焦点半径的长是2- etro士a(或一exo a); 0412● ==========第426页========== 7 (3③)抛物线g2=2x上任意一点P(,0>的焦点半径的长是+号. 6,设在椭圆上任意一点P1(1,y1)的切线与椭圆在长轴的两端A'和A上的 切线相交于Q和，求证积A'Q'·AQ是一个定值 37.用移轴和转轴来化简下列各二元二次方程，并且(1)作图；（②）求出新坐标轴对于旧坐标系的方程： (1)6ax2-4cwy+3y°+4+12y+5=0; [提示把原点移至（←-号，-0）又cg9=~」 (2)8x+12ay+3y2-8x+5=0: [提示把原点移至(-1,2)，cdg29-음 (3)9x2+24y+16y2-+30x-210y+975=0; [提示g9=身] (4)18.x2-12cy+2y2-21x+7gy-15=0; (5)9x2-30y+25w2+12c-20y+4=0. 38.有一物体存：平地上以初速v米/秒和水平线成：角向上抛出： (1)以出发点为原点，水平方向为c轴，求物体所经过的轨迹的方； (2)求物体达到的最大高度； (3)求物体的射程（即出发点到落地点的距离）； (4)如初速固定，求证当α=5°时，物体的射程最大。 39.参数方程 x=1十pC0SB, y=y1+psin0 中，(1)如！ρ为定值，日为参数；(2)如9为定值，p为参数时；它的曲线分别是什么？ 40.设一直线经过点P(-3,8),并且与Ox轴的领斜角为 (1)写出这条直线的参数方程；(②)设这条直线与曲线 x=2co8日，y=4sin日（日为参数） 相交于A,B两点，求乘积IPA1·PB1. 41.设MN为圆O内平行于直径AB的任意弦，Q是MN的中点，求OM和 AQ的交点的轨迹， ·413◆ ==========第427页========== [提示：如图建立垒标系，取ZO亚=日为参数，先求出OM和A?的方 程，再求出它们交点的坐标，门 80 (第41题) (第42题) 42.如图，∠MOV=60°.边长为a的正三角形ABP在∠MON内滑动（不能 翻动)，使得A始终在OM上，B始终在ON上.求点P的轨迹方程；并求 其直角坐标的标准方程；说出轨迹是何种曲线：并画出它的草图。43。画出下列各极坐标方程的图象，并把它们化成直角坐标方程： (）p=名-0sf6 (②)p*28in8.+3cos8.: 4.等边三角形的一个顶点为定点，另一个顶点在 Piの 定圆上移动，求第三个顶点的轨迹的方程 [提示：以定点O为极点，定点O和定圆圆心 C连结的射线为极轴，设定圆圆心C的坐标为 (a,0),半径为r,第三个顶点为P(P,),应用余弦定理即可以求出轨迹的方程.门 (第44题) 45.·求分连结圆锥曲线上任意一点和焦点的线段成定比的点的轨迹的方程。 总复习题B 1.已知△ABC的∠A的平分线所在直线的方程为2+y一-1=0，两个顶点 分别为：B(1,2)和C(-1,-1),求顶点A的坐标. 2.在直线x一y十1=0上求一点，使它到两直线2+y-1=0.和3x-y士2=0 的距离的平方和为最小 3.求与直线++1=0相切于点(1，一1)，且被x轴截得的弦长为4的圆的方程 4.设等腰三角形OAB的顶角为28，高为h, .·414◆ ==========第428页========== (I).在△OAB内有一动点P,到蓝边OA对OBAR的距离分别为1PD引， !PF,1P1,并且满足关系PD·P军=P刚，求P点的轨迹： (2)在上述轨迹中定出P的坐标，使得 IPD1+IPE1=PF叫. K P (第4题) (第5题) 5.在正方形ABCD内侧，作等边三角形ABK,BCL,CDM和DAN,试证 KL,LM,MN和NK这四条线段的中点和AK,BK,BL,CL,CM,DM, DN,AN等八条线段的中点是一个正十二边形的十二个顶点. 6.如果抛物线y2=2c的两条切线的交角是45°，求两切线交点的轨迹.[提示：设这两条切线的斜率分别为1和2，则它们的方程分别为 y-e+品和y=r+狗 求出它们交点的坐标 261高，划=(6+卫2b16g 又知道 tg45=一1 上+1k2 再消去和？后即可得到轨迹的方程.] 7.如果抛物线x2=8的切线交等边双曲线yx4于A、B两点，求AB中点的轨迹 [提示：设切线方程为x=4(y+0),在方程组 ox=4(y440), 【y=4 中消去，得 0c2-4y0x-16=0, 消去，得 y2+y0y一40=0. 再应用韦达定理，得 1十购=4地， 3C0 y1十=.一0.] ●415● ==========第429页========== 8.求证抛物线两条互相垂直的切线的交点在它的谁线上。 9.已知地物线y2=2, (1)在抛物线上任取两点P1(11),P(a2,2),经过线段PP2的中点 作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交丁P3,证明：△P1P2P的面积 为云11-如号 (2)经过线段P1P3,P2P3的中点分别 Q 作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q1,Q,试将△P1Ps91与△P2P2的面积和用y1,y?表示出来； (3)仿照（②）又可作出四个更小的三角形，如此继续下去可以作出一系列 (第9题) 的三角形，由此设法求出线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积 10.P和P为抛物线上两点，过这两点的切线交于P,F为抛物线的焦点，则 PF2-FP1FPa. 11.长度为1(t≥1)的线段两个端点A和B在抛物线y=x2上移动，这条线 段的中点是M,求离x轴最近的M点的坐标。 [提示：设线段AB的延长线的倾角为，A 点和B点的坐标分别为(1，)和(x2,),则 x2一c1=1C0S%, (1) B 号-a=l8inc, x2中x1=ltga. (2) (1)+(2),得 (第11题) -官(ga+co, (2)-(1),得 （(ga-1as. 21= 设M点的坐标为(，y),如 y=于-子(g2a+cos2a)）-=(saoa+cas2a-10,24 由此可以求出y的极小值.] 041日◆ ==========第430页========== 12. 证白湘国+넣ー1的点的粉量饿，を+ 上 13.从椭圆b2c2-+y2=2b2上一点1M(1,1)向椭圆族 b2w2+2r2=a262(0≤k<1) 的每一个椭圆作切线，求切点的轨迹的方程， [提示：设切点的坐标为(xco,y),则切线方程为bxoc+ay=6,从方程b28+a2y=k%2和bo1+ayy1=-a62中消去飞，即可求得切点的轨迹的方程.] 14.证明从焦点到椭圆的任一切线的垂线和连结中心与切点的直线交于准线上 [提示：先求出切线的垂线和中心与切点连线的方程，然后证明它们与准线共点.] 15。求椭列+=1的切线被两坐标轴款得的最短线段的长。 [提示：椭圆的参数方程为 x=acos0, y=bsin0 过P(acos0,bsin)的切线方程为 acosein1 b 它与x轴、y轴的交点为A(g,B(,品) 1AB1= b2 c0826+s1n26 可以求出它的最小值为a+b.] 16.设AB是定圆O的直径，M为圆O上的动，点，过M点的切线和过A、B两 点的切线分别交于D、C,求梯形ABCD的对角线交点P的轨迹。 [提示：设圆O的方程为 =r cos6,y=r sin0, 则过M(r cos0,rsi如0)点的切线CD方程为：xcos9+ysin6=y.先求出 C和D两点的坐标，然后求出AC和BD的方程，最后得到P点的轨迹的 方程.] 。417· ==========第431页========== 17.抛物线上任一点的切线与准线交于A点，和过焦点F且垂直于抛物线轴的 直线交于B点，求证|FA=FB) 18.求双曲线的一个焦点关于双曲线的切线的对称点的轨迹的方程。/ [提示：设双曲线的方程为 过： x=asecp (y=bt培p, 过M(%secp,btgp)点的切线方程为 sec巴一ytg2✉1. b 因为P(,)和F(c,O)关于切线MN对称，所以PF⊥MN,且PF的中 点N在切线MN上，可以得出 b. 2-a:立sin平=ab cosp, 消去参数中，就得到轨迹的方程.] (第18题) (第19题) 19.定角AOB内一点P向角的两边作垂线PM和PN,如果四边形OMPN的 面积等于2，求P点的轨迹的方程 [提示：如图，以∠AOB的顶点O为原点，角平分线所在直线为x轴建立直角坐标系，设∠AOB=2a,∠OP=9,0为参数，根据 号1oM-P1+号1ow1PN1=a2 的关系，导出轨迹的方程] 20.求证对称轴互相垂直的两条地物线的四个交点共圆， 21.在抛物线y=a(常数a>0)的上侧（即y≥a)求出一个与抛物线相切于 原点的最大的圆 ◆418· ==========第432页========== :T倒过总s【: [提示：抛物线方程为 y=ax? (1) 与这条抛物线相切，且在x轴上方的圆的方程为 x2+(y-)2=2(h>0), (②) (1)代入（②），得 x2+(aax2-h)2=h2, 即 x2[a22+(1-2a)门=0， x=0,y=0,抛物线和圆相切于原点， a2x2+(1-2a2)=0. 分1-2ah>0,1一2ah=0,1-2ah<0三种情形加以讨论.] 22.设A,B,C不同时等于0，证明方程 Ax2+Bxy +Cy2+Dx+Ey+=0 (1)表示两条直线的条件是 2A B D B20 E =0 DE 2F [提示：设A+0,就龙解方程.] (2)所表示的两条直线的夹角是 aretgV440(设B2-4AC>0) A+C [提示：设 (ax+by+c)(a'x+b'y+c)=Ax2+Bxy+Oy2+Dx+Ey+F,得ad'-A,ab'+ab-B,bl-C,XtEp-9'-a'b a'+bb", 而 ab'-a'b=√(ab'+db)2-4ab6=√/B2-4A0.] 23.在一个直角坐标系中，把x轴和y轴分别旋转至新的位置，使新x轴（称它 为x轴)与x轴成角B,同时使新y轴（称它为轴）与优轴成角中.对同 一点的坐标的变换公式是 Tx=x'c0s9+yc0中，y=x'sin0+y'sin d ()若=受+9时，上面的变换公式是什么？ (2)若6=0时，变换公式是什么？ (3)在直角坐标系中一个双曲线的方程是b2-cy2=ab,今以它的两条渐近线为新轴时，它的新方程是什么？ ◆419● ==========第433页========== [提示： (①)巾=受+9时，两新轴的夹角是直角，所得的变换公式是第五章里的 转轴公式； (②)这是一般的由直角坐标变换为斜坐标的变换公式（假定新、旧轴重 合，而两轴的夹角是中)； (3)因为坞9=。，g中=-b a ，且在第I象限，中在第I虹象限.所 以 b os日-√a+i9=了a4, 6 cos巾-7a斗6，sin中-7a动 把这四个式子代入双曲线方程….] 24.已双曲线的中心在点0'(2，一1)，实轴的一个端点为A'(一4,3)，虚轴 的一个端点为B(4,2),求这条双曲线的方程. 25,求被曲线族42+5y-8mc一20m1y+24m2一20=0(m是实参数)的每一 条曲线截得的线段都等于号V万的直线的方程。 [提示：曲线族是一族椭圆： 0-m)2+（-2)2 它们的中心(m,2m)在直线y=2x上，被每个椭圆截得相等线段的直线与直线y=2c平行，设所求直线的方程为y=2x+b.] 26.A为两圆x2+y2-9=0和x2+y2-8c-9=0 的一个交点，过A点！动直线，交两圆于M、 N,在直线1上取点P,使}PA)=MNI,求 点P的轨逃. [提示：解方程组 02+y2-9=0, (1) 1x2+y2-8a-9=0 (2) 求得两圆的交点为(0,3)和(0，一3).当A点 坐标为(0,3)时，直线1的方程为 (第26题) 心=tc0s日， (3) ly=3+tsin0 ·420● ==========第434页========== 将(3)代入(1)得 AM=1=-6 sin0 将(3)代入(2)得 AN=t2=-6sin9+8cos8。 AP-MN-8C0S0, AP!=-8cos0, 设P点的坐标为(，y),则由 C=÷APc0s日， y=APsin0+3, 可以求得P点机迹的参数方程，消去参数日，就得到P点轨迹的普通方程， 同理可以求得P点轨迹的方程。如果A点坐标为(0，一3)，用同样方法可 以求得轨迹的方程.] 27.A、B为已知二次曲线上的两个定点，过A、B任作一圆，设该圆与已知二 次曲线交于另外两点C、D,求证直线CD有定向. [提示：取A点为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设B点坐标为(l,0),二次曲线方程为x2+by+cg+ec+fy十g=0,由A(0,0), B(,0)在曲线上，可得二次曲线方程为x2+by+cy2-1c+fy=0.过A、 B两点的圆方程为2+y2一2+y=0.两式相减，即可求出直线CD的方程.3 28.求证抛物线上任：意四个点组成的四边形不可能是平行四边形 [提示：设抛物线方程为 12=20t2, ly=2pt. 四个点为A(2p号，2pt1),B(2pt号，2pt2),C(2t3,2t3),D(2p,20t)，其中t1,t2,t3,t4互不相等.] 29.过已知圆A外一个已知点O,作直线和！圆交于P:和P,在这直线上有一 点卫，使品品+求P点的轨迹 30.从定圆上一定点A作两条弦AB和AC,如果 |AB1·|AC=飞（定值），求证直线BC道切于 一定圆. [提示：以A为极点，过A的定圆直径所在直 线为极轴，建立极坐标系.设定圆半径为， (第30题) 圆的方程为p=2rcos8.设弦AB,AC和极轴的夹角分别为a,B,则 B,C的极坐标各为(2 r cosa,a),(2cosB,B),直线BC的方程为 pcos(0-p)=p.] ◆421● ==========第435页========== 总测骏题 1.在等腰直角三角形中，直角顶点坐标为(5,4)，斜边所在直线的方程为x+5y+1一0，求两直角边所在直线的方程 2.求以直线6c一3一4=0被抛物线y2=6所截得的弦为直径的圆的方程. 3 3.已知双曲线的焦距为10，渐近线方程为y=土x,求它的标准方程. 4.一直线移动时，始终和坐标轴围成面积为S的三角形，求内分包含在坐标 轴间的线段为定比A的点的轨迹的方程 5.求椭圆72+4y2=28上的点到直线3ac一2y一16=0的最短距离 6.化简方程2c2+4y一y2一20c一8y+32=0,画出它的图形，并求出在原坐标系中焦点的坐标，准线的方程. 7.已知等腰三角形的直角顶点在x轴上滑动，另一个顶点在y抽上滑动，求第三个顶点的轨迹的参数方程，并把它化为普通方程， 8.求证中心在极点，焦点在极轴上的椭圆少+器-1的极坐标方程为 62 p2=- 1e2 cos20・ 9.求证过抛物线的焦点引它的任意一条切线的垂线和过切点平行于抛物线的轴的直线的交点在准线上 10.P是椭圆上的-一点，焦点半径P和PP2与x 轴的夹角分别是：和B,求这椭圆的离心率. (第10题) 11.抛物线y22c的内接二角形有两边与抛物线2x2py相切，证明这个三 角形的第三边与x=2y相切. 0422● ==========第436页========== 习题答案 第一章 习愿11~1.2 2.(1)(-5,-3),(5,3),(5,-3) (2)(a,b),(-a,-b),(-a,b). 3a)A(层5(-÷)c-a,(-,-受以（货-要%m )A.,B0,vga,c(-号，YD0,,a,r层要片4(-号，v(-a号(-景0(이(，)，(。va) (,),-3,33)， -Vー3 n,-Y) 5.见附图. y .(-(g)僧，） B2(-8,0y 1(0,0) (8,0 6-，-(,-n(,-)c-) (第5题) ·423· ==========第437页========== 6.(1)(3,0),(0,4),(-3,0),(0,-4)5 (2)(4,0),(0,3),(-4,0)(0,一3). 7.(1)0;(2)0;(3)路， 8.证明△OME≌△OM'E. 习题1.3~14 2.18+8/2. 3.1=5,=-1. 4.M(1.0)或M(6,0). 5.(-1,2) 6.m=5 7.(一6,0)或(2,0)。 8.(1)6=5a-502 (2)=2,x=6326; 3 (3)k=-，w=124; (4)6=√3，x=60°. 9.(1)不共线； (2)共线. 10,k=2. 习题15 1,(1)元=BA a=治： (3) AC CB (4)=OB BA 2.(1)(侍 (2)(5,0)； (3)() (4)(-76,-23). 3.(1)(5,3)； @(子 (3)(-3.35,6.8). 4.(12,-7). 5.(3- 6.(-7,0),（-4,1) 7.(1)(4,-2.5),(1,-3.5),(2,1)； (2)m,=V65,,=V46.25,m.=V31.25; (3(,) 9.(7,1). 10.(4,5). 1. (-그) 12.(0,4)或(2，-2)或(4,0). 习题1.6 1,(1)-sinx; (2)0; (3)-128.77; (4)0. ●424 ==========第438页========== 2.(-5,0). 3.(32,0)或(-8,0)。 4.△-15.5，一v,-윤V面，-6、(1)8=96; (2)h=8。 8.1二丝=m 1一%m+%· 复习题一A 1.(1)(4,3),(3,4): (2)(0,0),(4,4) ®(，（停v7,-)(-,》 (←T,-》 2.A'(-1,4),B(-5,0),C(-3,-3). 3 2-÷ -多 4号v区 5.(10,7). 6.(1)M1(1,5),1M2(-5,5)5 (2)M1(-2,8),M2(-2,2). 7.(21,-11). 8.k=2,a=arc tg2≈63°2d、 9.1=-5,k2=7。 10,%=5. 11.(3,1). 13.=-等-40， 14.r=2√6. 复习题一B 1.A(-1,0),B(5,6). 2.P1(3,3),P2(15,15) 3.设4D是角4的平分线交20于D。,y,则認-行，可求得 1B=6f又节“BDb+0 据此先求出 baacoybygca 6+c 6+c 再求x,. 5.P10,-3),P(0,-9). 6,λ=2. 7.(8,0),或(-1,3V3), ·425· ==========第439页========== 10.13,与c轴所成的角是are cos-≈6723，与y轴所成的角是 5 are sin名≈2237. 第一章测验题 1.(1)M1(-2,1),12(-2,-1);(2)M1(6,0),1M2(0,0); (3)M(2,2); (4)M(2,-7). 2.A-昭=安放F8,0.又kee-,4PLB0, 3.设两交点为(1,0)和(2,0)，则1一c2=1,即 Va+)-k-고，√()-4-1，m-음 4.C(4,7),ǘ=30. &.如a=号（血a青应舍去=竖，=arg渠，-经，4 2=m一arc tg《 第二章 习题21~22 1.c=0 2京 3.c2+y=16. 4.5x-2y+3=0或5x-2y-9=0. 5.y2-20x+100=0, 6.4x2+4y2=2. 了=士品 8.y+x+6y-2=0。 习题23~24y (习题2·324第1题) (习题23~24第2题) ·428· ==========第440页========== (习题23~24第3题) (习题2·324第4题) 女 (习题23~24第5题) (习题2·3~2·4第6题) 8.没有曲线。 (2,-3) (习题23~24第7题) 习题25 1. 0) (，그)(3-，그-)5 (2)(2,1)； (3)没有交点； (4)(2,2),（-2,1),(6,-4),(-3,-1). ●427● ==========第441页========== 2.(1)(3,5)和(1,3)： (2)(2,3)8 ()没有交点。 3.(1)k<1; (2)k=1; (3)k>1. 花1=2， x2=-2,」g=1, 4.(1) 了4=一1， 1=1,1yg=-1,1ys=2,14=-2;x1=4, fx2=-4, 3=3,」4=一3， (2) 3 3 y1=2’ y2=2’ =-2,14=-2。 5.(1)1.7和-4.2 (2)2.2 (3)1.05. 复习题二A 1.(1)-5; (2)3,-2. 2.2+b2=r2 3.(1)x=±2 (2)x2+y2=9; (3)x2+y+10ac+16=0; (4)9x2+25y2-225. 3 3 (第3(1)题) (第3(2)题) 引 3 76-30士230 (第3(3)题) (第3(4)题) 4.2+y2=a. ●428· ==========第442页========== 5.(一点（导-》} (②)没有曲线： (3)四个点(1,2)，(1，-2)，（-1,2)和(-1，一2)： (4)平行于轴且和x轴的距离等于2的两条直线。6。y=0时求出横截距，c=0时求出纵截距. (1)横截距为3，一1；纵截距为2，一6。 (2)横截距为nc;纵截距为0. (3)横截距为3，一1；无纵截距. (4)纵截距为；无横截距. 7.(1)一定； (2)不一定。 8.不表示同一条曲线.x2+y2=9表示一个圆，y=√9-如只表示这个圆在化轴上方的部分. 9. B 8 (8-1) (第9(1)题) (第9(2)题) 0≤x≤4， 0≤y≤4； 以 无对称性， 4-82-10 士玄3生 {第9(3)题) (第9(4)题) ·429● ==========第443页========== 10.(1)k>5两个交点；=5一个交点；k<5没有交点. (2)-V13<<√1两个交点；=士√13一个交点k<-√13，>√⑧没有交点。 复习题二B 3.(c-4)2+(y-一2)2=10和(x-3)2+(y-5)2=10 4.c2-8c+10y-9=0. 5.36x2+9y2=4a2. 6.4c2+9y2=144. 7.3x2-y2+2ax-a2=0. 9. (第9(1)题) （第9(2)题) (第9(3)题) (第9(4)题) 第二章测验题 1.1,-3. 2.xy=3,y=-3. 3.3x2+3y2-24-4y=0. ·430· ==========第444页========== (-2,) -2-10士名” 2 (第4(1)题) (第4（②）题) (3)没有曲线。 24 3 (第4（④）题) 5.m<-1,m>1两个交点；m=±1一个交点；-11,(ii)k|=1,(ii)|<1； (2)(i)>2,()k=2, (iii)02. 4.(1)x-2y+4=0,(4,4); (2)y2s士号（±子±片 (3)y=受±1，（生6，士2） ④4红+3测士20=0，（±9，±0） (⑤)x+4g±4v⑩=0，（±2y0, 5±9 0 (6)y=mx±a√-2m,（士aV2m, 2m-aV-2m%2 5.x-√3y+3=0,(3,2V3). 6.3x-y+1=0. 7.2x+3y±3V7=0. 9.(1)y=士x-1; (2)c+y=8. 10.(1)x士3y+15=0: (2)x+y士3=0，x-y士3=0： (3)y=士x十5，y=土x-5. 11.设P1(1,1)是b22+a2gy2=a262和B22一A2y2=A2B2的一个交点，只须证明在P1处两切线的斜率之积1k=一 B262x11. 12.圆心移至(-4,이 复习题四A 5.(c-3)2+(y-1)2=5. 6.x2+y2+8c=0或2+y2-6c-7=0. 7.x-4y+3=0或龙-4y-31=0.9.8x2+9y2=288. 10.y2=士2ax+1. 11.(6,±2V/3).· 12.x+y±3=0. 13.등--고 0437· ==========第451页========== 14.x2-4y2=4. 15.(1)A2a2+B2b2=C9, (2)A2a2-B262=C25 (3)0=24C B2. 16.椭园，品+-1. 7.d=2. 复习题四B 1.x-y-3=0,x+y-3=0. 2.(x-5)2+(y-4)2=4,(x-5)+(y-4)2=64. 3.设两圆分别为（一1）2+(y一1)2=和(x一r2)+(y-r2)2=r,它们都过M(,o）.∴.r1=(co十幼)士V2r0y0,r3=(aro十y0)士V2x00,r1+r2故r12=x号+6. 4.x+4y-5=0. 5.设切点为T(,0),则过T的切线为b2c+a2oy=aw62,令y=0,得1oM-g.又1ow1-,o-1pM=2. 6.设切线为y一证+6，联立{6得如+6证-m2=0,4=2+4m2 0,=一4m,.切线为y=-+6,令=0,8=4. b2 62 4m2 1【4m21 △=2b.161=2m2(定值) 7.4V3a26 3a2+b2· 8景 9.圆心移至（√2,0）或(-V2,0)；交点(V2,±1)或(-√②，士1) 10.y+1. 11.|P+1PF2=2a,.PF+PF+2P||PF2l=4a. 又PF+PF-2|PF1·|PF2cosa=4o2, 两式相减得 B sin abat P乃11PF2l=,2b,∴.△P,=1+cosa 2· 12.求出OH:y=-0x,PE:(2o-p)=%(2c-p),解出和0，并代 入y2=2px,得c2+y2-px=0. 438· ==========第452页========== 13.设∠MAV=2a,∠MA'N=23,计算ctg(a+B)=0,…, 14,设P(o,0),EF即两圆的根轴：2cox+2yoy=Y2+8.而PD:G=o,从 f00=0 面求出 即得点M的轨迹：c2+y2=r2. (yo=2y, 第四章测验题 1④需+需-1 (2)变+e+21 x2 y2 3.以定直线为x轴并使y轴过定点A(0,a),圆心为C(c,y),作CDLy轴于 D,则1AC1P=1AD12+D01,∴g°=(a-g2+,即=2a(g-受) 4.0+g-(号 5.(c-4)2+y2=36. 7.需1y2 8.2=士x. 9.消去y,得(1-cos2)x2+(2cos2)+(1-cos)=0,4=4cos2中.当0<中 <牙或空<4√2； (3)a=±4V2. 5.(d当161≥jal时，0=2c+arc in(-22ab 83 当{bl0为椭圆；k=0为一点；<0无轨迹.) (3)它是抛物线系方程：顶点(0,0)，对称轴合于：轴.（飞>0为抛物线， 向右伸展；飞=0为x轴；k<0为抛物线，向左伸展.) (4)它是等边双曲线系方程：中心(0,0)，两渐近线是两坐标轴.(>0在 第I、III象限；1为双曲线：飞=1为两平行线=士√0；-1<飞<1为椭圆，-1<飞<0时，长轴合于x轴，0<<1时，长轴合于y轴(k=0为圆)；k=一1为两平行线y=士√6；一4<<一1为双曲线；飞=-4为两相交线3a2-5gy2=0;k<-4为双曲线，) (6)它是有心圆锥曲线系方程：同中心(0,0)，同焦点(0，士4).(k>25为 椭圆；=25为y轴；925为双曲线，焦点在x轴上，飞=25为y轴； 90时，为双曲线，实轴在红轴上；飞<0时，为16-16k 的+41，①当-一1<6<0，长轴在x轴上，②当<一1，椭圆 长轴在y轴上，③当=一1，为圆x2+y2=16. 9.设第一条抛物线为y2=2px,则另一条为 =切（红-》， 求得一交点为(p,V2),…. 10.除两组解(0,0)和(0,1)外，另一组解必为 ”的解，消去， ●42• ==========第456页========== (a2+b2)y2+(2b-a2)y+1=0,.·4=0,∴.a2(a2-46-4)=0.∴.&=0或a2=4(b+1).在坐标系a0b上，满足条件的点(a,b)的轨迹为抛物线(包括其对称轴b)。 第五章测验题 1.x+2y=0. 2.C心日=2x+aret起： (2)9=r-空h∈の 3.(1)4>0,为双曲线型； (2)设中心为0(c,y),则 2x+2g-2λ=0， ② 2c-2y+4=0, 31 y=2 消去，3ac+y=0. 4.y=一1，标准方程为x9一=-2. y2 ,4V3。 5.-2=1,准线x=士言3，e=V尽。 6.F(层-8准线x-碧 7.∵|AF=a-ec,|BF{=a-ex2,|CF1=u-ew3,…. 8.①k<0时为双曲线；②=0时，y=士2；③k>0时为椭圆(k>1,焦点在y轴上，0<<1，焦点在x轴上，=1为圆). 9.定点(2,2)，顶点轨迹(x-2)2=4(y-2). 10.11:y=[tg(135°+0)](x-4)=-(x-4)tg(45°-0)， keッー4ーくが-0)，：ーー4，ム与ら交的う y-2(x+y)+8=0, 取旋转角5°，标准式：-@-2Y②)上+8 81. 第六章 习题6.1~6.5 1.(1)x+y=4; (2)x2=y (3)42-9y2=36: (4)y=c-9.8ac2 •448● ==========第457页========== 2. 0) =--, -3+2 a￥vg: (3)1P1A11P1B1=12,AB17√；(4)tr=+y好ー251。 8.x=2atg0,y=2acos2日. 4.x=acos4日，y=ain日。抛物线。 =2at? 1÷t3 5 2a63 ly=1+. (习题6165第3题) (习题61~65第4题) 6.D(Vz,V2),S水=1+√区+V3+V/6 7.4p. 8.参考§65例4. 9.(G+6)2+(y-2)2=25或(g-2)2+(y+4)2=25. 10.y2=2(x-1). 习题6.66.7 1.(1)椭圆，x=acos9,y=bin;(2)圆，G=acos日，y=ain0. 2.x=晚-6 ,yb2:或2-划-)-ad. 3.e=a8-b的，y=b-k +,y=换年；或2+g-ac-by=0:圆. 4.F2c-a2y=0. 5.y=x. 6.x2-y2=a2-62,a≠b时，是等边双曲线；a=b时，士y=0. 7.5c-4y-14=0. 8.9a2ax2+9by2=a2b。 9.x2=p(y-2p). (x=2a ctg 0, 10.ly=2asin20,消去6：x2y+4a2y-8a3=0. x=(a+26)cose, 2.椭圆： y=a8in日， ●440 ==========第458页========== 复习题六A :1.(1)y=asin30; (2)y=sin9; (3)x=Bat Bat? 1+8)91+. 2.1)+3)2-g=42-; (2)y=2x2+1; a2 62 (3)少-4=y-1; (4)4x2+9y2=36(参考6·4节例3)： 一2y一y2 ⑤)x+gy=a1 (6)x=arccos (1-y)-V2y-y2 4. (アでー，ーーいーユ，バ1の (2)2 cos20 a0-1,2=a2+=1,F(±1,0). 弹道方程： x=10V27o,5.y=10W27。-1960, Vo≈164（米/秒），目标P与阵地0的水平距离x≈2319（米）. 6.设AC: 则Pe:∫=号+cos分别代入y=2, y=t cosa, y=t'ina。 计算|tなtなl和|ち 7.x2+y2=2-b3 8.=一受 9.(1)x2+y2=a2; (2)x2+y2=a2; (3)c=0. 复习题六B 1.(2)(V2,1). [lal>1, 2.162+守≤1， 当1a=1时8-0（段a,1a1<) 3.2psec2a, 5.(1)设过P(-1,2)的直线为8=-1+tco5,令 ly=2+tsina, ●450 ==========第459页========== -,a,v-0,-PA시비品。 ÷Pa-P8l=z4 x-y+3=0或x+y~1=0: (2)最小值4，x=1. 6.y+1-2(e-) 7.0+0--品 8.(1)(c-1)2+(y-1)2=5; (2)-x2+g2=1 6 a>0时为双曲线，a=0时为直线y=1,a<0时为椭圆（再考虑一下焦点的位置)： 2 (3)+=1,椭圆，|>时焦点在y轴上，m合；对于一兰+兰=马，斜率 I到≤g 31.距镜心品米处 32.g--2c成(g-》=号a 34.0四y-号 (2)4y2=4pc一p2. 36.这个定值是b2. 37.(1)椭圆：14x3+49y2-103=0;x"轴：14r-7g-2=0;”轴：7x+ 14y+49=0; (2)双曲线：12x2-2y2+9=0;实轴在”轴上，x”轴：2c一3+8=0y”轴：3xc+2y-1=0; (3)x9=6y"; (4)两平行线：3x-y-5=0,6x-2y+3=0; (5)两重合直线：(3x-5+2)°=0. f x=Votcosa, 38.(1)y=votina-克ge，吗 (2)sin 2g (3)y=0时，x=6sin2a 39.(1)圆； (2)直线. fx=-3-V3, 116 40.(1) 1 (2)13· y=3+ち 41.y=2一2c,轨迹是抛物线在圆内的部分. 42.以0为原点，OM为x轴，设P(,y),作PD⊥OM,∠OBA=0,则 ∠0AB=120°-6，∠PAD=8, N 0A=2a$in9, √3 B 2a x=/月si血9+acos0, P(, e 因此 y=asin0. X60°0 D 消去日，得 V3 3y2=a. ●452· ==========第466页========== 经转轴变换得 a+ 必阳a2=1 3 轨迹是以原点为中心，以g=了言“为一条对稀轴的椭罚在∠ON内 (包括两边上)的部分. 43.(1)椭圆3x2+4y2-12c-36=0;(2)圆x2+y2-3a-2y=0。 44.p2-2pc0s(0士60)+a2-mr2=0. 1+元ep 45.p=1-8cos6 总复习题B . (-틍) 2.(-늪) 3.(x+4)2+(y+11)2=125,(-2)2+(y-1)2=5 4.(a)()+ッー()。物密为(3)为中心，mhsin日 为半径的圆在等腰△ABC内的一部分. )nn√5 tge 6.42-4y2+120x+p2=0. 7.抛物线2=一。 9.②年m一头吗 (8)는-如 1.(侵-可，是2-1)(--，是2-1以 13.B2x2+a2y=b2a1x+ayiy. 15.a+b. 16.x2+4y2=3. 18.(x+c)2+y2=4a2. 19.x2-gy2=-2a3 21.最大的圆的半径为a1 sin 2a 23.(1)a=c'cose-y'sin0,y='sine+y'cos0; (2)x=x'+ycos中，y=ysin中； y=-a2+的. ·453● ==========第467页========== 24.7x2+60ry+32y2+32c-56y+616=0. 25.y=2c士2. 26.A(0,3)时，(x±4)2+(g-3)2=165 A(0,-3)时，(c士4)2+(y+3)2=16. 29.pw0=2.2(1이 Garin증) 总测验题 1. 2-+3-0, 3如+2-23-0.2。(=+(6-)-1晉。16 3.--고-+- 21.S 4.y=±ユ+) 5.d-8v3 13 6.- -3=1:F(1,1),PFe(5,3);准线：2x+y-6=0,2x+g-10=0. .(c0si) 其普通方程为2一2cy+2y2-a2=0. 【y=acos8, 10.设4-2则Pa款Pa2csinc in(a+所以2c cos a-B 2a=P1+|PEl=. 2 cos a+B .2 cos atB 2 ac0s4二B 2 ●4540 cft... ==========第468页==========